2022年反比例函数经典题型.pdf

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1、反比例函数一、经典内容解析1. 反比例函数的概念(1) (k 0) 可以写成 (k 0) 的形式，注意自变量x 的指数为 -1 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k0 这一限制条件；(2) (k0) 也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；(3) 反比例函数的自变量x0，故函数图象与x 轴、 y 轴无交点 .解析式xky（k为常数，且0k）自变量取值范围0 x的实数图象图象的性质双曲线0k0k示意图位置两个分支分别位于一、三象限两个分支分别位于二、四象限变化趋势在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称

2、性是轴对称图形，直线xy是它的两条对称轴是中心对称图形，对称中心为坐标原点3. 反比例函数的性质( 与正比例函数对比)函数解析式正比例函数 y=kx (k0)反比例函数 (k 0)自变量的取值范围全体实数x0图 象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点图象位置 ( 性 质)当 k0 时，图象经过一、 三象限；当k0 时，图象经过二、四象限.当 k0 时，图象的两支分别位于一、三象限；当 k0 时，图象的两支分别位于二、四象限.性 质(1) 当 k0时， y 随 x 的增大而增大； (1) 当 k0 时， 在每个象限内y 随 x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

3、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 . (2) 越大，图象越靠近y 轴.的增大而减小；当 k0 时， 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大. (2) 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直.注：(1) 双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论 . (2) 正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. (3) 反比例函数与一次函数的联系.4. 反比例函数中比例

4、系数k 的几何意义(1) 过双曲线 (k 0) 上任意一点作x 轴、 y 轴的垂线，所得矩形的面积为. (2) 过双曲线 (k 0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为二、典型例题分析1. 反比例函数定义【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多少？1. 反比例函数xy2的图像位于（）A第一、二象限 B 第一、三象限 C 第二、三象限 D 第二、四象限2. 若双曲线 y6x经过点 A（m ，2m ） ，则 m的值为（）A. 3 B. 3 C. 3 D. 33. 已知某反比例函数的图象经过点（m ，n） ，则它一定也经过点（

5、）A. （m ，n） B. （n，m ）C. （m ，n） D. （m ， n）4 （2007陕西）在ABC的三个顶点(23)( 45)( 3 2)ABC，中，可能在反比例函数(0)kykx的图象上的点是5. 若点 P（4，m ）关于 y 轴对称的点在反比例函y= （x0）的图象上，则m的值是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2. 反比例函数的表示【例 2】已知21yyy，xy 与1成正比例，22xy 与成反比例，且间的函数解析式

6、与，求的值都是时，时和xyyxx19321. 若 y 与x成反比例，x与z成正比例，则 y 是z的（）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数D 、不能确定2已知y与)2(x成反比例关系，且当1x时，4y，则y关于x的函数解析式为3 已知y1与x成正比例（比例系数为k1） ，y2与x成反比例（比例系数为k2） ， 若函数12yyy的图象经过点（1，2） ， （2，21） ，则1285kk3. 反比例函数的增减性问题.【例 3】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 2

7、31yyy1在反比例函数图象上有两点A(，) ，B() ，当时，有，则m的取值范围是 ( ). Am 0 Bm 0 Cm Dm 2：已知反比例函数的图象上两点A(，) ，B(，)，当时， 有，则 m的取值范围是_. 3：若反比例函数上，有三点A(，) ，B(，) ，C(，) ，且，则，的大小关系是_. 4. 设有反比例函数 ykx1，(,)xy11、(,)xy22为其图象上的两点， 若xx120时，yy12，则 k 的取值范围是 _4. 反比例函数与图象的面积问题.(1) 求函数解析式1如图， P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形 PEOF的面积为3. 求这个反函数的解析式 . 2.（

8、2007山东枣庄）反比例函数xky的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN 垂直于 x 轴，垂足是点 N ，如果 SMON2，则 k 的值为（） (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - CBA( 第 2 题图 )yxO(2) 求图形面积的问题1. 图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点， 分别以 A、B两点为圆心， 画与 y 轴相切的两个圆，若点 A 的坐标为 (1，2) ，求图中

9、两个阴影面积的和. (3) 求特殊点组成图形的面积1如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2 的图象相交于A、 B两点 . (1) 求 A、B两点的坐标；(2) 求 AOB的面积 . 5. k 的几何意义及应用1点P为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是12 个（平方单位），则解析式为2如图，反比例函数xy5的图象与直线)0(kkxy相交于A、B两点，ACy轴，BCx轴，则ABC的面积等于个面积单位 . 3如图，已知双曲线xky(x0) 经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k_。6. 反比例函数和一次函数的综合例 1函数 y=与 y=mx-m

10、(m0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 1. 已知反比例函数 ykx（k0） ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，那么一次函数 ykxk 的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限ABCEOFxy( 第 3 题图 )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2. 已知一次函数 ykxb 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数ykbx的图象在（）A. 第一、二象

11、限B. 第三、四象限C. 第一、三象限 D. 第二、四象限3 在同一坐标系中，函数xky和3kxy的图像大致是（）A B C D4.（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数 y=2x的图像，则关于 x 的方程 kx+b=2x的解为 ( ) (A)xl=1，x2=2 (B)xl=-2，x2=-1 (C)xl=1，x2=-2 (D)xl=2，x2=-15. 已知反比例函数ykx（k0） ，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，那么一次函数 ykxk 的图象经过（）A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限6. （2007湖北潜江

12、）如图，反比例函数xy5的图象与直线)0(kkxy相交于 B两点， AC y 轴，BC x轴，则 ABC的面积等于个面积单位 .例 2如图，已知A(-4 ，2) 、 B(n，-4) 是一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象的两个交点 .(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围 . 解： (1) 点 A(-4 ，2) 和点 B(n，-4) 都在反比例函数y=的图象上，解得又由点 A(-4 ，2)和点 B(2，-4) 都在一次函数y=kx+b 的图象上，解得反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2. (2)

13、x的取值范围是x2 或-4x0 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 3 直线 y=k1x+b 与双曲线y=只有个交点A(1，2)，且与 x 轴、y 轴分别交于B， C 两点， AD垂直平分OB ，垂足为D，求直线、双曲线的解析式. 解： 点 A(1，2)在上，双曲线的解析式为AD垂直平分OB ，OD=1 ， OB=2 B(2，0) A(1，2)，B(2，0) 在直线上解得直线解析式为. 例 4如图，已知直线与双曲线交于A、B

14、两点，且点A的横坐标为4. (1) 求 k 的值；(2) 若双曲线上一点C的纵坐标为8，求 AOC 的面积；解： (1) 点 A横坐标为4， 当 = 4 时， =2. 点 A的坐标为 (4， 2). 点 A是直线与双曲线的交点， k=4 2=8. (2) 解法一：如图， 点 C在双曲线上，当=8时， =1 点 C的坐标为 (1， 8). 过点 A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M 、N，得矩形 DMON . S矩形 ONDM=32，S ONC=4，SCDA=9， SOAM=4. SAOC=S矩形 ONDM-SONC-SCDA-S OAM=32-4-9-4=15. 解法二：如图，过点 C、A分别做

15、轴的垂线，垂足为E 、F， 点 C在双曲线上，当= 8 时， =1. 点 C的坐标为 (1， 8). 点 C 、A都在双曲线上， SCOE = SAOF=4. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - SCOE+S梯形 CEFA=SCOA+S AOF. SCOA=S梯形 CEFA. S梯形 CEFA =(2+8) 3=15， SCOA=15.7. 反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）时针旋转90后

16、的解析式1如图，一次函数yxb与反比例函数kyx的图象相交于A、B两点，若已知一个交点为A（2，1） ，则另一个交点B的坐标为（）A. （2， 1） B.（ 2， 1）C. （ 1，2） D. （1，2）2反比例函数的图象经过点)32,3(M，将其图象向上平移2 个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为3若将反比例函数xky的图象绕原点O逆时针旋转90后经过点A（ -2，3） ，则反比例函数的解析式为：8. 反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题1已知k10k2，则函数yk1x和2kyx的图象大致是（） 2如图，已知直线1yxm与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线2kyx（x0）分别交

17、于点C 、D，且点C的坐标为（ -1 ，2） 分别求出直线及双曲线的解析式； 求出点D的坐标； 利用图象直接写出当x在什么范围内取值时，12yy9. 求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用1反比例函数中y=5x，当x2 时，y的取值范围是；当y-1 时，x的取值范围是 .2一次函数y=kx+b与反比例函数y=2x的图象如图，则关于x的xyyyyxxxABCD（第 24 题图）（第 26 题图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -

18、 - 方程kx+b=2x的解为 ( ) (A) xl=1，x2=2 (B) xl=-2，x2=-1(C) xl=1，x2=-2 (D) xl=2，x2=-1 3如图，利用函数图象解不等式xx1，则不等式的解集为4不解方程，利用函数的图象判断方程02xx的解的个数为5如图，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ、两点（P点在第一象限） ，若由点ABPQ、 、 、为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标10反比例函数中的综合问

19、题及探究性问题1将x132代入反比例函数1yx中，所得函数值记为y1，将1y的值代入11xy中，得到x2的值； 并将x2的值再次代入函数1yx中，所得函数值记为y2，再将y2的值代入21xy中得到x3 ，并再次将x3代入函数1yx中，所得函数值记为y3，如此继续下去完成下表 .y1y 2y 3y 4y 523观察上表，你发现了什么规律？猜想y2007= 29 图OxAyB（第 27 题图）（第 2 题图）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - -

20、- - 2如图，已知点A在反比例函数的图象上，BxAB轴于点，点C（0，1） ，且ABC的面积是 3，求反比例函数的解析式. 3已知点A0),(abba且，AMy轴于点M，点N ),0(c在x轴上，AMN的面积是 3 个平方单位，探究点A在怎样的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式.（通过举例实践、探究、认知）4如图，正方形ABCD的边长是2，E、F分别在BC 、CD两边上，且E、F与BC 、CD两边的端点不重合，AEF的面积是1，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围 .5已知点),2(a在反比例函数xy6)0(x的图象上点B是点A),2(a关于直线xy的对称点，

21、（1）求点A、B的坐标；（2）光线由点A发出，照射到x轴上的点C, 若反射光线恰好经过点B，求点C的坐标 . 6如图，已知正方形OABC的面积为 9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数kyx(k0，x0) 的图象上，点P (m，n) 是函数kyx(k0，x0) 的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S. 求B点坐标和k的值； 当92S时，求点P的坐标； 写出S关于m的函数关系式 .7已知正比例函数kxy)0(k和反比例函数xny的图象交于点),(baA，点B在正比例函数kxy的图象上， 点C在反比例函数x

22、ny的图象上， 且B、C两点的纵坐标都是k，（第 3 题图）第 4 题图第 5 题图第 6 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （本题中所有的k都表示同一个量）设BC的长记作S，（1）当k=2，a=3 时，求反比例函数的解析式；（2）求 S关于a的函数解析式及a的取值范围，并说明S与k无关 .三、解答1已知一次函数 y=kx+b 的图象与双曲线 y=-2x交于点（1，m ） ，且过点（0，1） ，?求此一次函数的解析式2如图，一

23、次函数bkxy的图像与反比例函数xmy的图像相交于 A、B两点，（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。3. . 在某一电路中，保持电压不变，电流I( 安培) 与电阻 R(欧姆) 成反比例，当电阻 R=5欧姆时，电流 I=2 安培. 则 I 与 R之间的函数关系式？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 4. 已知函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1

24、，则两个函数图象的交点坐标是多少？5. 已知212yyy，1y 与2x成正比例，2y 与 x5 成反比例，且当2x时，109y；当1x时，51y；求 y 与x之间的函数解析式。6 如图 1387 已知一次函数8xy和反比例函数xky图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B（1）求实数 k 的取值范围；（2）若 AOB 的面积 S24，求 k 的值7. 如果不等式0nmx的解集是4x, 点n, 1在双曲线xy2上, 那么一次函数mxny21的图象不经过第几象限？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

25、 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 8如右图， P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为 3，则反比例函数的表达式是？9. 已知直线bkxy经过反比例函数xy8的图象上两点1,2 yA与2,2xB，则kb是多少？10.（2007 四川成都）如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数myx的图象交于( 21)(1)ABn，两点（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求AOB的面积yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -