2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.pdf

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1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。4、 会求分段函数的导数。5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的

2、四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。 2. 1 导数概念一、引例1直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值0000)()(tttftfttss这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 tt00取精品资料 - - -

3、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档比值00)()(tttftf的极限如果这个极限存在设为 v即00)()(lim0tttftfvtt这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2切线问题设有曲线C 及 C 上的一点 M在点 M 外另取 C 上一点 N作割线 MN当点 N 沿曲线 C趋于点 M 时如果割线绕点旋转而趋于极限位置MT直线就称为曲线有点处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要

4、确定曲线在点M(x0, y0)(y0f(x0)处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线MN 的斜率为0000)()(tanxxxfxfxxyy其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 xx0如果当 x 0时上式的极限存在设为 k即00)()(lim0 xxxfxfkxx存在则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan 其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线

5、运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限00)()(lim0 xxxfxfxx令x x x0则y f(x0 x) f(x0) f(x) f(x0) xx0相当于x0于是00)()(lim0 xxxfxfxx成为xyx0lim或xxfxxfx)()(lim000定义设函数 y f(x)在点 x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点 x0 x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x0 x) f(x0) 如果y 与x 之比当x0 时的极限存在则称函数 y f(x)在点 x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为0|xxy即xxfxxfxyxfxx)()

6、(limlim)(00000精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档也可记为0|xxy0 xxdxdy或0)(xxdxxdf函数 f(x)在点 x0处可导有时也说成f(x)在点 x0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有hxfhxfxfh)()(lim)(0000000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学

7、上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限xxfxxfx)()(lim000不存在就说函数 y f(x)在点 x0处不可导如果不可导的原因是由于xxfxxfx)()(lim000也往往说函数y f(x)在点 x0处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间I 内可导这时对于任一 xI都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y)(xfdxdy或dxxdf)(导函数的定义式xxfxxfyx)()(lim0hxfhxfh)()(lim0f (x0)与 f (x

8、)之间的关系函数 f(x)在点 x0处的导数 f (x)就是导函数f (x)在点 x x0处的函数值即0)()(0 xxxfxf导函数 f (x)简称导数而 f (x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数f (x)在 x0处的值左右导数所列极限存在则定义f(x)在0 x 的左导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000f(x)在0 x 的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(0000如果极限hxfhxfh)()(lim000存在则称此极限值为函数在x0的 左导数如果极限hxfhxfh)()(lim000存在则称此极限值为函数在x0的 右导数导数与左右导数的关系Axf)(0Axfxf)(

9、)(00精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档2求导数举例例 1求函数f(x) C（C 为常数）的导数解hxfhxfxfh)()(lim)(00lim0hCCh即(C ) 0例 2求xxf1)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh11lim)()(lim)(002001)(1lim)(limxxhxxhxhhhh例 3求xxf)(的导数解hxhxhxfhxfxfhh00lim)()(li

10、m)(xxhxxhxhhhh211lim)(lim00例 2求函数f(x) xn(n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a)axafxfax)()(limaxaxnnaxlimaxlim (xn 1axn 2an 1) nan 1把以上结果中的a 换成 x 得 f (x) nxn 1即(xn)nxn 1(C)021)1(xxxx21)(1)(xx更一般地有 (x )x1其中为常数例 3求函数f(x) sin x 的导数解f (x)hxfhxfh)()(lim0hxhxhsin)sin(lim02sin)2cos(21lim0hhxhhxhhhxhcos22sin)2cos(lim0即(

11、sin x)cos x用类似的方法可求得(cos x )sin x例 4求函数f(x)a x(a0 a1) 的导数解f (x)hxfhxfh)()(lim0haaxhxh0lim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档haahhx1lim0tah1令)1 (loglim0ttaatxaaeaxaxlnlog1特别地有 (ex) ex例 5求函数f(x) logax (a0 a1) 的导数解

12、hxhxhxfhxfxfaahhlog)(loglim)()(lim)(00hxahahahxhxxhhxxxhxh)1(loglim1)1(loglim1)(log1lim000axexaln1log1解hxhxxfaahlog)(loglim)(0)1(log1lim0 xhhahhxahxhx)1 (loglim10axexaln1log1即axxaln1)(log特殊地xx1)( l naxxaln1)(logxx1)(ln3单侧 导数极限hxfhxfh)()(lim0存在的充分必要条件是hxfhxfh)()(lim0及hxfhxfh)()(lim0都存在且相等f(x)在0 x 处的左

13、导数hxfhxfxfh)()(lim)(00f(x)在0 x 处的右导数hxfhxfxfh)()(lim)(00导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x0) 和右导数 f(x0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f(a) 和左导数 f(b)都存在就说 f(x)有闭区间 a, b上可导精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢

14、谢精品文档例 6求函数f(x)x|在 x 0处的导数解1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh1|lim)0()0(lim)0(00hhhfhffhh因为 f(0) f(0)所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x0处的导数 f (x0)在几何上表示曲线y f(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率即f (x 0) tan 其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x0处的导数为无穷大这时曲线 y f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x x0为极限位置即曲线 y f(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于x轴的切线x

15、x0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为y y0f (x0)(x x0)过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x0) 0法线的斜率为)(10 xf从而法线方程为)()(1000 xxxfyy例 8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xxk41112kk所求切线方程为)21(42xy即 4x y 4 0所求法线方程为)21(412xy即 2x 8y 15 0例 9 求曲线xxy的通过点 (04)的切线方程

16、解 设切点的横坐标为x0则切线的斜率为0212302323)()(0 xxxxfxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档于是所求切线的方程可设为)(230000 xxxxxy根据题目要求点(04)在切线上因此)0(2340000 xxxx解之得 x04 于是所求切线的方程为)4(42344xy即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x0处可导即)(l

17、im00 xfxyx存在则00)(limlimlimlim00000 xfxxyxxyyxxxx这就是说函数 y f(x)在点 x0处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7 函数3)(xxf在区间 (, )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大hfhfh)0()0(lim0hhh0lim30 2 2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1如果函数u u(x)及 v v(x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且u(x)

18、v(x)u (x)v (x) u(x) v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu证明(1)hxvxuhxvhxuxvxuh)()()()(lim )()(0 x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档hxvhxvhxuhxuh)()()()(lim0u (x) v (x)法则 (1)可简单地表示为(u v)uv(2)hxvxuh

19、xvhxuxvxuh)()()()(lim )()(0)()()()()()()()(1lim0 xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuhhhxvhxvxuhxvhxuhxuh)()()()()()(lim0hxvhxvxuhxvhxuhxuhhh)()(lim)()(lim)()(lim000u (x)v(x) u(x)v (x)其中0limhv(x h) v(x)是由于 v (x)存在故 v(x)在点 x 连续法则 (2)可简单地表示为(uv)u v uv(3) hxvhxvhxvxuxvhxuhxvxuhxvhxuxvxuhh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(

20、00hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0)()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh)()()()()(2xvxvxuxvxu法则 (3)可简单地表示为2)(vvuvuvu(u v)uv (uv)u v uv2)(vvuvuvu定理 1中的法则 (1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、v v(x)、w w(x)均可导则有(u v w)uvw(uvw)(uv)w(uv) w (uv)w(u v uv )w uvwu vw uv w uvw即(uvw)u vw uv w uvw在法则

21、 (2)中如果 v C(C 为常数 )则有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(Cu)Cu例 1y 2x 35x 23x 7求 y解 y(2x 35x 23x 7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 25 2x 3 6x 210 x 3例 22sincos4)(3xxxf求 f (x)及)2(f解xxxxxfsin43)2(sin)cos

22、4()()(23443)2(2f例 3y ex(sin x cos x)求 y解 yex) (sin x cos x) ex(sin x cos x) ex(sin x cos x) ex(cos xsin x) 2excos x例 4y tan x求 y解xxxxxxxxy2cos)(cossincos)(sin)cossin()(tanxxxxx22222seccos1cossincos即(tan x)sec2x例 5y sec x求 y解xxxxxy2cos)(cos1cos)1 ()cos1()(secxx2cossinsec x tan x即(sec x)sec x tan x用类似

23、方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数x f(y)在某区间Iy内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数y f1(x)在对应区间 Ixx|x f(y) yIy内也可导并且)(1 )(1yfxf或dydxdxdy1简要证明由于 x f(y)在 Iy内单调、可导 (从而连续 )所以 x f(y)的反函数y f1(x)存在且 f1(x)在 Ix内也单调、连续任取 xIx给 x 以增量x( x 0 xx Ix)由 y f1(x)的单调性可知y f1(xx) f1(x) 0精品资料 - - - 欢迎下

24、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档于是yxxy1因为 y f1(x)连续故0lim0yx从而)(11limlim )(001yfyxxyxfyx上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6 设 x sin y2,2y为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开区间)2,2(内单调、可导且(sin y)cos y 0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix( 1 1)内有

25、2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx类似地有211)(arccosxx例 7设 x tan y)2,2(y为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数 x tan y 在区间)2,2(内单调、可导且(tan y)sec2y 0因此由反函数的求导法则在对应区间Ix()内有22211t an11se c1)( t a n1)( ar c t anxyyyx类似地有211)cotarc(xx例 8 设 x ay(a 0 a1)为直接函数则 y logax 是它的反函数函数 x ay在区间 Iy()内单调、可导且(ay)ayln a0因此由反函数的求导法则在对应区间

26、Ix(0)内有axaaaxyyaln1ln1)(1)(log到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3xe、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3 如果 u g(x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y fg(x)在点 x可导且其

27、导数为)()(xgufdxdy或dxdududydxdy证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f (x)也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0 此时有xxgxxgxgxxgxgfxxgfxxgfxxgfxy)()()()()()()()(xxgxxguufuuf)()()()(xxgxxguufuufxydxdyxux)()(lim)()(limlim000= f (u) g (x)简要证明xuuyxydxdyxx00limlim)()(limlim00 xgufxuuyxu例 9 3xey求dxdy解 函数3xey可看作是由y euu

28、 x3复合而成的因此32233xuexxedxdududydxdy例 10 212sinxxy求dxdy解 函数212sinxxy是由 y sin u212xxu复合而成的因此2222222212cos)1()1 (2)1 ()2()1(2cosxxxxxxxudxdududydxdy对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例 11 lnsin x求dxdy解)(sinsin1)sin(lnxxxdxdyxxxcotcossin1例 123221xy求dxdy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

29、 -第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档解)21()21 (31)21(2322312xxxdxdy322)21 (34xx复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u(v)v(x)则dxdvdvdududydxdududydxdy例 13 y lncos(ex)求dxdy解 )cos()cos(1 )cos(lnxxxeeedxdy)tan()()sin()cos(1xxxxxeeeee例 14xey1sin求dxdy解)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxxexeedx

30、dyxxxxexx1cos11sin2例 15 设 x 0证明幂函数的导数公式(x )x1解 因为 x(e ln x)e ln x所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) e ln xx1x1四、基本求导法则与导数公式1基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x )x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec x tan x(8)(csc x)csc x cot x(9)(ax)ax ln a(10)(ex)ex(11) axxaln1)(log(12) xx1)(ln精品

31、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(13) 211)(arcsinxx(14) 211)(arccosxx(15) 211)(arctanxx(16) 211)cotarc(xx2函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则(1)(uv)uv(2)(C u)C u(3)(u v)u v u v(4)2)(vvuvuvu3反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I

32、y内单调、可导且f (y) 0则它的反函数y f1(x)在 Ixf(Iy)内也可导并且)(1 )(1yfxf或dydxdxdy14复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数y fg(x)的导数为dxdududydxdy或 y (x) f (u) g (x)例 16求双曲正弦sh x 的导数 . 解因为)(21sh xxeex所以xeeeexxxxxch )(21)(21)sh (即(sh x)ch x类似地有(ch x)sh x例 17求双曲正切th x 的导数解因为xxxch sh th 所以xxxx222chshch)(th x2ch1例 1

33、8求反双曲正弦arsh x 的导数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档解因为)1ln(arsh 2xxx所以22211)11(11)arsh (xxxxxx由)1ln(arch 2xxx可得11)arch (2xx由xxx11ln21arth 可得211)arth (xx类似地可得11)arch (2xx211)arth (xx例 19 y sin nx sinnx (n 为常数 )

34、求 y解 y(sin nx) sinnx + sin nx (sinnx)ncos nx sinnx+sin nxn sinn 1x (sin x )ncos nx sinnx+n sinn 1x cos xn sinn 1x sin(n+1)x 2. 3 高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 yf (x)仍然是 x 的函数我们把 yf (x)的导数叫做函数y f(x)的二阶导数记作y 、f(x)或22dxyd即y(y )f(x) f (x)(22dxdydxddxyd相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶

35、导数一般地(n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档yy (4)y (n)或33dxyd44dxydnndxyd函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数yyy (

36、4)y(n)都称为高阶导数例 1y axb求 y解 ya y0例 2s sin t求 s解 s cos ts 2sin t例 3证明函数22xxy满足关系式y 3y1 0证明因为22212222xxxxxxy22222222)1 (2xxxxxxxxy)2()2()1(22222xxxxxxx32321)2(1yxx所以 y 3y1 0例 4求函数y ex的 n 阶导数解 yexyexyexy( 4)ex一般地可得y( n)ex即(ex)(n)ex例 5求正弦函数与余弦函数的n 阶导数解 y sin x)2s i n (c o sxxy)22s i n ()22s i n ()2c o s (

37、xxxy)23si n ()222s i n ()22c o s (xxxy)24sin()23cos()4(xxy一般地可得)2sin()(nxyn即)2sin()(sin)(nxxn用类似方法可得)2cos()(cos)(nxxn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档例 6求对函数ln(1 x)的 n 阶导数解y ln(1 x) y(1 x)1y(1 x)2y( 1)( 2)(1

38、x)3y(4)( 1)( 2)( 3)(1 x)4一般地可得y(n)( 1)( 2)( n 1)(1 x)nnnxn)1 ()!1()1(1即nnnxnx)1 ()!1() 1()1ln(1)(例 6求幂函数y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 yx1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2) (n 1)xn即(x)(n) (1)(2) (n 1)xn当n 时得到(xn)(n) (1)(2) 3 2 1 n! 而(xn)( n 1)0 如果函数u u(x)及 v v(x)都在点 x 处具有 n 阶导数那么显然函数u(x) v(x)

39、也在点 x 处具有 n 阶导数且(u v)(n)u(n)v(n)(uv)u v uv(uv)u v 2u vuv(uv)uv 3u v3u vuv用数学归纳法可以证明nkkknknnvuCuv0)()()()(这一公式称为莱布尼茨公式例 8y x2e2x求 y(20)解设 u e2xv x2则(u)(k)2ke2x(k 1, 2, , 20)v2xv2 (v)(k) 0 (k 3, 4, , 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19)vC 202u(18)v220e2x x220 219e2x 2x! 21920218e2x 2 220e2x (x

40、220 x 95)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档 2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x)的函数称为显函数例如 y sin xy ln x +ex隐函数由方程F(x y) 0 所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y31 xy如果在方程F(x y) 0中当 x 取某区间内的任一值时相应地总有满足

41、这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1求由方程eyxy e 0 所确定的隐函数y 的导数解把方程两边的每一

42、项对x 求导数得(ey)(xy)(e)(0)即eyyy xy0从而yexyy(x ey0)例 2求由方程y52y x 3x70 所确定的隐函数yf(x)在x 0 处的导数y |x 0解把方程两边分别对x 求导数得5y y2y1 21x 60由此得2521146yxy因为当 x 0 时从原方程得y 0 所以21|25211|0460 xxyxy例 3求椭圆191622yx在)323,2(处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x 求导得0928yyx从而yxy169当 x 2 时323y代入上式得所求切线的斜率43|2xyk所求的切线方程为)2(43323xy即03843yx解把椭圆方程的两边分别对

43、x 求导得0928yyx将 x 2323y代入上式得03141y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档于是k y |x 243所求的切线方程为)2(43323xy即03843yx例 4求由方程0sin21yyx所确定的隐函数y 的二阶导数解方程两边对x 求导得0cos211dxdyydxdy于是ydxdycos22上式两边再对x 求导得3222)cos2(sin4)cos2(sin2y

44、yydxdyydxyd对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得 )(ln1xfyyyf(x) ln f(x)对数求导法适用于求幂指函数y u(x)v(x)的导数及多因子之积和商的导数例 5求 y x sin x(x0)的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得xxxxyy1sinlncos1于是)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y x sin xe sin x ln x精品资料 - -

45、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档)sinln(cos)ln(sinsinlnsinxxxxxxxeyxxx例 6求函数)4)(3()2)(1(xxxxy的导数解先在两边取对数(假定 x4)得ln y21ln( x 1) ln(x 2) ln(x 3) ln(x 4)上式两边对x 求导得)41312111(211xxxxyy于是)41312111(2xxxxyy当 x1 时)4)(3()2)(1(x

46、xxxy当 2x3 时)4)(3()2)(1(xxxxy用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分 x 4 x 1 2 x 3 三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设 y 与 x 的函数关系是由参数方程)()(tytx确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x(t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y(x) 若 x(t)和 y(t)都可导则)()(1ttdtdxdtdydx

47、dtdtdydxdy即)()(ttdxdy或dtdxdtdydxdy若 x(t)和 y(t)都可导则)()(ttdxdy例 7求椭圆tbytaxsincos在相应于4t点处的切线方程解tabtatbtatbdxdycotsincos)cos()sin(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档所求切线的斜率为abdxdyt4切点的坐标为224cos0aax224sin0bby切线方程为)2

48、2(22axabby即bx ay2 ab0例 8抛射体运动轨迹的参数方程为22121gttvytvx求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v2tg t 2 解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x(t) v1y (t) v2gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)()(tytxv2221)(gtvv再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为12)()(tanvgtvtxtydxdy已知 x(t), y(t)如何求二阶导数y ? 由 x(t)()(ttdxdydxdtttdtddxdydxddxyd)()()(22)(1)()()()()(2tttttt)()()()(

49、)(3ttttt例 9计算由摆线的参数方程)cos1()sin(tayttax所确定的函数 y f(x)的二阶导数解)()(txtydxdy)cos1 (sin )sin( )cos1 (tatattata2cotcos1sinttt(t 2nn 为整数 )dxdttdtddxdydxddxyd)2(cot)(22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档22)cos1 (1)cos1 (

50、12sin21tatat(t 2nn 为整数 )三、相关变化率设 x x(t)及 y y(t)都是可导函数而变量 x 与 y间存在某种关系从而变化率dtdx与dtdy间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例 10 一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升其速度为 140m/min( 分)当气球高度为 500m 时观察员视线的仰角增加率是多少？解 设气球上升t(秒)后其高度为h 观察员视线的仰角为则500tanh其中及 h 都是时间t 的函数上式两边对t 求导得dtdhdtd5001sec2已知14