2022年最新数学分析教案-第六章-微分中值定理及其应用.pdf

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1、精品文档精品文档第六章 微分中值定理及其应用教学目的：1. 掌握微分学中值定理， 领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础；2. 熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；3. 掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；4. 使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；5. 会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点 ：本章的重点是中值定理和泰勒公式， 利用导数研究函数单调性、 极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数 ：14学时 1 中值定理（4 学时）教学目的： 掌握微分学中值定理， 领

2、会其实质， 为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点： 中值定理。教学难点： 定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档通过复习数学中的 “导数”与物理上的 “速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数

3、” 的前提下， 自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课第六章微分中值定理及其应用1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念：1极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值 . )2.可微极值点的必要条件 : Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点 , 稳定点的求法 . （二） 微分中值定理 : 1. Rolle 中值定理 : 叙述为 Th1.( 证 ) 定理条件的充分但不必要性. 2.Lagrange中值定理 : 叙述为 Th2

4、. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数 , 证明定理 . 用几何直观引进辅助函数的方法参阅1P157. Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 . 推论 1 函数在区间 I 上可导且为 I 上的常值函数 . ( 证) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档推论 2 函数和在区间 I 上可导且推论 3 设函数在点的某右邻域上连续 , 在内可导 . 若存在, 则右导数也存在 , 且有( 证) 但

5、是, 不存在时 , 却未必有不存在 . 例如对函数虽然不存在 , 但却在点可导(可用定义求得). Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续 , 在内可导 . 若极限存在, 则也存在 , 且( 证 ) 由该定理可见 , 若函数在区间 I 上可导 , 则区间 I 上的每一点 , 要么是导函数的连续点 , 要么是的第二类间断点 . 这就是说 , 当函数在区间 I 上点点可导时 , 导函数在区间 I 上不可能有第二类间断点.推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导 , 且 ( 证 ) Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数 , 则设对辅

6、助函数, 应用系 4的结果 . ( 证 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档3.Cauchy中值定理 : Th 3 设函数和在闭区间上连续 , 在开区间内可导 , 和在内不同时为零 , 又则在内至少存在一点使. 证分析引出辅助函数. 验证在上满足 Rolle 定理的条件 , 必有, 因为否则就有. 这与条件“和在内不同时为零”矛盾 . Cauchy中值定理的几何意义 . （三） 中值定理的简单应用 : 1. 证明

7、中值点的存在性例 1 设函数在区间上连续 , 在内可导 , 则, 使得. 证在 Cauchy中值定理中取. 例 2设函数在区间上连续 , 在内可导 , 且有.试证明 : . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2.证明恒等式 :原理.例 3证明: 对, 有. 例 4设函数和可导且又则.证明. 例 5设对, 有, 其中是正常数. 则函数是常值函数 . (证明 ). 3.证明不等式 : 例 6证明不等式 : 时, . 例

8、 7证明不等式 : 对，有. 4. 证明方程根的存在性 : 证明方程在内有实根 . 例 8证明方程在内有实根 . 2 柯西中值定理和不定式的极限（2 学时）教学目的：1. 掌握讨论函数单调性方法；2. 掌握 L Hospital 法则，或正确运用后求某些不定式的极限。教学要求：1. 熟练掌握 L Hospital 法则，并能正确运用后迅速正确地求某些不定式的极精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档限；2. 深刻理解函数

9、在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式。教学重点： 利用函数的单调性， L Hospital 法则教学难点： L Hospital 法则的使用技巧；用辅助函数解决问题的方法；。教学方法： 问题教学法，结合练习。一. 型: Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧 . 例 1 例 2 . 例 3 . ( 作代换或利用等价无穷小代换直接计算. ) 例 4 . ( Hospital法则失效的例 ) 二.型: Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 ) 例 5. 例 6. 精品资料 - - -

10、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档註: 关于当时的阶 . 例 7. ( Hospital法则失效的例 ) 三. 其他待定型 : . 前四个是幂指型的 . 例 8例 9. 例 10 .例 11 .例 12 .例 13 .例 14 设且求解. 3 Taylor公式（ 2 学时）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - -

11、 - - - - - - - - 精品文档精品文档教学目的： 掌握 Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题。教学要求：1. 深刻理解 Taylor 定理，掌握 Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；2. 掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用。3. 会用带 Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的 Taylor 公式求某些函数的极限。教学重点： Taylor 公式教学难点： Taylor 定理的证明及应用。教学方法： 系统讲授法。一. 问题和任务 :用多项式逼近函数的可能性;

