2022年最新数学分析第一学期模拟试卷及解析.pdf

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1、精品文档精品文档第 1 学期模拟试卷 1 一、填空题 （15 分，每小题 3 分）1. 252limsin32xxxx. 2. 用( , )L M语言叙述 lim( )xf x的定义 : 3. 数集( 1)1nnnNn的上确界是, 下确界是. 4设1(1)1yxx，则 n 阶导数)(ny. 5定积分1251| (sin)xxx dx. 二、选择题 （15 分，每小题 3 分）1. 设31( ),( )1,1xf xg xxx则当1x时( ) . （A）( )f x与( )g x为等价无穷小； （B）( )f x与( )g x为同阶无穷小但不等价；（C）( )f x是( )g x的高阶无穷小；（

2、D）( )f x.是( )g x的低阶无穷小；2. 当 x时( )f x不以a为极限的定义是 ( ) （A）;0, 0, , ( ).MxMf xa; （B）000, 0, , ().MxMf xa; （C）00000, 0, , ().MxMf xa; （D）00000, 0, , ().MxMf xa. 3 数集( 1, 0.1) 0 ( 0.1 ,1 )AUU的所有聚点的集合是( ) （A） A ；（B） 1, 0.1 0 0.1 ,1 UU；（C） 1, 0.1 0.1 ,1 U； （D）( 1, 0.1) ( 0.1 ,1 )U；4. 设)(xf在0 x处二阶可导，且0( )lim1

3、xfxx, 则( ). （A）0 x是)(xf的极小值点；（B）0 x是)(xf的极大值点；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档（C）(0,(0)f为曲线( )yf x的拐点；（D）. 以上都不是。5. 设)(xf是周期为 T 的连续函数，则下列函数为周期函数的是( ). （A）0( )( )xF xf t dt; （B）0( )( )x TF xf t dt; ( C ) 0( )()xF xf tT dt; （D）

4、( )( )x TxF xf t dt. 三、求极限（ 12 分，每小题 6 分）1.11lim()1lnxxxx2. tan01limxxx四、求不定积分（ 12分，每小题 6 分）15sin x dx 2. ln(1) xx dx . 五、计算定积分（ 12分，每小题 6 分）1.201sin2x dx2.12201xx dx六、 （8 分）设21sin x是)(xf的一个原函数 ，求40(2 ) x fx dx七、 （10分）设曲线2yx (01)x和直线1 , 0yx围成平面图形 D 。( 1 ) 求 D 的面积； ( 2 )求 D 绕x轴旋转而成的旋转体的体积; ( 3 ) 求 D

5、绕直线1x旋转而成的旋转体的体积 . 八、 （8 分）设)(xf在 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,fff求证：( 0, 1 )使( )2f. 九、 （8 分）. 利用确界存在定理证明闭区间套定理：设,nnab为闭区间套，则,nnab必存在唯一的公共点。第 1 学期模拟试卷 1 答案一、填空题 （15 分，每小题 3 分）1. 252limsin32xxxx232. 用( , )L M语言叙述 lim( )xf x的定义 : 0,0,( )LMxMf xL3. 数集( 1)1nnnNn的上确界是13, 下确界是2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

6、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档4设1(1)1yxx，则 n 阶导数)(ny1( 1)!(1)nnnx. 5定积分1251| (sin)xxx dx12二、选择题 （15 分，每小题 3 分）1. B 2. D 3C 4. A 5. D 三、求极限（ 12 分，每小题 6 分）1.11lim()1lnxxxx=1111ln1ln1 1lnln11limlimlimlim1(1)lnln1ln22ln(1)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx2. tan01limxxx=20

7、00001sinlnlnsinlim (tanln)limlimlimlimcoscsccsc cotcos1xxxxxxxxxxxxxxxxxxeeeee四、求不定积分（ 12分，每小题 6 分）15sin x dx422sin(cos )(1 cos)(cos )xdxxdx243521(1 2coscos) (cos )coscoscos35xx dxxxxC2. ln(1) xx dx.=222111ln(1) ()ln(1)2221xx d xxxdxx2221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124xxxxdxxxxxCx五、计算定积分（ 12分，每小题 6 分）1.

8、224200041 sin2cossin(cossin )(sincos )2( 21)x dxxx dxxx dxxx dx2.12201xx dx.(sinxt ) 2222200011sincos cossin 2(1cos4 )48tttdttdtt dt=2011sin8416tt六、 （8 分）设21sin x是)(xf的一个原函数 ，求40(2 ) x fx dx解1 2( )1sinsin 2 , f xxx444000444400004011(2 ) (2 ) (2 )(2 )221111(2 )(2 )sin 4sin42222111cos4(coscos0)884x fx

9、 dxx fx dxx dfxxfxfx dxxxxdxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解 2 2( )1sinsin 2 , 2 , 2ddfxxxxtxt42200011(2 ) ( ) ( )44x fx dxt ft dtt df t220011( )( )44tf tf t dt22200011111sin2sin 2cos2(coscos0)44884tttdtt七、 （10分）设曲线2yx (01)

10、x和直线1 , 0yx围成平面图形 D 。( 1 ) 求 D 的面积； ( 2 )求 D 绕x轴旋转而成的旋转体的体积; ( 3 ) 求 D 绕直线1x旋转而成的旋转体的体积 . 解1312002(1)133xAxdx122014()55xVxdx21112000(1),5(1)(12)6dVdyydyVdyydyyy dy另解 平移坐标1,xuyv曲线方程为2(1) ,1,vuuv112005(1)(12)6Vvdvvv dv八、 （8 分）设)(xf在 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,fff求证：( 0, 1 )使( )2f. 证 1 令2( )( ),F xf xxx则

11、( )0,1(0,1),F xCDI(0)(1)FF由洛尔定理知(0,1),( )0F( )( )21Fxfxx, ( )0,1(0,1)FxCDI, (1)(1)10( )FfF由洛尔定理知(0,1),( )0,( )( )2,( )2FFxfxf证 2 令2( )( ),F xf xx( )0,1(0,1),F xCDI由拉格朗日定理知(0,1),( )( )(10)(1)(0)1,FFFF( )0,1(0,1),FxCDI(1)(1)21( ),FfF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

12、4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档由洛尔定理知(0,1),( )0,( )( )2,( )2FFxfxf证 3 在1x展开为一阶泰勒公式2111( )(1)(1)(1)()(1) , ( ,1)2f xffxfxx1(0)(1)(1)( ), (0,1)2ffff因(0)(1) , (1)1,fff故(0,1),( )2 f证 4 令21( )( )()2F xf xx, 用两次洛尔定理。证 5 令2( )( )( )F xxfxxf x, 用一次洛尔定理。九、 （8 分）. 利用确界存在定理证明闭区间套定理：设,nnab为闭区间套，则,nnab必存在

13、唯一的公共点。证 ( 存在性 )因,nna b为闭区间套 , 故1221nnaaabbbLL因na有上界1b，故由确界存在定理知na必有上确界，设它为; 则由上确界定义有,;nnNa因()nbnN都是na的上界， 而是的最小上界，故,nnNb; 因此，,nnnNab, 从而有1,.nnnabI(惟一性 ) 若另1,.nnnabI, 则 0nnba , 因lim()0nnnba故,从而有1,.nnnabI精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -