函数的奇偶性与周期性学案及作业（教师版）(共21页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的奇偶性与周期性1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)是奇函数关于_对称2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f

2、(x)的所有周期中_的正数，那么这个_正数就叫做f(x)的最小正周期3对称性若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于直线_对称一、 函数奇偶性的判定判断下列函数是否具有奇偶性。（1） （2） （3） （4）（5） （6）的奇偶性方法提炼判定函数奇偶性的常用方法及思路：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；1定义法2图象法来源:学科网ZXXK3性质法：(1)“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；(2)“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；(3)“奇偶”是奇，“奇偶”是奇提醒：(1)分段函数奇偶性的判断，要

3、注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应地化简解析式，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断(2)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(3)性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程同步练习判断下列函数是否具有奇偶性？（1）； 偶 （2）；偶（3）；非奇非偶 （4）非奇非偶（5）；非奇非偶 （6）判断下列函数的奇偶性(1)f(x)lg ；(2)f(x)(3)f(x) .解：(1)由01x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(3

4、)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，f(x).f(x)f(x)，f(x)为偶函数.在函数， ，中为偶函数的是A B C D答案：B下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ * ）.A B CD答案：C下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D.答案：B下列函数中,是奇函数的为（ ）A B C D答案：B下列函数是奇函数的有()f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)；f(x)x31.A1个 B2个C3个 D4个解析：选B首先确定这四个函数的定义域都关于原点对称，然后由奇函数的定义逐个判断可知，为奇函数设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数

5、和奇函数，则下列结论恒成立的是()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析：选A函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)令F(x)f(x)|g(x)|，F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|F(x)故F(x)为偶函数即f(x)|g(x)|是偶函数偶设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )(A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）ABCD答案：D函在定义域上是A偶函数

6、B.奇函数C既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数答案：B 函数 是 ( )A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数答案：C二利用函数的奇偶性求解析式和参数的值若f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0.这一结论在解决问题中十分便捷，但若f(x)是偶函数且在x0处有定义，就不一定有f(0)0，如f(x)x21是偶函数，而f(0)1.来源:学&科&网若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析：f(x)x2(a4)x4a为二次函数，其图象的对称轴为x，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得a4.答案：4已知函数为偶函数，且当时，则，的解

7、析式。已知是偶函数，是奇函数，若，则 。答案：设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3B1C1D3解析：(1)选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得 b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）x22x，则f（x）在R上的表达式是（）Ayx（x2） By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）答案：D设是定义在上的奇函数，当时，则（ ） A B CD答案：已知函数是定义在上的偶函数，当，则当 （ ）A. B. C. D.答案：B

8、已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是（ ）ABC D答案：A若函数y=(x+1)(x-a)为偶函数，则a的值是 .答案：1设是奇函数，则实数a=_ _答案： -1若为奇函数，当时，且，则实数的值为 答案： 5若函数是偶函数，则实数的值为 答案：0已知是定义在上的奇函数，当时，则 .答案：-2三、函数的奇偶性与单调性的关系偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致已知函数是奇函数，且在区间上单调递减，则上是（ ） A. 单调递减函数，且有最小值B. 单调递减函数，且有最大值C. 单调递增函数，且有最小值D. 单调递增函数，且有最大值答案：B已知函数

9、是定义在上的偶函数，且在上时增函数，若，则的解集为 .答案：已知函数f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，且f(3)f(1)，则()Af(1)f(1)Cf(1)f(5) 选A函数f(x)在区间0,5上是单调函数，又31，且f(3)f(1)，故此函数在区间0,5上是减函数由已知条件及奇函数性质，知函数f(x)在区间5,5上是减函数选项A中，3f(1)选项B中，01，故f(0)f(1)，选项D中f(3)0的x取值范围是(-1,0)(1,+) .设函数，则下列结论错误的是（ ） 答案：C定义在上的偶函数满足：对任意的，有.则A. B.C. D.答案：B已知是定义域为的奇函数，在区

10、间上单调递增，当时，的图像如右图所示：若：，则的取值范围是 答案： 奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则_ 答案： -15四、函数奇偶性的应用对于定义域R上的任何奇函数f(x)都有 （ ）(A) f (x) f (x)0（x）。已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1.若g(x)f(x)2，则g(1)_.令H(x)f(x)x2，则H(1)H(1)f(1)1f(1)10，则f(1)3，故g(1)f(1)21.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_解析：当x(0，)时，f(x)lg x，当x(0,1)时，f(x

11、)0.又函数f(x)为奇函数，当x(1,0)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1，)答案：(1,0)(1，)设是定义在R上的奇函数，,当时，有恒成立，则不等式的解集是 （A） （，）（，） （B） （，）（，） （C） （，）（，）（D）（，）（，）答案：D设分别是定义在R上的奇函数和偶函数当时，且，则不等式的解集是()A BC D答案：D设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.将函数化简，利用函数的奇偶性求解f(x)1，设g(x)，则g(x)g(x)，因此g(x)是奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，则Mmg(x)1ma