12、对已知的函数 , 希望找一个多项式逼近到要求的精度 . 二. Taylor( 1685 1731 ) 多项式 : 分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义Taylor多项式及 Maclaurin多项式例 1求函数在点的 Taylor 多项式 . 1P174.( 留作阅读 ) 三. Taylor 公式和误差估计 : 称为余项 . 称给出的定量或定性描述的式为函数的 Taylor 公式. 1. 误差的定量刻画 ( 整体性质 ) Taylor 中值定理 : 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

13、第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档Th 1 设函数满足条件 : 在闭区间上有直到阶连续导数 ; 在开区间内有阶导数 . 则对使. 证 1P175176. 称这种形式的余项为 Lagrange 型余项 . 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为. 时, 称上述 Taylor 公式为 Maclaurin公式, 此时余项常写为. 2.误差的定性描述 ( 局部性质 ) Peano型余项: Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数 , 且存在,则,. 精品资料 - -

14、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档证设, . 应用Hospital法则次, 并注意到存在, 就有= . 称为 Taylor 公式的 Peano型余项 , 相应的 Maclaurin公式的 Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具 Peano型余项的 Taylor 公式( 或 Maclaurin 公式 ).四. 函数的 Taylor 公式( 或 Maclaurin公式 ) 展开: 1. 直接展开 :例 2求

15、的 Maclaurin 公式. 解. 例 3求的 Maclaurin 公式. 解, . 例 4求函数的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解. . 例 5把函数展开成含项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 . ( 1P179 E5, 留为阅读 . ) 2.间接展开 : 利用已知的展开式 , 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式 . 例 6把函数展

16、开成含项的具 Peano型余项的 Maclaurin公式 . 解, . 例 7把函数展开成含项的具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 解, 注意, . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 8先把函数展开成具 Peano型余项的 Maclaurin 公式 . 利用得到的展开式 , 把函数在点展开成具 Peano型余项的 Taylor 公式. 解. =+例 9把函数展开成具 Peano型余项的 Ma

17、claurin 公式 ， 并与的相应展开式进行比较 . 解 ; . 而. 五. Taylor 公式应用举例 :精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档 1. 证明是无理数 : 例 10 证明是无理数 . 证把展开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有. 反设是有理数 , 即和为整数 ), 就有整数 + . 对也是整数 . 于是, 整数 = 整数整数 = 整数. 但由因而当时，不可能是整数 .

18、矛盾. 2.计算函数的近似值 : 例 11 求精确到的近似值 . 解. 注意到有. 为使, 只要取. 现取, 即得数的精确到的近似值为. 3.利用 Taylor 公式求极限 : 原理: 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 12求极限. 解, ; . 4. 证明不等式：原理. 例 13证明: 时, 有不等式. 3P130 E33. 4 函数的极值与最大（小）值（2 学时）教学目的： 会求函数的极值和最值。教学要求

19、：1. 会求函数的极值与最值；2. 弄清函数极值的概念，取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、 第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值，对于取得极值的第三充分条件，也应用基本的了解。教学重点： 利用导数求极值的方法教学难点： 极值的判定教学方法：讲授法演示例题一可微函数单调性判别法：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档1单调性判法：Th 1

20、 设函数在区间内可导 . 则在内( 或) 在内 ( 或). 证) ) 证.Th 2 设函数在区间内可导 .则在内( 或) 对有( 或; 在内任子区间上2.单调区间的分离 :的升、 降区间分别对应的非负、非正值区间 . 例 1分离函数的单调区间 . 更一般的例可参阅 4P147 148 E13，14. 二. 可微极值点判别法 : 极值问题 : 极值点 , 极大值还是极小值 , 极值是多少 . 1.可微极值点的必要条件 : Fermat定理( 表述为 Th3 ).函数的驻点和 ( 连续但 ) 不可导点统称为可疑点 , 可疑点的求法 . 2.极值点的充分条件 : 对每个可疑点 , 用以下充分条件进一

21、步鉴别是否为极值点 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档Th 4 ( 充分条件 ) 设函数在点连续, 在邻域和内可导 . 则 在内在内时, 为的一个极小值点 ; 在内在内时,为的一个极大值点 ; 若在上述两个区间内同号 , 则不是极值点 . Th 5 ( 充分条件“雨水法则”)设点为函数的驻点且存在. 则当时, 为的一个极大值点 ; 当时, 为的一个极小值点 . 证法一当时, 在点的某空心邻域内与异号, 证法二用

22、 Taylor 公式展开到二阶 , 带 Peano型余项 . Th 6 (充分条件 ) 设, 而. 则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档为奇数时 , 不是极值点 ; 为偶数时 ,是极值点 . 且对应极小 ;对应极大. 例 2求函数的极值 . 1P190 E3 例 3求函数的极值 . 1P190 E4 3.函数的最值 :设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 则=; . 函数最值的几个特例 : 单调函数的最值 :

23、 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点 , 则当为极大值点时 , 亦为最大值点 ; 当为极小值点时 , 亦为最小值点 . 若函数在内可导且仅有一个极大 (或小)值点, 则该点亦为最大( 或小) 值点. 对具有实际意义的函数 , 常用实际判断原则确定最大( 或小) 值点. 三.最值应用问题 :精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 4、两村距输电线 （直线）分别为和（如图），长. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设

24、在何处 , 输电线总长最小. 解设如图，并设输电线总长为. 则有, , 解得和 ( 捨去 ). 答： 四.利用导数证明不等式 :我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅3P112 142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理. 1.利用单调性证明不等式:原理: 若, 则对, 有不等式. 例 5证明: 对任意实数和, 成立不等式证取在内. 于是, 由, 就有, 即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

25、 -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档. 2. 不等式原理 : 4P169 171. 不等式原理 : 设函数在区间上连续, 在区间内可导, 且; 又则时, (不等式原理的其他形式 .) 例 6证明: 时, . 例 7证明: 时, . 2.利用极值证明不等式 : 例 8 证明: 时, . 5 函数的凸性与拐点（ 2 学时）教学目的： 掌握讨论函数的凹凸性和方法。教学要求： 弄清函数凸性的概念， 掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。教学重点： 利用导数研究函数的凸性教学难点： 利用凸性证明相关命题教学方法

26、： 系统讲授法演示例题一凸性的定义及判定：1凸性的定义： 由直观引入 . 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档定义 设函数在区间上连续 . 若对, 恒有, 或. 则称曲线在区间上是凹 (或凸) 的. 若在上式中 , 当时, 有严格不等号成立 , 则称曲线在区间上是严格凹 ( 或严格凸 ) 的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸. 凸性的几何意义 : 倘有切线 , 与切线的位置关系 ; 与

27、弦的位置关系 ; 曲线的弯曲方向 . 2利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 设函数在区间内存在二阶导数 , 则在内在内严格上凸 ; 在内严格下凸 . 该判别法也俗称为 “雨水法则” . 证法一 ( 用 Taylor 公式 ) 对设, 把在点展开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档其中和在与之间. 注意到, 就有, 于是若有上式中, 即严格上凸 . 若有上

28、式中, 即严格下凸 . 证法二 ( 利用 Lagrange 中值定理 . ) 若则有, 不妨设, 并设, 分别在区间和上应用Lagrange 中值定理 , 有,. 有又由，, ， 即，严格下凸 . 可类证的情况 . 3凸区间的分离 :的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点 : 拐点的定义 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档例 1确定函数的上凸、下凸区间和拐点 . 4P154 E20 解的

29、定义域为. 令, 解得. 在区间内的符号依次为，. 拐点为: 倘若注意到本题中的是奇函数 , 可使解答更为简捷 . 三. Jensen 不等式及其应用 : Jensen不等式 : 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点, 有 Jensen 不等式 : ( 或, 且等号当且仅当时成立 . 证令, 把表为点处具二阶 Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意即得所证 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - -

30、精品文档精品文档对具体的函数套用Jensen 不等式的结果 , 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法 . 具体应用时 , 往往还用到所选函数的严格单调性. 例 2证明: 对有不等式. 例 3证明均值不等式 : 对, 有均值不等式. 证先证不等式. 取.在内严格上凸 , 由 Jensen 不等式 , 有. 由. 对用上述已证结果 , 即得均值不等式的左半端. 例 4证明: 对, 有不等式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页

31、- - - - - - - - - - 精品文档精品文档. ( 平方根平均值 ) 例 5设，证明. 解取, 应用 Jensen 不等式.Jensen 不等式在初等数学中的应用举例: 参阅 荆昌汉 文: “凸( 凹) 函数定理在不等式证明中的应用”, 数学通讯 1980.4. P39.例 6在中, 求证. 解考虑函数在区间内凹, 由 Jensen 不等式 , 有. .例 7 已知. 求证精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档. 解考虑函数, 在内严格上凸 . 由 Jensen 不等式, 有. . 例 8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸 . 由 Jensen 不等式 , 有.习题、小结（ 2 学时）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -