《线性代数》题库及答案(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上线性代数题库及答案一、选择题1如果D=，则行列式的值应为：A 6D B12D C24D D36D2设A 为n阶方阵，R（A）=rn,那么：AA的解不可逆 B C.A中所有r阶子式全不为零 D. A中没有不等于零的r阶子式3设n阶方阵A与B相似，那么：A存在可逆矩阵P，使 B存在对角阵D，使A与B都相似于DC D4如果，则等于A 6 B -9 C-3 D-6 5设矩阵，mn,且R（A）=r,那么：Arm Brn CA 中r阶子式不为零 DA的标准型为，其中E为r阶单位阵。6A为n阶可逆矩阵，是的一个特征根，则的伴随矩阵的特征根之一是：A B C D7如果有非零解，则应为

2、：_。A =0 B =1 C =2 D =-28设是n阶方阵，且，是的伴随阵，那么：_。A B C D 9设A为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是：A A的列向量线性无关 B A的列向量线性相关 C A的行向量线性相关 D A的行向量线性相关10如果有非零解，则应为：_。A B C D11下列命题正确的是_。A B若则C设A、B为三角形矩阵，则A+B为三角矩阵 D12矩阵A、B相似的充要条件是_。AA 与B有相同的特征值 BA与B相似于同一矩阵CA与B有相同的特征向量 D形似于二、填空题1行列式与它的转置行列式的值是_。2矩阵的K阶子式共有_;3n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A

3、有_;4行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值_。5设，为三阶非零矩阵，且，则t=_。6A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P，使_则称A与B相似。7。8若矩阵的，则。9若方程组仅有零解，则应满足的条件是_。10设多项式则中的系数等于_，的系数等于_。11已知，且与正交，则_。12设是3阶方阵，且，则行列式=（ ）13矩阵,则的秩是14设，则=15若线性方程组有解，则常量应满足条件_。16.设4阶方阵其中都是四元列向量，已知,则行列式=( )17已知矩阵A=PQ,其中,Q=,则矩阵 18.设,则秩=( )三、证明题1设A是三阶方阵，是的伴随矩阵，A的行列式为求证：2已知A为n阶方阵，且

4、，试证A可逆，并求。3已知A，B均为n阶正交矩阵，且，证明：。4向量组是方程组(*)的线性无关解向量。5的一切线性组合，其中，是方程组的全部解四、计算题1已知n阶方阵A、B，其中，求。2矩阵求.3设三阶方阵的每行元素之和均为3，且，其中，问（1）A能否与对角矩阵相似？ （2）求A。4计算n阶行列式5矩阵，求。6已知矩阵的特征多项式有重根，问：参数取何值时，A能与对角矩阵相似？7计算8矩阵求9设三阶方阵A满足，其中：，（1）证明：A能与对角矩阵相似。（2）求出A及相似对角矩阵。10设三阶行列式满足， ，计算。11求向量组，的一个最大线性无关组，并将其正交化。12设若A不能与对角矩阵相似，求参数。

5、13计算n阶行列式14 计算题求齐次线性方程组的基础解系及通解。15、计算n阶行列式，其中16、计算题 求矩阵，使得线性代数作业参考答案一、选择题1D 2B 3A 4D 5B 6C7B 8B 9 A 10C 11D 12B二、填空题1相等23n个线性无关的特征向量；4不变 5t=-3 67 89且102，-2 11k= 1213. -9 ； 14. 3 ； 15. 16. 81； 17. ； 18. 2；三、证明题1证：由题设A是三阶方阵，。2证：由，即： 即可逆，且。3证：由题设： 所以即： 只有 证毕。4因，则因此是方程组(*)的线性无关解。设则两边左乘A得，有于是可得线性无关。5显然是解

6、；另一方面，设为任一四、计算题1解： =。2解：， A的代数余子式：3解：（1）令 ，则，由题设，既有，这表示是A的属于特征值0的特征向量。取由题设A的每行元素之和为3，则即的特征值为3的特征向量，又，故线性无关。这表示3阶方阵有3个线性无关的特征向量，所以A能与对角矩阵相似。 （2）由（1） 令，可逆，且 4解： （按第一列展开）5解： 求伴随矩阵 A的代数余子式：6解：计算A的特征多项式：由题设=0有重根，故分两种情况：（1）是重根，则含有因子， 得a=2,此时可得出，所以属于的特征向量的重数3-1=2, 加之特征根的特征向量，A有3个线性无关的特征向量，故此时A 能与对角矩阵相似。（2）

7、不是重根，则是完全平方项，由此得a=6,此时 即对应的无关向量个数为3-2=1，故此时，A不能与对角矩阵相似。7解：8解：，求A的伴随矩阵的元素。 9（1）证：令 则= 记既有 而P可逆两边同时左乘有 即。而相似矩阵有相同的特征值，从而可看出三阶方阵A有3个相异的特征值 所以A可与对角矩阵相似。（2）对角阵=10由已知得：，可以看出三阶方阵A的三个特征值为：，故A与对角矩阵相似，且。11解：令可求出可知最大线性无关组的向量个数为3，因所以即为一个最大线性无关组。 正交化：取； 两量正交.12解： A的特征多项式为：所以A的特征值为：（1） 当时，与题设矛盾（2） 当时 ，特征值所含无关特征向量的个数为3-1=2 加上特征根的特征向量，则A 可与对角阵相似，与题设矛盾。（3） 当时， 则属于二重根的线性无关特征向量，个数为3-2=1 故此时A不能与对角矩阵相似，符合题意，即。13 14计算题系数矩阵为 且秩为3 ；基础解系为15、计算题= =16、计算题专心-专注-专业