2015年高中数学导数解答题尖子生辅导(共37页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学导数尖子生辅导一解答题（共30小题）1（2014遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明菁优网版权所有专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数f（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的

2、根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式解答：解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x（1，x1）时，f（x）0，f（x）在（1，x1）内为增函数；（2）当x（x1，x2）时，f（x）0，f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x（x2，+）时，f（x）0，f（x）在（x2，+）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a0，a=（2x22+2x2）f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22（2x22+2x2）ln（1+x2）设，则h（

3、x）=2x2（2x+1）ln（1+x）2x=2（2x+1）ln（1+x）（1）当时，h（x）0，h（x）在单调递增；（2）当x（0，+）时，h（x）0，h（x）在（0，+）单调递减故点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于基础题2（2014武汉模拟）己知函数f（x）=x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；转化思想；导数的综合应用分析：（）利用导数的运算法

4、则即可得出f（x），利用导数与函数单调性的关系及函数的极值点的定义，即可求出函数的极值；（）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，得出切线的方程，利用方程求出与x轴交点的横坐标，再利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可解答：解：（）f（x）=x2ex，f（x）=2xexx2ex=ex（2xx2），令f（x）=0，解得x=0或x=2，令f（x）0，可解得0x2；令f（x）0，可解得x0或x2，故函数在区间（，0）与（2，+）上是减函数，在区间（0，2）上是增函数x=0是极小值点，x=2极大值点，又f（0）=0，f（2）=故f（x）的极小值和极大值分别为0，（II）设切点为（），则切线方程为y=

5、（xx0），令y=0，解得x=，因为曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，（0，x00或x02，令，则=当x00时，0，即f（x0）0，f（x0）在（，0）上单调递增，f（x0）f（0）=0；当x02时，令f（x0）=0，解得当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递增；当时，f（x0）0，函数f（x0）单调递减故当时，函数f（x0）取得极小值，也即最小值，且=综上可知：切线l在x轴上截距的取值范围是（，0）点评：本题考查利用导数求函数的极值与利用导数研究函数的单调性、切线、函数的值域，综合性强，考查了推理能力和计算能力3（2014四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（

6、x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；导数的概念及应用分析：（）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g（x）0，x（0，+）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；

7、（）由（）知，利用换元法令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴解答：解：（）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，由题意知，g（x）0，对任意的x（0，+）恒成立，即又x0，当且仅当时等号成立，可得（）由（）知，令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，由h（t）=0，得或（舍去），若，则h（t）0，h

8、（t）单调递减；若，则h（t）0，h（t）单调递增当时，h（t）取得极小值，极小值为（）设F（x）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，有得所以，由得所以设，式变为设，所以函数在（0，1）上单调递增，因此，yy|u=1=0，即，也就是此式与矛盾所以F（x）在（x0，F（x0）的切线不能平行于x轴点评：此题是个难题本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和

9、计算能力4（2014河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，dR）满足f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0在R上恒成立（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f（x）+h（x）0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）mx在区间m，m+2上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由考点：导数的运算；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值；其他不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（1）待定系数法求函数解析式，由f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0在R上恒成立列出三个方程，解出a、b、c（2）一元二次不等式解法，注意根之间比较，考查

10、分类讨论思想（3）考查二次函数最值问题，考查分类讨论思想，对m进行讨论，看对称轴与区间的关系解答：解：（1）f（0）=0，d=0x+c及f（1）=0，有f（x）0在R上恒成立，即恒成立显然a=0时，上式不能恒成立a0，函数f（x）=a是二次函数由于对一切xR，都有f（x）0，于是由二次函数的性质可得即，即，解得：a=，（2）由f（x）+h（x）0，即即0，即当时，解集为（，b），当b时，解集为（b，），当b=时，解集为（3），f（x）=该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1假设存在实数m使函数区间mm+2上有最小值5当m1时，2m+1m，函数g（x）在区间m，m+2上是递增的g（m）=5，

11、即解得，舍去当1m1时，m2m+1m+2，函数g（x）在区间m，2m+1上是递减的，而在区间2m+1，m+2上是递增的，g（2m+1）=5即解得或m=，均应舍去当m1时，2m+1m+2，函数g（x）在区间m，m+2上递减的g（m+2）=5即解得或m=1+2其中m=12应舍去综上可得，当m=3或m=1+2时，函数g（x）=f（x）mx在区间m，m+2上有最小值5点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题5（2014天津三模）已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）

12、=xe1x（aR，e为自然对数的底数）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（）若对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（）把a=1代入到f（x）中求出f（x），令f（x）0求出x的范围即为函数的增区间，令f（x）0求出x的范围即为函数的减区间；（）f（x）0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，）上无零点，只需要对x（0，）时f（x）0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数

13、，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a的最小值；（）求出g（x），根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g（x）的值域，而当a=2时不合题意；当a2时，求出f（x）=0时x的值，根据x（0，e列出关于a的不等式得到，并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f（x）的单调区间，根据单调区间得到和，令中不等式的坐标为一个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的最大值，即可解出恒成立和解出得到，联立和即可解出满足题意a的取值范围解答：解：（）当a=1时，f（x）=x12lnx，则f（x）=1，由f（x）0，

14、得x2；由f（x）0，得0x2故f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+）；（）因为f（x）0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）0恒成立，即对恒成立令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a24ln2，+），综上，若函数f（x）在上无零点，则a的最小值为24ln2；（）g（x）=e1xxe1x=（1x）e1x，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（1，e时，g（x）0，函数g（x）单调递减又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函数g（x

15、）在（0，e上的值域为（0，1当a=2时，不合题意；当a2时，f（x）=，x（0，e当x=时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故，即此时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x（0，）（，ef（x）0+f（x）最小值又因为，当x0时，f（x）+，所以，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条件：即令h（a）=，则h，令h（a）=0，得a=0或a=2，故当a（，0）时，h（a）0，函数h（a）单调递增；当时，h（a）0，函数h（a）单调递减所以，对任意，有h（a）h（0）=0，即对任

16、意恒成立由式解得：综合可知，当时，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题6（2014孝感二模）已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专

17、题：压轴题分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解解答：解：（）（2分

18、）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0ln

19、nn1，点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题7（2014凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+（nN+）考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想分析：（1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确

20、定 f（x）的定义域；（2）求导数f（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0；（4）确定 的单调区间若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论（2）当P=1时，f（x）kx恒成立，分离参数等价于k，利用导数求函数h（x）=的最大值即可求得实数k的取值范围；（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）x，当x1时，f（x）x，即lnxx1，令x=，则得到，利用导数的运算法则进行化简，然后再相加，即可证得结论解答：解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，当p1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递增；当p0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）上单调递减；当0p1

21、时，令f（x）=0，解得x=则当x时，f（x）0；x时，f（x）0，故f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；（2）x0，当p=1时，f（x）kx恒成立1+lnxkxk，令h（x）=，则kh（x）max，h（x）=0，得x=1，且当x（0，1），h（x）0；当x（1，+），h（x）0；所以h（x）在0，1）上递增，在（1，+）上递减，所以h（x）max=h（1）=1，故k1（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）x，当x1时，f（x）x，即lnxx1，令x=，则，即，ln2ln11，相加得1n（n+1）1+点评：此题是个难题本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性

22、证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想8（2014市中区二模）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x（0，e时，证明：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0应该恒成立

23、，再结合二次函数的性质可求得a的范围（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x（0，e时g（x）有最小值3（3）令F（x）=e2xlnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0xe大于等于0可判断出函数（x）在（0，e上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即成立解答：解：（1）在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有得，得（2）假设存在实数a，使g（x）=axlnx（x（0，e）有最小值3，=当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae

24、1=3，（舍去），当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，a=e2，满足条件当时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值3（3）令F（x）=e2xlnx，由（2）知，F（x）min=3令，当0xe时，（x）0，（x）在（0，e上单调递增，即（x+1）lnx点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减9（2014河西区一模）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）ax（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f

25、（x）在（1，+）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a，求实数a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g（x），再求出临界点，求出g（x）0和g（x）0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；（2）先求出f（x）的定义域和f（x），把条件转化为f（x）0在（1，+）上恒成立，再对f（x）进行配方，求出在x（1，+）的最大值，再令f（x）max0求解；（3）先把条件等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）m

26、ax+a”，由（2）得f（x）max，并把它代入进行整理，再求f（x）在e，e2上的最小值，结合（2）求出的a的范围对a进行讨论：和，分别求出f（x）在e，e2上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较解答：（1）解：由得，x0且x1，则函数g（x）的定义域为（0，1）（1，+），且g（x）=，令g（x）=0，即lnx1=0，解得x=e，当0xe且x1时，g（x）0；当xe时，g（x）0，函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+），（2）由题意得函数f（x）=在（1，+）上是减函数，f（x）=a0在（1，+）上恒成立，即当x（1，+）时，f（x）max

27、0即可，又f（x）=a=，当时，即x=e2时，得，故a的最小值为（3）命题“若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立”等价于“当xe，e2时，有f（x）minf（x）max+a”，由（2）得，当xe，e2时，则，故问题等价于：“当xe，e2时，有”，当时，由（2）得，f（x）在e，e2上为减函数，则，故，当时，由于f（x）=在e，e2上为增函数，故f（x）的值域为f（e），f（e2），即a，（i）若a0，即a0，f（x）0在e，e2恒成立，故f（x）在e，e2上为增函数，于是，不合题意（ii）若a0，即0，由f（x）的单调性和值域知，存在唯一x0（e，e2），使f（x0）=0，

28、且满足：当x（e，x0）时，f（x）0，f（x）为减函数；当x（x0，e2）时，f（x）0，f（x）为增函数；所以，f（x）min=f（x0）=，x（e，e2），所以，a，与0矛盾，不合题意综上，得点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等知识，考查了分类讨论思想和转化思想，计算能力和分析问题的能力10（2014浙江）已知函数f（x）=x3+3|xa|（aR）（）若f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）m（a）；（）设bR，若f（x）+b24对x1，1恒成立，求3a+b的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：

29、压轴题；导数的综合应用分析：（）利用分段函数，结合1，1，分类讨论，即可求M（a）m（a）；（）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h（x）=，则f（x）+b24对x1，1恒成立，转化为2h（x）2对x1，1恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围解答：解：（）f（x）=x3+3|xa|=，f（x）=，a1时，1x1，xa，f（x）在（1，1）上是增函数，M（a）=f（1）=43a，m（a）=f（1）=43a，M（a）m（a）=8；1a1时，x（a，1），f（x）=x3+3x3a，在（a，1）上是增函数；x（1，a），f（x）=x33x+3a，在（1，a）上是减函数，M（a）=maxf（

30、1），f（1），m（a）=f（a）=a3，f（1）f（1）=6a+2，1a时，M（a）m（a）=a33a+4；a1时，M（a）m（a）=a3+3a+2；a1时，有xa，f（x）在（1，1）上是减函数，M（a）=f（1）=2+3a，m（a）=f（1）=2+3a，M（a）m（a）=4；（）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=，h（x）=，f（x）+b24对x1，1恒成立，2h（x）2对x1，1恒成立，由（）知，a1时，h（x）在（1，1）上是增函数，最大值h（1）=43a+b，最小值h（1）=43a+b，则43a+b2且43a+b2矛盾；1a时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=43a+

31、b，a3+b2且43a+b2，令t（a）=2a3+3a，则t（a）=33a20，t（a）在（0，）上是增函数，t（a）t（0）=2，23a+b0；a1时，最小值h（a）=a3+b，最大值h（1）=3a+b+2，则a3+b2且3a+b+22，3a+b0；a1时，最大值h（1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b2，则3a+b22且3a+b+22，3a+b=0综上，3a+b的取值范围是23a+b0点评：本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大11（2014江西一模）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（

32、）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（）先把f（x0）g（x0）成立转化为h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合

33、（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ III）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x

34、0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零（9分）由（）可知即1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来

35、研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值12（2014广州模拟）已知函数f（x）=ax3+bx23x（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为y+2=0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）f（x2）|c，求实数c的最小值；（3）若过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分

36、析：（1）由题意，利用导函数的几何含义及切点的实质建立a，b的方程，然后求解即可；（2）由题意，对于定义域内任意自变量都使得|f（x1）f（x2）|c，可以转化为求函数在定义域下的最值即可得解；（3）由题意，若过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，等价与函数在切点处导函数值等于切线的斜率这一方程有3解解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx3（2分）根据题意，得即解得所以f（x）=x33x（2）令f（x）=0，即3x23=0得x=1当x（，1）时，f（x）0，函数f（x）在此区间单调递增；当x（1，1）时，f（x）0，函数f（x）在此区间单调递减因为f（1）=2，f（1）=

37、2，所以当x2，2时，f（x）max=2，f（x）min=2则对于区间2，2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）f（x2）|f（x）maxf（x）min|=4，所以c4所以c的最小值为4（3）因为点M（2，m）（m2）不在曲线y=f（x）上，所以可设切点为（x0，y0）则y0=x033x0因为f（x0）=3x023，所以切线的斜率为3x023则3x023=，即2x036x02+6+m=0因为过点M（2，m）（m2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以方程2x036x02+6+m=0有三个不同的实数解所以函数g（x）=2x36x2+6+m有三个不同的零点则g（x）=6x212x令g（

38、x）=0，则x=0或x=2当x（，0）时，g（x）0，函数g（x）在此区间单调递增；当x（0，2）时，g（x）0，函数g（x）在此区间单调递减；所以，函数g（x）在x=0处取极大值，在x=2处取极小值，有方程与函数的关系知要满足题意必须满足：，即，解得6m2点评：（1）此题重点考查了导数的几何含义及函数切点的定义，还考查了数学中重要的方程的思想；（2）此题重点考查了数学中等价转化的思想把题意最总转化为求函数在定义域下的最值；（3）此题重点考查了数学中导数的几何含义，还考查了函数解的个数与相应方程的解的个数的关系13（2014南昌模拟）已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）讨论函数f（x）

39、在定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye1时，求证：考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（），由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数（）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故，由此能求出实数b的取值范围（）由，令，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增，由此能够证明解答：解：（），当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）单调递减，f（x）在（0，+）上没有极值点；当a0时，

40、f（x）0得，f（x）0得，f（x）在上递减，在上递增，即f（x）在处有极小值当a0时f（x）在（0，+）上没有极值点，当a0时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（4分）（注：分类讨论少一个扣一分）（）函数f（x）在x=1处取得极值，a=1，（5分），（6分）令，可得g（x）在（0，e2上递减，在e2，+）上递增，（8分），即（9分）（）证明：，（10分）令，则只要证明g（x）在（e1，+）上单调递增，又，显然函数在（e1，+）上单调递增（12分），即g（x）0，g（x）在（e1，+）上单调递增，即，当xye1时，有（14分）点评：本题考查函数的求极值点的个数的求法，考查满足条件的实数的求法

41、，考查不等式的证明解题时要合理运用导数性质，注意等价转化思想和分类讨论思想的灵活运用14（2014天津二模）已知函数f（x）=（a+）en，a，b为常数，a0（）若a=2，b=1，求函数f（x）在（0，+）上的单调区间；（）若a0，b0，求函数f（x）在区间1，2的最小值；（）若a=1，b=2时，不等式f（x）lnxen恒成立，判断代数式（n+1）！2与（n+1）en2（nN*）的大小考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：压轴题；导数的综合应用分析：第（）问求函数的单调区间，先对函数求导，然导函数在（0，+）正负判断函数的单调性；第（）问通过研究函数在区间1，2上的单调性，确定在何处取到函数的最小值；第（）问要利用不等式f（x）lnxen恒成立，比较两个式子的大小，通过赋值的方法建立条件和问题之间的联系解答：解：（）f（x）=（a+ex=（ax2+bxb）1分当a=2，b=1时，f（x）=（2x2+x1）=（x+1）（2x1）2分令f（x）=0，得x=或x=1（舍去）3分因为，所以当x（0，）时，f（x）0，f（x）是减函数4分当x（时，f（x）0，f（x）是增函数所以函数f（x）的单调递减区间为（0，）；单调递增区间为（