2022年最新高考理科数学第一轮复习教案60-二项式定理.pdf

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1、精品文档精品文档第三节二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点一二项式定理1定理公式(ab)nC0nanC1nan1bCknankbk Cnnbn(nN*)叫作二项式定理2通项Tk1Cknankbk为展开式的第 k1 项易误提醒(1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第 k1 项(2)(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - -

2、- - - - - - 精品文档精品文档是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量 b的位置不能颠倒(3)通项是 Tk1Cknankbk(k0,1,2，n)其中含有 Tk1，a，b，n，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素自测练习 1. 2x1x6的展开式中常数项为 _解析： 由题意可知常数项为C46(2x)21x460. 答案： 60 2.x124x8的展开式中的有理项共有_ 项解析：Tr1Cr8( x)8r124xr 12rCr8x163r4 r 为 4 的倍数，故 r0,4,8 共 3 项答案： 3 知识点二二项式系数与项的系数1二项式系数与项的系数(1)二项式系数二项展开式

3、中各项的系数Ckn(k0,1， n)叫作二项式系数(2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等， 与二项式系数是两个不同的概念2二项式系数的性质性质内容精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CmnCnmn增减性当 kn12时，二项式系数逐渐减小最大值当 n 是偶数时，中间一项第n21项 的二项式系数最大，最大值为 Cn2n；当 n 是奇数时，中间两项第n121项

4、和第n121项 的二项式系数相等， 且同时取得最大值， 最大值为 Cn12n或 Cn12n3.各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即 C0nC1nC2n Ckn Cnn2n. 二项展开式中， 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C1nC3nC5n C0nC2nC4n 2n1. 易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在 Tk1Cknankbk中，Ckn就是该项的二项式系数，它与a，b 的值无关； Tk1项的系数指化简后除字母以外的数，如a2x，b3y，Tk1Ckn2nk 3kxnkyk，其中 Ckn2nk3k就是 Tk1项的系数自测练习 3(20

5、15 高考四川卷 )在(2x1)5的展开式中，含x2的项的系数是_(用数字填写答案 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解析： 由二项展开式的通项Tr1Cr5(2x)5r(1)r(r0,1，5)知，当 r3 时，T4C35(2x)53(1)340 x2，所以含 x2的项的系数是 40. 答案： 40 4C0n3C1n5C2n(2n1)Cnn_. 解析： 设 SC0n3C1n5C2n(2n1) Cn1n(2n1)Cn

6、n， S(2n1)Cnn(2n1)Cn1n3C1nC0n， 2S2(n1)(C0nC1nC2nCnn)2(n1) 2n， S(n1) 2n. 答案： (n1)2n 考点一二项展开式中特定项与系数问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档|1(2016 海淀模拟 ) x22x3的展开式中的常数项为 () A12 B12 C6 D6 解析： 由题意可得，二项展开式的通项为Tr1Cr3 (x2)3r2xr(2)rCr3x63

7、r，令 63r0，得 r2，x22x3的展开式中的常数项为 T21(2)2C2312，故选 A. 答案： A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档2 (2015 高 考 安 徽 卷 ) x31x7的 展 开 式 中x5的 系 数 是_(用数字填写答案 ) 解析：由题意知，展开式的通项为Tr1Cr7(x3)7r1xrCr7x214r，令 214r5，则 r4，T5C47x535x5，故 x5的系数为 35. 答案： 3

8、5 3若1xx xn展开式中含有 x2项，则 n 的最小值是 _解析：1xx xn的展开式的通项是Tr1Crn1xnr (x x)rCrn (1)r x52rn.依题意得，关于 r 的方程52rn2，即 r2 n25有正整数解； 又 2 与 5 互质，因此 n2 必是 5 的倍数，即 n25k，n5k2，n 的最小值是 3. 答案： 3 求二项展开式中的指定项， 一般是利用通项公式进行化简通项公精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精

9、品文档精品文档式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等 )，解出项数 r1，代回通项公式即可考点二二项式系数性质与各项系数和问题|精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(1)若x2x2n展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式的常数项是() A360 B180 C90 D45 (2)若 a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4，则 a2a3a4_. 解析(

10、1)展开式中只有第 6 项的二项式系数最大， 则展开式总共 11项，所以 n10，通项公式为 Tr1Cr10( x)10r2x2rCr102rx552r，所以 r2 时，常数项为 180. (2)x4(x1)14C04(x1)4C14(x1)3C24(x1)2C34(x1)C44，对照 a1(x1)4a2(x1)3a3(x1)2a4(x1)a5x4得 a2C14，a3C24，a4C34，所以 a2a3a4C14C24C3414. 答案(1)B(2)14 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8

11、页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1 即可；对形如 (axby)n(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令xy1 即可(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果 n 是偶数，则中间一项第n21 项 的二项式系数最大(2)如果 n 是奇数，则中间两项 第n12项与第n121 项 的二项式系数相等并最大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

12、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(2015 成都一中模拟 )设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2 a11(x2)11，则 a0a1a2a11的值为 () A2 B1 C1 D2 解析： 令等式中 x1 可得 a0a1a2a11(11)(1)92，故选 A. 答案： A 考点三多项式展开式中特定项或系数问题|精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21

13、页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档在高考中， 常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题2几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题3三项展开式中的特定项(系数)问题探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1(2016 商丘月考 )在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展开式中，含 x3的项的系数是 () A74 B121 C74 D121 解析：展开式中含x3项的系数为C35(1)3C36(1)3C37(1)3C38(1)3121. 答案： D 探究二几个多项式积的展开式

14、中的特定项(系数)问题2 (2015 高考全国卷 )(ax)(1x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_. 解析：法一：直接将(ax)(1x)4展开得 x5(a4)x4(64a)x3(46a)x2(14a)xa，由题意得 1(64a)(14a)32，解得a3. 法二： (1x)4展开式的通项为Tr1Cr4xr，由题意可知， a(C14C34)C04C24C4432，解得 a3. 答案： 3 探究三三项展开式中特定项 (系数)问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页

15、，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档3(2015 高考全国卷 )(x2xy)5的展开式中， x5y2的系数为() A10 B20 C30 D60 解析：(x2xy)5(x2x)y5的展开式中只有C25(x2x)3y2中含 x5y2，易知 x5y2的系数为 C25C1330，故选 C. 答案： C (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律， 结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏(3)对

16、于三项式问题一般先变形化为二项式再解决精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用 (赋值法 ) 【典例】若(2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 (a0a2a4)2(a1a3)2的值是 _思维点拨 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x 1，可求得奇数项与偶数项系数之和解析令 x1，得 a0a1a2a3a4(2 3)4，令 x1，得 a0a1a2a3a4(23)

17、4.故(a0a2a4)2(a1a3)2(a0a2a4a1a3)(a0a2a4a1a3)(23)4(23)4(34)41. 答案1 方法点评 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值， 常赋的值为 0， 1.一般地，若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0 a2a4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品

18、文档f 1 f 12，偶数项系数之和为a1a3a5f 1 f 12. 跟踪练习 若(1xx2)6a0a1xa2x2 a12x12，则 a2a4a12_. 解析： 令 x1，则 a0a1a2a1236，令 x1，则 a0a1a2a121， a0a2a4a123612. 令 x0，则 a01，a2a4a1236121364. 答案： 364 A 组考点能力演练1若 x21xn的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为 () A84B84 C36 D36 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

19、- -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解析： 由二项式系数之和为2n512， 得 n9.又 Tr1(1)rCr9x183r，令 183r0，得 r6，故常数项为 T784.故选 B. 答案： B 2已知 (1ax)(1x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a() A4 B3 C2 D1 解析： (1x)5中含 x 与 x2的项为 T2C15x5x，T3C25x210 x2，x2的系数为 105a5，a1. 答案： D 3(2016 青岛模拟 )设(1x)na0a1xa2x2anxn，若 a1a2an63，则展开式中系数最大的项是() A15

20、x2B20 x3C21x3D35x3解析： (1x)na0a1xa2x2anxn，令 x0，得 a01. 令 x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大， (1x)6的展开式系数最大项为T4C36x320 x3. 答案： B 4(2016 西城一模 )若3x13x2m的展开式中二项式系数之和为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档128，则展开式中1x3的系数是 ()

21、 A21 B21 C7 D7 解析： 2m128， m7， 展开式的通项 Tr1Cr7(3x)7r13x2rCr737r(1)rx75r3，令 753r3，解得 r6，1x3的系数为 C67376(1)621，故选 A. 答案： A 5(2016 广州调研 )已知 a20cos x6dx，则二项式x2ax5的展开式中 x 的系数为 () A10 B10 C80 D80 解析： a20cos x6dx2sin x6|0 2，展开式的通项为Tr1Cr5(2)rx103r，令 103r1，则 r3，T4C35(2)3x80 x. 答案： D6. x12x6的展开式中常数项为 _解析： x12x6的通

22、项为 Tk1Ck6x6k12xk 12kCk6x62k，令62k0，得 k3，故展开式中常数项为52. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档答案： 527(2015 高考天津卷)在 x14x6的展开式中，x2的系数为_解析：二项式 x14x6展开式的第 r1 项为 Tr1Cr6x6r 14rxrCr614rx62r，令 62r2，解得 r2，故 x2的系数为 C261421516. 答案：15168若(12x)2

23、015a0a1xa2x2 a2 015x2 015，则a12a222a2 01522 015_. 解析： 当 x00 时，左边 1，右边 a0，a01 当 x12时，左边 0，右边 a0a12a222a2 01522 01501a12a222a2 01522 015a12a222a2 01522 0151 答案： 1 9 已知(a21)n展开式中的各项系数之和等于165x21x5的展开式的常数项，而 (a21)n的展开式的系数最大的项等于54，求正数 a的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

24、17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：165x21x5展开式的通项Tr1Cr5165x2 5r1xr1655rCr5x205r2，令 205r0，得 r4，故常数项 T5C4516516，又(a21)n展开式的各项系数之和为2n，由题意，得 2n16，n4. (a21)4展开式中系数最大的项是中间项T3，从而 C24(a2)254，a3. 10(1)求证： 122225n1(nN*)能被 31 整除；(2)求 SC127C227C2727除以 9 的余数解：(1)证明：122225n125n12125n132n1(311)n1 C0n31nC1n3

25、1n1Cn1n31Cnn1 31(C0n31n1C1n31n2Cn1n)，显然 C0n31n1C1n31n2Cn 1n为整数，原式能被 31 整除(2)SC127C227C27272271891 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档(91)91C0999C1998C899C9919(C0998C1997C89)2. C0998C1997C89是整数， S被 9 除的余数为 7. B 组高考题型专练1(2014 高考

26、湖北卷 )若二项式 2xax7的展开式中1x3的系数是84，则实数 a() A2 B.54 C1 D.24解析： Tr1Cr7 (2x)7raxr27rCr7ar1x2r7.令 2r73，则 r5.由 22 C57a584 得 a1，故选 C. 答案： C 2(2014 高考四川卷 )在 x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为() A30 B20 C15 D10 解析： 在(1x)6的展开式中，含x2的项为 T3C26 x215x2，故精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21

27、页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档在 x(1x)6的展开式中，含 x3的项的系数为 15. 答案： C 3(2015 高考湖北卷 )已知(1x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为() A29B210C211D212解析： 因为(1x)n的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等，所以 C3nC7n，解得 n10，所以二项式 (1x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为1221029. 答案： A 4(2015 高考广东卷)在(x1)4的展开式中，x 的系数为_解析：由题意得 Tr1Cr4( x)4r(1)r(1)rCr4 x

28、4r2， 令4r21，得 r2，所以所求系数为 (1)2C246. 答案： 6 5(2013 高考浙江卷 )设二项式x13x5的展开式中常数项为A，则 A_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 精品文档精品文档解析： 展开式通项为 Tr 1Cr5 ( x)5r13xrCr5(1)rx5256r. 令5256r0，得 r3，当 r3 时，T4C35(1)310.故 A10. 答案： 10 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -