2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章无穷级数.pdf

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1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档第十一章无穷级数教学目的：1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分） ，会求一些幂级数在收敛区间内的和函

2、数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10掌握,sin,cosxexx，ln(1)x和(1)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-l ，l上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，l 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、,sin,cosxexx，ln(1)x和(

3、1)a的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难点 ：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。 11 1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数给定一个数列u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1 u2u3un 叫做常数

4、项 )无穷级数简称常数项 )级数记为1nnu即3211nnnuuuuu其中第 n 项 un叫做级数的一般项级数的部分和作级数1nnu的前 n 项和nniinuuuuus3211称为级数1nnu的部分和级数敛散性定义如果级数1nnu的部分和数列ns有极限 s 即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛这时极限s叫做这级数的和并写成精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档3211nnnuuuuu

5、s如果ns没有极限则称无穷级数1nnu发散余项当级数1nnu收敛时其部分和 sn是级数1nnu的和 s 的近似值它们之间的差值rns snun 1un 2叫做级数1nnu的余项例 1 讨论等比级数(几何级数 ) 20nnnaqaqaqaaq的敛散性其中 a 0 q 叫做级数的公比例 1 讨论等比级数nnaq0(a 0)的敛散性解 如果 q 1 则部分和qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn11112当 |q| 1 时因为qasnn1lim所以此时级数nnaq0收敛其和为qa1当 |q|1 时因为nnslim所以此时级数nnaq0发散如果 |q| 1则当 q 1 时 snna因此级数nnaq

6、0发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档当 q1 时级数nnaq0成为a a a a时|q| 1 时因为 sn随着 n 为奇数或偶数而等于a 或零所以 sn的极限不存在从而这时级数nnaq0也发散综上所述如果 |q| 1则级数nnaq0收敛其和为qa1如果 |q| 1则级数nnaq0发散仅当 |q| 1 时几何级数nnaq0a 0)收敛其和为qa1例 2 证明级数1 2 3n是发散的

7、证 此级数的部分和为2) 1(321nnnsn显然nnslim因此所给级数是发散的例 3 判别无穷级数) 1(1431321211nn的收敛性解 由于111) 1(1nnnnun因此) 1(1431321211nnsn111)111()3121()211 (nnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档从而1)111 (limlimnsnnn所以这级数收敛它的和是1例 3 判别无穷级数1)

8、 1(1nnn的收敛性解 因为) 1(1431321211nnsn111)111()3121()211 (nnn从而1)111 (limlimnsnnn所以这级数收敛它的和是1提示111) 1(1nnnnun二、收敛级数的基本性质性质 1 如果级数1nnu收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1nnku也收敛且其和为ks性质 1 如果级数1nnu收敛于和 s则级数1nnku也收敛且其和为 ks性质 1 如果sunn1则kskunn1这是因为设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

9、 - - - - - - - - -第 5 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21这表明级数1nnku收敛且和为 ks性质 2 如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、则级数)(1nnnvu也收敛且其和为s性质 2 如果sunn1、1nnv则svunnn)(1这是因为如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n则)()()(limlim2211nnnnnvuvuvu)()(lim2121nnnvvvuuussnnn)(l

10、im性质 3在级数中去掉、加上或改变有限项不会改变级数的收敛性比如级数) 1(1431321211nn是收敛的级数) 1(143132121110000nn也是收敛的级数) 1(1541431nn也是收敛的性质 4 如果级数1nnu收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数1 1)+1 1) +收敛于零但级数 1 1 1 1却是发散的推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

11、 - - - - - - -第 6 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档性质 5 如果1nnu收敛则它的一般项un趋于零即0lim0nnu性质 5 如果1nnu收敛则0lim0nnu证设级数1nnu的部分和为sn且ssnnlim则0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例 4 证明调和级数13121111nnn是发散的例 4 证明调和级数11nn是发散的证 假若级数11nn收敛且其和为s sn是它的部分和显然有ssnnlim及ssnn2lim于

12、是0)(lim2nnnss但另一方面212121212121112nnnnnnssnn故0)(lim2nnnss矛盾这矛盾说明级数11nn必定发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档 11 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数定理 1 正项级数1nnu收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界定理 2(比较审敛法 )设1nnu和1nnv都

13、是正项级数且 unvn(n 1 2 )若级数1nnv收敛则级数1nnu收敛反之若级数1nnu发散则级数1nnv发散定理 2(比较审敛法 ) 设1nnu和1nnv都是正项级数且 unvn(k 0n N)若1nnv收敛则1nnu收敛若1nnu发散则1nnv发散设 un和vn都是正项级数且 unkvn(k 0n N)若级数vn收敛则级数un收敛反之若级数un发散则级数vn发散证设级数1nnv收敛于和则级数1nnu的部分和snu1u2unv1v2vn (n 1, 2, )即部分和数列 sn 有界由定理 1 知级数1nnu收敛反之设级数1nnu发散则级数1nnv必发散因为若级数1nnv收敛由上已证明的结

14、论将有级数1nnu也收敛与假设矛盾精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档证仅就 unvn(n 1 2 )情形证明设级数vn收敛其和为则级数un的部分和snu1u2unv1v2vn (n 1, 2, )即部分和数列 sn 有界因此级数un收敛反之设级数un发散则级数vn必发散因为若级数vn收敛由上已证明的结论级数un也收敛与假设矛盾推论设1nnu和1nnv都是正项级数如果级数1nnv收敛且

15、存在自然数N使当 n N 时有unkvn(k 0)成立则级数1nnu收敛如果级数1nnv发散且当 n N 时有 unkvn(k 0)成立则级数1nnu发散例 1 讨论 p 级数1413121111pppppnnn的收敛性其中常数 p 0例 1 讨论 p 级数)0(11pnpn的收敛性解 设 p 1 这时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当 p 1 时级数pnn11发散设 p 1此时有1) 1(1111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n 2, 3, )对于级数1) 1(1112ppnnn其部分和111111)1(11) 1(113121211 ppppppnnnn

16、s精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档因为1) 1(11 limlim1pnnnns所以级数1) 1(1112ppnnn收敛从而根据比较审敛法的推论1 可知级数pnn11当 p 1 时收敛综上所述p 级数pnn11当 p 1 时收敛当 p 1 时发散解 当 p 1 时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当 p 1 时级数pnn11发散当 p 1 时1) 1(111111111

17、1ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n 2, 3, )而级数1) 1(1112ppnnn是收敛的根据比较审敛法的推论可知级数pnn11当 p 1 时收敛提示级数1) 1(1112ppnnn的部分和为111111) 1(11) 1(113121211 ppppppnnnns因为1) 1(11 limlim1pnnnns所以级数1) 1(1112ppnnn收敛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删

18、除谢谢精品文档p 级数的收敛性p 级数pnn11当 p 1 时收敛当 p 1 时发散例 2 证明级数1) 1(1nnn是发散的证 因为11)1(1) 1(12nnnn而级数113121111nnn是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数如果lvunnnlim(0 l)则级数1nnu和级数1nnv同时收敛或同时发散定理 3(比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数(1)如果lvunnnlim(0 l)且级数1nnv收敛则级数1nnu收敛(2)如果nnnnnnvulvulim0lim或且级数1nnv发散则级数1n

19、nu发散定理 3(比较审敛法的极限形式) 设 un和vn都是正项级数(1)如果 lim( un/vn) l(0 l)且 vn收敛则 un收敛精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(2)如果 lim( un/vn) l(0 l)且 vn发散则 un发散证明由极限的定义可知对l21存在自然数N当 n N 时有不等式llvullnn2121即nnnlvulv2321再根据比较审敛法的推论1

20、即得所要证的结论例 3 判别级数11sinnn的收敛性解 因为111sinlimnnn而级数11nn发散根据比较审敛法的极限形式级数11sinnn发散例 4 判别级数12)11ln(nn的收敛性解 因为11)11ln(lim22nnn而级数211nn收敛根据比较审敛法的极限形式级数12)11ln(nn收敛定理 4(比值审敛法达朗贝尔判别法) 若正项级数1nnu的后项与前项之比值的极限等于nnnuu1lim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 49 页 - - - - - - - -

21、 - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档则当1 时级数收敛当1(或nnnuu1lim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散定理 4(比值审敛法达朗贝尔判别法) 若正项级数1nnu满足nnnuu1lim则当1 时级数收敛当1(或nnnuu1lim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散定理 4(比值审敛法达朗贝尔判别法)设1nnu为正项级数如果nnnuu1lim则当1 时级数收敛当1(或nnnuu1lim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散例 5 证明级数) 1(32113211211111n是收敛的解 因为101lim321)1(321limlim1nnnuunn

22、nnn根据比值审敛法可知所给级数收敛例 6 判别级数10!10321102110132nn的收敛性解 因为101lim!1010)!1(limlim11nnnuunnnnnnn根据比值审敛法可知所给级数发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档例 7 判别级数nnn2)12(1的收敛性解1)22() 12(2) 12(limlim1nnnnuunnnn这时1比值审敛法失效必须用其它方法

23、来判别级数的收敛性因为212) 12(1nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛解 因为212) 12(1nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛提示1)22() 12(2)12(limlim1nnnnuunnnn比值审敛法失效因为212) 12(1nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛定理 5(根值审敛法柯西判别法 ) 设1nnu是正项级数如果它的一般项un的 n 次根的极限等于nnnulim则当1 时级数收敛当1(或nnnulim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散定理 5(根值审敛法柯西判别法 ) 若正项级数1nnu满足nnn

24、ulim则当1 时级数收敛当1(或nnnulim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档定理 5(根值审敛法柯西判别法 ) 设1nnu为正项级数如果nnnulim则当1 时级数收敛当1(或nnnulim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散例 8 证明级数13121132nn是收敛的并估计以级数的部分和sn近似代替和s 所产生的误差解 因为0

25、1lim1limlimnnunnnnnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和sn近似代替和s 所产生的误差为)3(1)2(1)1(1|321nnnnnnnr) 1(1)1(1) 1(1321nnnnnnnnn)1(1例 6 判定级数12) 1(2nnn的收敛性解 因为21) 1(221limlimnnnnnnu所以根据根值审敛法知所给级数收敛定理 6(极限审敛法 ) 设1nnu为正项级数(1)如果)lim( 0limnnnnnulnu或则级数1nnu发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

26、 - -第 15 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档(2)如果 p 1而)0(limllunnpn则级数1nnu收敛例 7 判定级数12)11ln(nn的收敛性解 因为)(1)11ln(22nnn故11lim)11ln(limlim22222nnnnunnnnn根据极限审敛法知所给级数收敛例 8 判定级数)cos1 (11nnn的收敛性解 因为222232321)(211lim)cos1 (1limlimnnnnnnnunnnnn根据极限审敛法知所给级数收敛二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交

27、错的交错级数的一般形式为11) 1(nnnu其中0nu例如1)1(11nnn是交错级数但cos1) 1(11nnnn不是交错级数定理 6（莱布尼茨定理）如果交错级数11) 1(nnnu满足条件(1)unun 1 (n 1 2 3)(2)0limnnu则级数收敛且其和 s u1其余项 rn的绝对值 |rn| un1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档定理 6（莱布尼茨定理）如果交错级数

28、11) 1(nnnu满足 (1)1nnuu (2)0limnnu则级数收敛且其和 s u1其余项 rn的绝对值 |rn| un 1简要证明设前 n 项部分和为sn由 s2n(u1u2) (u3u4)(u2n 1u2n)及s2nu1(u2u3) (u4u5)(u2n 2u2n 1) u2n看出数列 s2n单调增加且有界(s2nu1)所以收敛设 s2ns(n)则也有s2n 1s2nu2n 1s(n)所以 sns(n)从而级数是收敛的且snu1因为|rn| un 1un 2也是收敛的交错级数所以 |rn| un 1例 9 证明级数1)1(11nnn收敛并估计和及余项证这是一个交错级数因为此级数满足(

29、1)1111nnunnu(n 1, 2,)(2)01limlimnunnn由莱布尼茨定理级数是收敛的且其和 s u11余项11|1nurnn三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛若级数1|nnu收敛则称级数1nnu绝对收敛若级数1nnu收敛而级数1|nnu发散则称级1nnu条件收敛例 10 级数1211)1(nnn是绝对收敛的而级数111)1(nnn是条件收敛的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站

30、删除谢谢精品文档定理 7 如果级数1nnu绝对收敛则级数1nnu必定收敛值得注意的问题如果级数1|nnu发散我们不能断定级数1nnu也发散但是如果我们用比值法或根值法判定级数1|nnu发散则我们可以断定级数1nnu必定发散这是因为此时 |un|不趋向于零从而 un也不趋向于零因此级数1nnu也是发散的例 11 判别级数12sinnnna的收敛性解 因为 |221|sinnnna而级数211nn是收敛的所以级数12|sin|nnna也收敛从而级数12sinnnna绝对收敛例 12 判别级数12)11 (21) 1(nnnnn的收敛性解由2)11 (21|nnnnu有121)11 (lim21|l

31、imenunnnnn可知0limnnu因此级数12)11 (21) 1(nnnnn发散精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档 11 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I 上的函数列 un(x)由这函数列构成的表达式u1(x) u2(x) u3(x)un(x)称为定义在区间I 上的 (函数项 )级数记为1)(nnxu收敛点与发散点对于区间I 内的一定点x0若常数项

32、级数10)(nnxu收敛则称点 x0是级数1)(nnxu的收敛点若常数项级数10)(nnxu发散则称点 x0是级数1)(nnxu的发散点收敛域与发散域函数项级数1)(nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛域所有发散点的全体称为它的发散域和函数在收敛域上函数项级数1)(nnxu的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数1)(nnxu的和函数并写成1)()(nnxuxs un(x)是1)(nnxu的简便记法以下不再重述在收敛域上函数项级数 un(x)的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un(x)的和函数并写成 s(x) un(x)这函数的定义就是级数的收敛域部分和函数项级数1

33、)(nnxu的前 n 项的部分和记作sn(x)函数项级数un(x)的前 n 项的部分和记作sn(x)即sn(x) u1(x) u2(x) u3(x)un(x)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档在收敛域上有)()(limxsxsnn或 sn(x)s(x)(n) 余项函数项级数1)(nnxu的和函数 s(x)与部分和sn(x)的差rn(x) s(x) sn(x)叫做函数项级数1)(nn

34、xu的余项函数项级数un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x) s(x) sn(x)在收敛域上有0)(limxrnn二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是a0a1x a2x2anxn其中常数a0a1a2an叫做幂级数的系数幂级数的例子1 x x2x3xn!1! 2112nxnxx注幂级数的一般形式是a0a1(x x0) a2(x x0)2an(x x0)n经变换 t x x0就得 a0a1t a2t2antn幂级数1 x x2x3xn可以看成是公比为x的几何级数当|x| 1

35、时它是收敛的当|x| 1 时它是发散的因此它的收敛域为 ( 1 1)在收敛域内有11132nxxxxx定理 1 (阿贝尔定理 ) 如果级数0nnnxa当 x x0 (x00)时收敛则适合不等式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档|x| |x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之如果级数0nnnxa当x x0时发散则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂级数发散定理 1 (阿贝

