2022年塞尔维亚奥林匹克 中文翻译数学试题.docx

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1、2022塞尔维亚数学奥林匹克第一天1、锐角ABC中，ACBC,内切圆为k，l为C所对旁切圆.过C作AB垂线与k交于点X，Y,与l交于点Z，T。这四个点的顺序为依次为X-Y-Z-T。过X，Z的圆m与AB交于点D，E.求证：D，Y，E,T共圆。2.正实数a，b，c满足a3+b3+c3=3.求证：。3.对nN，将1到n2的所有正整数填入一个nn的网格表的每个单元格内。若两个单元格有公共边，就称这两个单元格是相邻的。若两个相邻单元格所填数字之差恰好为n，就称这两个单元格是”好对”。对单元格集合X，如果对其中任意两个单元格，都可以从其中一个出发移动，每次只能从当前单元格移动到与当前单元格相邻的单元格，经

2、过若干x内的单元格，到达另一个，就称这个集合是”相连”的.若我们的填法能保证，任意两个相邻的单元格中所填数字之差不超过n.对任意正整数k=1，2，.，n2，标有1，2，.，k的单元格一定是“相连”的。求证：一定存在至少2(n-1)个”好对”。第二天4.对正整数n，设f（n）表示集合1，2，n，中，与n的最大公约数为1或质数的数的个数.求证：,并求出取等条件。5.黑板上写有n个正整数.对其进行如下操作：在每一步中，从黑板上任选两个相等的数，将其中一个增加1.另外一个减少1。求证；可以进行的操作步数不会超过。6.设p，q为互不相同的质数，（0，3）为实数.证明:数列，|2，3中，存在小于2pq且能被p或q整除的数。学科网（北京）股份有限公司