2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数.pdf

《2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第07章空间解析几何与向量代数.pdf（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档第七章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。3、理解单位向量、 方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。4、 掌握平面方程和直线方程及其求法。5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。6、 会求点到直线以及点到平面的距离。7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母

2、线平行于坐标轴的柱面方程。8、 了解空间曲线的参数方程和一般方程。9、 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程； 7 1 向量及

3、其线性运算一、向量概念向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号以 A 为起点、 B 为终点的有向线段所表示的向量记作AB向量可用粗体字母表示也可

4、用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F 或a 、r、 v 、F自由向量由于一切向量的共性是它们都有大小和方向所以在数学上我们只研究与起点无关的向量并称这种向量为自由向量简称向量因此如果向量 a 和 b的大小相等且方向相同则说向量a 和 b 是相等的记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合向量的模向量的大小叫做向量的模向量 a、a 、AB的模分别记为 |a|、|a 、|AB单位向量模等于 1 的向量叫做单位向量零向量模等于 0的向量叫做零向量记作 0或 0零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的向量的平行两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与 b平行记作

5、 a / b 零向量认为是与任何向量都平行当两个平行向量的起点放在同一点时它们的终点和公共的起点在一条直线上因此两向量平行又称两向量共线类似还有共面的概念设有 k(k 3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果 k 个终点和公共起点在一个平面上就称这 k 个向量共面二、向量的线性运算1向量的加法向量的加法设有两个向量a 与 b平移向量使b的起点与 a 的终点重合此时从 a的起点到 b的终点的向量c称为向量a 与 b的和记作 a+b即 c a+b . 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则平行四边形法则当向量 a 与 b 不平行时平移向量使a 与 b 的起点重合以 a、b为邻边

6、作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a 与 b的和 a b向量的加法的运算规律bacABCABCbaDc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(1)交换律 a b b a(2)结合律 (a b) c a (b c)由于向量的加法符合交换律与结合律故 n 个向量 a1a2an(n3)相加可写成a1a2an并按向量相加的三角形法则可得 n 个向量相加的法则如下使前一向量的终点作为次一

7、向量的起点相继作向量a1a2an再以第一向量的起点为起点最后一向量的终点为终点作一向量这个向量即为所求的和负向量设 a 为一向量与 a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量记为a向量的减法我们规定两个向量b 与 a 的差为b a b ( a)即把向量a 加到向量b 上便得 b与 a 的差 b a特别地当 b a 时有a a a ( a) 0显然任给向量 AB 及点 O有AOOBOBOAAB因此若把向量a 与 b 移到同一起点O则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量AB 便是向量b与 a 的差 b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b| |a| |b|及|a b

8、| |a| |b|其中等号在b 与 a 同向或反向时成立2向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量 a 与实数的乘积记作a规定a是一个向量它的模 | a| | |a|它的方向当0 时与 a相同当 0 时与 a 相反当0 时 | a| 0即 a 为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1 时有1a a ( 1)aababababa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档运算规律(1)结合律(

9、a)( a) ()a；(2)分配律()aaa；(a b)ab例 1 在平行四边形ABCD 中设ABaADb试用 a 和 b表示向量MA、MB、 MC 、MD其中 M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以a bAMAC2即(a b)MA2于是21MA(a b)因为MAMC所以21MC(a b)又因a bMDBD2所以21MD(b a)由于MDMB所以21MB(a b)例 1 在平行四边形ABCD 中设aABbAD试用 a和 b 表示向量MA 、 MB 、 MC 、 MD其中 M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以MAAMAC22ba于是)(21b

10、aMA)(21baMAMC因为MDBD2ba所以)(21abMD)(21baMDMB向量的单位化设 a 0则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 ea于是 a |a|ea向量的单位化ABCDMabABCDMab精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档设 a 0则向量|aa是与 a 同方向的单位向量记为 ea于是 a | a | ea定理 1 设向量 a0那么向量 b 平行于 a 的充分

11、必要条件是存在唯一的实数使 ba证明条件的充分性是显然的下面证明条件的必要性设 b / a 取|ab|当 b与 a 同向时取正值当 b与 a 反向时取负值即 ba 这是因为此时 b 与 a 同向且| a| | |a|b|aab|再证明数的唯一性设 ba又设 ba两式相减便得()a 0即|a| 0因|a| 0故 | 0即给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴设点 O 及单位向量i确定了数轴Ox对于轴上任一点P对应一个向量OP由 OP /i根据定理 1必有唯一的实数x使 OPxi(实数 x 叫做轴上有向线段OP 的值 )并知 OP 与实数 x 一一对应于是点 P向量OP xi实数 x从而轴上的点

12、P 与实数 x 有一一对应的关系据此定义实数x 为轴上点P 的坐标由此可知轴上点 P 的坐标为 x 的充分必要条件是OP xi三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴 )、y 轴(纵轴 )、z 轴(竖轴 )统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为 Oxyz 坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2)通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上而 z 轴则是铅垂线(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x 轴及 y 轴所确定的坐标

13、面叫做xOy 面另两个坐标面是yOz 面和 zOx 面卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档它位于 xOy 面的上方在 xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在 xOy 面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III

14、 、IV、V、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点 M使rOM以 OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有OROQOPNMPNOPOMr设ixOPjyOQkzOR则kjirzyxOM上式称为向量r 的坐标分解式xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量显然给定向量 r就确定了点 M 及i xOPjyOQkzOR三个分向量进而确定了x、 y、z 三个有序数反之给定三个有序数x、y、z 也就确定了向量r 与点 M于是点 M、向量 r 与三个有序 x、 y、z 之间有一一对应的关系),(zyxzyxOMMkjir据此定义有序数 x、y、z 称为向量 r(在

15、坐标系Oxyz)中的坐标记作 r (x y z)有序数 x、y、z 也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标记为 M(x y z)向量OMr称为点M 关于原点O 的向径上述定义表明一个点与该点的向径有相同的坐标记号 (x y z)既表示点M又表示向量OM . 坐标面上和坐标轴上的点其坐标各有一定的特征例如点 M 在 yOz 面上则 x 0同相在 zOx 面上的点y 0在 xOy 面上的点z 0如果点 M 在 x 轴上则 y z 0同样在 y 轴上 ,有z x 0在 z 轴上的点有 x y 0如果点 M 为原点则 x y z 0. 四、利用坐标作向量的线性运算设 a (axayaz) b (bxby

16、bz) 即a axi ayj azk b bxi byj bzk则a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) (axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)a b (axi ayj azk) (bxi byj bzk) (axbx)i (ayby)j (azbz)k(axbxaybyazbz)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档a(axi

17、 ayj azk) ( ax)i ( ay)j ( az)k( axayaz)利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (axayaz) 0 b (bxbybz)向量 b/aba即b/a(bxbybz)(axayaz)于是zzyyxxababab例 2 求解以向量为未知元的线性方程组byxayx2335其中 a (2 1 2) b ( 1 12). 解 如同解二元一次线性方程组可得x 2a 3b y 3a 5b以 a、b 的坐标表示式代入即得x 2(2 1 2) 3( 1 12) (71 10)y 3(2 1 2) 5( 1 12) (112 16)例 3 已知两点A(x1y1z1)和 B(x2

18、y2z2)以及实数1在直线 AB 上求一点 M使MBAM解由于OAOMAMOMOBMB因此)(OMOBOAOM从而)(11OBOAOM)1,1,1(212121xxxxxx这就是点M 的坐标另解设所求点为M (x y z)则),(111zzyyxxAM),(222zzyyxxMB依题意有MBAM即(x x1y y1z z1)(x2x y2y z2z)(x y z) (x1y1z1)(x2y2z2)(x y z)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 32 页 - - - - - - -

19、 - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档),(11),(212121zzyyxxzyx121xxx121yyy121zzz点 M 叫做有向线段AB 的定比分点当1点 M 的有向线段AB 的中点其坐标为221xxx221yyy221zzz五、向量的模、方向角、投影1向量的模与两点间的距离公式设向量 r (x y z)作rOM则OROQOPOMr按勾股定理可得222|OROQOPOMr设i xOPj yOQkzOR有|OP| |x| |OQ| |y| |OR| |z|于是得向量模的坐标表示式222|zyxr设有点 A(x1y1z1)、B(x2y2z2)则OAOBAB(x2y2