12、xg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x2，或x0 Bx|x0，或x4Cx|x0，或x6 Dx|x2，或x2B解析：当x0时，x0，f(x)(x)38x38.又f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38.f(x)f(x2)由f(x2)0得：或解得x4或x0，故选B. 设a，bR，且a2，若定义在区间(b，b)内的函数f(x)lg是奇函数，则ab的取值范围为_解析：f(x)在(b，b)上是奇函数，f(x)lg f(x)lg lg ，对x(b，b)成立，可得a2(a2舍去)f(x)lg .由0，得x.又f(x)定义

13、区间为(b，b)，0b，2ab.已知f(x)x7ax5bx5，且f(3)5，则f(3)()A15 B15C10 D10答案：A，则不等式的解集为（ ）A BC D答案：D已知是偶函数，而是奇函数，且对任意，递减，都有的大小关系是ABCD答案：C如果为偶函数，且导数存在，则的值为 （ ）A.2 B.1 C.0 D.答案：C设是定义在R上的偶函数，当时，且，则不等式的解集为（ ）A（1，0）（1，+）B（1，0）（0，1）C（，1）（1，+） D（，1）（0，1）答案：C函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，当x0时，有0的解集为A(-1，0)(1，+) B(-1，0)(0，1)C(-

14、，-1)(1，+) D(-，-1)(0，1)答案：D设函数，且函数为偶函数，则=A6B6C2D2答案：A已知函数y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=x+.当x-3，-1时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m-n=_.答案：1已知yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，x0，上的图象如图，则在，上不等式的解集是_答案：设函数f(x)x3bx2cx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求b，c的值；(2)求g(x)的单调区间与极值解：(1)f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc，g(x)f(x)f(x)x3(b3)x2(c2b)xc.g(x)是一个奇函数，g(0)

15、0，得c0，由奇函数定义g(x)g(x)得b3.(2)由(1)知g(x)x36x，从而g(x)3x26，由此可知，(，)和(，)是函数g(x)的单调递增区间；(，)是函数g(x)的单调递减区间g(x)在x时，取得极大值，极大值为4；g(x)在x时，取得极小值，极小值为4.五、函数的周期性及其应用抽象函数的周期需要根据给出的函数式子求出，常见的有以下几种情形：(1)若函数满足f(xT)f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；(2)若满足f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以2a是函数的一个周期；(3)若满足f(xa)，则f(x2a)f(xa)af(x)

16、，所以2a是函数的一个周期；(4)若函数满足f(xa)，同理可得2a是函数的一个周期；(5)如果T是函数yf(x)的周期，则kT(kZ且k0)也是yf(x)的周期，即f(xkT)f(x)；若已知区间m，n(mn)的图象，则可画出区间mkT，nkT(kZ且k0)上的图象已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是()A增函数 B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数 (2)选D由f(x)在1,0上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在0,1上是增函数由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)

17、，故2是函数f(x)的一个周期结合以上性质，模拟画出f(x)部分图象的变化趋势，如下图由图象可以观察出，f(x)在1,2上为减函数，在2,3上为增函数已知在R上是奇函数，且满足，当时，则等于 。答案： 定义在上的偶函数满足：，且在上是增函数，下面关于的判断：是周期函数； 的图象关于直线对称；在上是增函数； 在上是减函数；. 其中正确的判断是_ (把你认为正确的判断的序号都填上). 答案： 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，则的值为（ ） 答案：C 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f（x+），且f(2)f(1)1，f(0)2，则f(1)f(2)f(2005)f(2006)()

18、A2 B1 C0 D1答案：A是R上周期为3的奇函数,若, ,则a的取值范围是（ ）A、a0.5且a1 B、-1a0 C、a0 D、-1a2答案：C是周期为2的奇函数,当时， 则A. B. C. D. 答案：A定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335B338C1 678D2 012自主解答(1)由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(

19、2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是以2为周期的周期函数若当x0,1)时，f(x)2x1，则f的值为()A B5 C D6解析：(1)选C3log62，1log620，即1log0的解集为()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)解析：选Bf(x)为偶函数，0，xf(x)0，或又f(2)f(2)0，f(x)在(0，)上为减函数，x(0,2)或x(，2)4已知函数f(x)则该函数是()A偶函数，且单调递增 B偶函数，且单调递减C奇函数，且单

20、调递增 D奇函数，且单调递减解析：选C当x0时，x0，f(x)f(x)(2x1)(12x)0；当x0，f(x)f(x)(12x)(2x1)0，易知f(0)0.因此，对任意xR，均有f(x)0，即函数f(x)是奇函数当x0时，函数f(x)是增函数，因此函数f(x)单调递增5(2013广州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11)解析：选D由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知f(x)在2,2上递增

21、，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选Cf(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2b