20、z2) (x1y1z1) (x2x1y2y1z2z1)于是点 A 与点 B 间的距离为212212212)()()(|zzyyxxABAB例 4 求证以 M1(4 3 1)、M2 (7 1 2)、M3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解因为| M1M2|2 (7 4)2(1 3)2(2 1)2 14| M2M3|2 (5 7)2(2 1)2(3 2)2 6| M1M3|2 (5 4)2(2 3)2(3 1)2 6所以 |M2 M3| |M1M3|即M1 M2 M3为等腰三角形例 5 在 z 轴上求与两点A( 4 1 7)和 B(3 52)等距离的点解设所求的点为M(0 0 z)

21、依题意有 |MA|2|MB|2即(0 4)2(0 1)2(z 7)2(3 0)2(5 0)2( 2 z)2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档解之得914z所以所求的点为)914, 0, 0(M例 6 已知两点 A(4 0 5)和 B(7 1 3)求与 AB 方向相同的单位向量e解 因为)2, 1,3()5,0, 4()3, 1,7(AB14)2(13|222AB所以)2, 1,3(1

22、41|ABABe2方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与 b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与 b的夹角记作),(ba或),(ab如果向量 a 与 b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值类似地可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角非零向量r 与三条坐标轴的夹角、 、 称为向量r 的方向角向量的方向余弦设 r (x y z)则x |r|cosy |r|cosz |r|coscos 、cos 、cos称为向量 r 的方向余弦|cosrx|cosry|cosrz从而rerr|1)cos,cos,(cos上式表明以向量 r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向

23、的单位向量er因此cos2cos2cos21例 3 设已知两点)2,2,2(A)和 B (1, 3, 0)计算向量 AB 的模、方向余弦和方向角解)2, 1, 1()20,23, 21(AB2)2(1)1(|222AB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档21cos21cos22cos323433向量在轴上的投影设点 O 及单位向量e 确定 u 轴任给向量r作rOM再过点 M 作与 u

24、轴垂直的平面交u 轴于点 M (点 M 叫作点 M 在 u轴上的投影 )则向量MO称为向量 r 在 u 轴上的分向量设eMO则数称为向量 r 在 u 轴上的投影记作 Prjur 或(r)u按此定义向量 a 在直角坐标系Oxyz中的坐标 axayaz就是 a 在三条坐标轴上的投影即axPrjxa ayPrjya azPrjza投影的性质性质 1 (a)u|a|cos (即 Prjua |a|cos )其中为向量与 u 轴的夹角性质 2 (a b)u(a)u(b)u (即 Prju(a b) Prjua Prjub)性质 3 ( a)u(a)u (即 Prju( a)Prjua) 7 2 数量积向

25、量积一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动到点M2以 s 表示位移21MM由物理学知道力 F 所作的功为W |F| |s| cos其中为 F 与 s的夹角数量积对于两个向量a 和 b 它们的模|a|、|b| 及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a 和 b的数量积记作 a b 即a b |a| |b| cos数量积与投影由于 |b| cos|b|cos(a b)当 a 0 时 |b| cos(a b) 是向量b 在向量 a 的方向上的投影于是 a b|a| Prjab同理当 b 0 时 a b |b| Prjba数量积的性质(1) a a|a| 2精品资料

26、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(2) 对于两个非零向量a、b 如果 a b 0 则 a b反之如果 a b 则 a b0如果认为零向量与任何向量都垂直则 a ba b0数量积的运算律(1)交换律a bb a(2)分配律(a b) c a c b c(3) ( a) ba ( b)(a b)( a) ( b)(a b)、为数(2)的证明分配律 (a b) c a c bc 的证明因为当 c

27、 0 时上式显然成立当 c 0 时有(a b) c |c|Prjc(a b) |c|(Prjca Prjcb) |c|Prjca |c|Prjcb a c b c例 1 试用向量证明三角形的余弦定理证 设在 ABC 中 BCA(图 7 24)BC| aCA| b |AB| c要证c 2a 2b 22 a b cos 记CBa CAb ABc则有c a b从而|c|2cc (a b)(a b) a a bb 2ab |a|2|b|22|a|b|cos(a b)即c 2a 2b 22 a b cos 数量积的坐标表示设 a (axayaz ) b (bxbybz )则ab axbxaybyazbz

28、 提示按数量积的运算规律可得ab( ax iay j az k) (bx i by j bz k) axbx i i ax by i j ax bz i kaybx j i ay by j j ay bz j kazbx k i az by k j az bz k k axbx ay by az bz 两向量夹角的余弦的坐标表示设(a b)则当 a 0、b 0 时 有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系

29、网站删除谢谢精品文档222222|coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa提示a b |a|b|cos例 2 已知三点 M (1 1 1)、A (2 2 1)和 B (2 1 2) 求AMB解从 M 到 A 的向量记为a从 M 到 B 的向量记为b 则AMB 就是向量a 与 b 的夹角a 1 1 0 b 1 0 1因为a b 1 1 1 0 0 1 12011|222a2101|222b所以21221|cosbabaAMB从而3AMB例 3设液体流过平面S 上面积为 A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常向量 v 设 n 为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）

30、计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P(液体的密度为)解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为 | v |的斜柱体 (图 7-25(b)这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与 n 的夹角所以这柱体的高为| v | cos体积为A| v | cos A v n从而单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为PAv n二、两向量的向量积在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设 O 为一根杠杆L 的支点 有一个力F 作用于这杠杆上P 点处F 与 OP 的夹角为由力学规定力 F 对支点 O 的力矩是一向量M 它的模sin|FMOP而

31、 M 的方向垂直于OP 与 F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从OP 以不超过的角转向 F来确定的向量积设向量 c 是由两个向量a 与 b 按下列方式定出c 的模 |c| |a|b|sin 其中为 a 与 b精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档c 的方向垂直于a 与 b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向 b 来确定那么向量 c 叫做向量a与 b 的向量积记作 a b

32、即ca b根据向量积的定义力矩 M 等于 OP 与 F 的向量积即FMOP向量积的性质(1) a a0(2) 对于两个非零向量a、b 如果 a b0 则 a/b 反之如果 a/b 则 a b0如果认为零向量与任何向量都平行则 a/ba b0数量积的运算律(1) 交换律 a bb a(2) 分配律(a b) ca cb c(3) ( a) ba ( b)(a b) ( 为数)数量积的坐标表示设 a ax i ay j az kb bx i by j bz k 按向量积的运算规律可得a b( ax i ay j az k)( bx i by j bz k) axbx i i ax by i j a

33、x bz i kaybx j i ay by j j ay bz j kazbx k i az by k j az bz k k由于 i ij jk k0i jk j kik ij所以a b( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成zyxzyxbbbaaakjibaaybzi azbxj axbyk aybxk axbz j azbyi ( ay bz az by) i ( azbx ax bz) j ( ax by aybx) k例 4 设 a (2 11) b (11 2) 计算 a b解2111

34、12kjiba2i j 2k k 4j ii 5j 3k例 5 已知三角形ABC 的顶点分别是A (1 2 3)、B (3 4 5)、C (2 4 7) 求三角形ABC 的面积解根据向量积的定义可知三角形ABC 的面积|21sin|21ACABAACABSABC由于AB(2 2 2)AC(1 2 4)因此精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档421222kjiACAB4i 6j 2k于

35、是142)6(421|264|21222kjiABCS例 6 设刚体以等角速度绕 l 轴旋转计算刚体上一点M 的线速度解刚体绕 l 轴旋转时我们可以用在l 轴上的一个向量表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l 轴 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是的方向设点 M 到旋转轴l 的距离为 a再在 l 轴上任取一点O 作向量 rOM并以表示与 r 的夹角那么a|r| sin设线速度为v 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v 的大小为|v|a| | |r| sinv 的方向垂直于通过M 点与 l 轴的平面即 v 垂直于与 r 又 v 的指

36、向是使、r、v 符合右手规则因此有vr 73 曲面及其方程一、曲面方程的概念在空间解析几何中任何曲面都可以看作点的几何轨迹在这样的意义下如果曲面S 与三元方程F(x y z) 0 有下述关系(1) 曲面 S上任一点的坐标都满足方程F(x y z) 0(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z) 0那么方程 F(x y z) 0 就叫做曲面S的方程而曲面 S就叫做方程F(x y z) 0 的图形常见的曲面的方程例 1 建立球心在点M0(x0y0z0)、半径为 R 的球面的方程解设 M(x y z)是球面上的任一点那么|M0M| R即Rzzyyxx202020)()()(或(x x0

37、)2(y y0)2(z z0)2R2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档这就是球面上的点的坐标所满足的方程而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程所以(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2就是球心在点M0(x0y0z0)、半径为R 的球面的方程特殊地球心在原点O(0 0 0)、半径为 R 的球面的方程为x2y2z2R2例 2 设有点 A(1 2 3)和 B(21 4)求线段 A

38、B 的垂直平分面的方程解由题意知道所求的平面就是与A 和 B 等距离的点的几何轨迹设 M(x y z)为所求平面上的任一点则有|AM| |BM|即222222)4() 1() 2()3()2() 1(zyxzyx等式两边平方然后化简得2x 6y 2z 7 0这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程所以这个方程就是所求平面的方程研究曲面的两个基本问题(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时建立这曲面的方程(2) 已知坐标x、y 和 z 间的一个方程时研究这方程所表示的曲面的形状例 3 方程 x2y2z22x 4y 0 表示怎样的曲面？解通过配方原方程可以改写成(

39、x 1)2(y 2)2z25这是一个球面方程球心在点 M0(12 0)、半径为5R一般地设有三元二次方程Ax2Ay2Az2Dx Ey Fz G 0这个方程的特点是缺xyyzzx 各项而且平方项系数相同只要将方程经过配方就可以化成方程(x x0)2(y y0)2(z z0)2R2的形式它的图形就是一个球面二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在 yO z 坐标面上有一已知曲线C它的方程为f (y z) 0把这曲线绕z 轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程可以求得如下设 M(x y z)为曲面上任一点它是曲线C 上点 M

40、1(0 y1z1)绕 z 轴旋转而得到的因此有如下关系等式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档0),(11zyf1zz221|yxy从而得0),(22zyxf这就是所求旋转曲面的方程在曲线 C 的方程 f(yz) 0 中将 y 改成22yx便得曲线C 绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程0),(22zyxf同理曲线 C 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为0),(22zxyf例 4 直

41、线 L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周所得旋转曲面叫做圆锥面两直线的交点叫做圆锥面的顶点两直线的夹角(20)叫做圆锥面的半顶角试建立顶点在坐标原点O旋转轴为z轴半顶角为的圆锥面的方程解在 yO z 坐标面内直线 L 的方程为z ycot 将方程 z ycot中的 y 改成22yx就得到所要求的圆锥面的方程co t22yxz或z2a2 (x2y2)其中 a cot 例 5将 zOx 坐标面上的双曲线12222czax分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解绕 x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222czyax绕 z轴旋转所在的旋转曲面的方程为122222czayx这两种曲

42、面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面三、柱面例 6 方程 x2y2R2表示怎样的曲面？解方程 x2y2R2在 xOy 面上表示圆心在原点O、 半径为 R 的圆在空间直角坐标系中这精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档方程不含竖坐标z即不论空间点的竖坐标z 怎样只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程那么这些点就在这曲面上也就是说过 xOy 面上的圆x2y2R2且平行于z 轴的直线

43、一定在x2y2R2表示的曲面上所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿 xOy 面上的圆x2y2R2移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy 面上的圆 x2y2R2叫做它的准线这平行于z轴的直线 l 叫做它的母线例 6 方程 x2y2R2表示怎样的曲面？解在空间直角坐标系中过 xOy 面上的圆 x2y2R2作平行于z 轴的直线l则直线 l 上的点都满足方程x2y2R2因此直线l 一定在 x2y2R2表示的曲面上所以这个曲面可以看成是由平行于 z轴的直线 l 沿 xOy 面上的圆 x2y2R2移动而形成的这曲面叫做圆柱面xOy 面上的圆x2y2R2叫做它的准线这平行于 z 轴的直线 l 叫做它

44、的母线柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面定曲线 C 叫做柱面的准线动直线 L 叫做柱面的母线上面我们看到不含 z 的方程 x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z轴它的准线是xOy 面上的圆 x2y2R2一般地只含 x、y而缺 z 的方程 F(x y) 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是xOy 面上的曲线CF(x y) 0例如方程 y22x 表示母线平行于z轴的柱面它的准线是xOy 面上的抛物线y22x 该柱面叫做抛物柱面又如方程x y 0 表示母线平行于z轴的柱面其准线是 xOy 面的直线x y 0所以它是过z 轴的平面类似地只

45、含 x、z 而缺 y 的方程 G(x z) 0 和只含 y、z 而缺 x 的方程 H(y z) 0 分别表示母线平行于 y 轴和 x 轴的柱面例如方程x z 0 表示母线平行于y 轴的柱面其准线是zOx 面上的直线x z 0所以它是过 y 轴的平面四、二次曲面与平面解析几何中规定的二次曲线相类似我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面怎样了解三元方程F(x y z) 0所表示的曲面的形状呢方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截考察其交线的形状然后加以综合从而了解曲面的立体形状这种方法叫做截痕法研究曲面的另一种方程是伸缩变形法设 S是一个曲面其方程为 F(x y z

46、) 0 S 是将曲面 S沿 x 轴方向伸缩倍所得的曲面显然若(x y z)S 则( x y z)S若(x y z)S则Szyx),1(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档因此对于任意的 (x y z)S有0),1(zyxF即0),1(zyxF是曲面 S的方程例如，把圆锥面2222zayx沿 y 轴方向伸缩ab倍所得曲面的方程为2222)(zaybax即22222zbyax(1)椭圆锥

47、面由方程22222zbyax所表示的曲面称为椭圆锥面圆锥曲面在y 轴方向伸缩而得的曲面把圆锥面2222zayx沿 y 轴方向伸缩ab倍所得曲面称为椭圆锥面22222zbyax以垂直于z 轴的平面z t 截此曲面当 t 0 时得一点 (0 0 0)当 t 0 时得平面 z t 上的椭圆1)()(2222btyatx当 t变化时上式表示一族长短轴比例不变的椭圆当|t|从大到小并变为0 时这族椭圆从大到小并缩为一点综合上述讨论可得椭圆锥面的形状如图(2)椭球面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为椭球面球面在 x 轴、 y 轴或 z轴方向伸缩而得的曲面把 x2y2z2a2沿 z 轴方向伸缩

48、ac倍得旋转椭球面122222czayx再沿 y 轴方向伸缩ab倍即得椭球面1222222czbyax(3)单叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为单叶双曲面把 zOx面上的双曲线12222czax绕 z 轴旋转得旋转单叶双曲面122222czayx再沿y 轴方向伸缩ab倍即得单叶双曲面1222222czbyax(4)双叶双曲面由方程1222222czbyax所表示的曲面称为双叶双曲面把 zOx面上的双曲线12222czax绕 x轴旋转得旋转双叶双曲面122222cyzax再沿精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

49、- - - - - - - - -第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档y 轴方向伸缩cb倍即得双叶双曲面1222222czbyax(5)椭圆抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为椭圆抛物面把 zOx 面上的抛物线zax22绕 z轴旋转所得曲面叫做旋转抛物面zayx222再沿 y轴方向伸缩ab倍所得曲面叫做椭圆抛物面zbyax2222(6)双曲抛物面由方程zbyax2222所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面用平面 x t 截此曲面所得截痕l 为平面 x t 上的抛物线2222atzby此抛物线开口

50、朝下其项点坐标为), 0,(22att当 t 变化时l 的形状不变位置只作平移而 l 的项点的轨迹L 为平面 y 0 上的抛物线22axz因此以 l 为母线L 为准线母线 l 的项点在准线L 上滑动且母线作平行移动这样得到的曲面便是双曲抛物面还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面12222byax12222byaxayx2依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面 7 4 空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线设F(x y z) 0 和 G(x y z) 0 是两个曲面方程它们的交线为C因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程所以应满足方程组0),(0),