36、尔定理 ) 如果级数 anxn当 x x0 (x00)时收敛则适合不等式|x| |x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之如果级数 anxn当x x0时发散则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂级数发散提示anxn是0nnnxa的简记形式证先设 x0是幂级数0nnnxa的收敛点即级数0nnnxa收敛根据级数收敛的必要条件有0lim0nnnxa于是存在一个常数M使| anx0n | M(n 0, 1, 2, )这样级数0nnnxa的的一般项的绝对值nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa| |00000因为当 |x| |x0|时等比级数nnxxM|00收敛所以级数0|nnnxa收

37、敛也就是级数0nnnxa绝对收敛简要证明设anxn在点 x0收敛则有 anx0n0(n) 于是数列 anx0n 有界即存在一个常数 M使 | anx0n | M(n 0, 1, 2, )因为nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa| |00000而当|0 xx时等比级数nnxxM|00收敛所以级数 |anxn|收敛也就是级数 anxn绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明倘若幂级数当x x0时发散而有一点x1适合 |x1|x0|使级数收敛则根据本定理的第一部分级数当 x x0时应收敛这与所设矛盾定理得证精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名

38、师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档推论如果级数0nnnxa不是仅在点x 0 一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R 存在使得当 |x| R 时幂级数绝对收敛当|x| R 时幂级数发散当 x R 与 xR 时幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幂级数0nnnxa的收敛半径开区间 ( RR)叫做幂级数0nnnxa的收敛区间再由幂级数在xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数0nnnxa的收敛域是 ( R, R)(或 R, R)、(

39、 R, R、 R, R之一规定若幂级数0nnnxa只在 x 0 收敛则规定收敛半径R 0 若幂级数0nnnxa对一切 x 都收敛则规定收敛半径R这时收敛域为 (, )定理 2 如果|lim1nnnaa其中 an、an 1是幂级数0nnnxa的相邻两项的系数则这幂级数的收敛半径0010R定理 2 如果幂级数0nnnxa系数满足|lim1nnnaa则这幂级数的收敛半径0010R定理 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网

40、络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档如果|lim1nnnaa则幂级数0nnnxa的收敛半径R 为当0时1R当0 时 R当时 R 0简要证明|lim|lim111xxaaxaxannnnnnnn(1)如果 0则只当|x| 1 时幂级数收敛故1R(2)如果0则幂级数总是收敛的故 R(3)如果则只当 x 0 时幂级数收敛故 R 0例 1 求幂级数)1(32)1(13211nxxxxnxnnnnn的收敛半径与收敛域例 1 求幂级数11)1(nnnnx的收敛半径与收敛域解因为1111lim|lim1nnaannnn所以收敛半径为11R当 x 1 时幂级数成为111) 1(nnn是收敛的当 x1 时幂级数

41、成为1)1(nn是发散的因此收敛域为 ( 1, 1例 2 求幂级数0!1nnxn!1! 31! 21132nxnxxx的收敛域例 2 求幂级数0!1nnxn的收敛域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档解因为0)!1(!lim!1)!1(1lim|lim1nnnnaannnnn所以收敛半径为R从而收敛域为 (, )例 3 求幂级数0!nnxn的收敛半径解 因为!)!1(lim|lim1

42、nnaannnn所以收敛半径为R 0即级数仅在x 0 处收敛例 4 求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径解 级数缺少奇次幂的项定理 2 不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径幂级数的一般项记为nnxnnxu22) !()!2()(因为21|4|)()(|limxxuxunnn当 4|x|21 即21|x时级数收敛当 4|x|21 即21|x时级数发散所以收敛半径为21R提示2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1(2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn例 5 求幂级数12) 1(nnnnx的收敛域解 令 t x 1上述级数变为12nnnn

43、t因为21) 1(22|lim11nnaannnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档所以收敛半径R 2当 t 2 时级数成为11nn此级数发散当 t2 时级数成为1) 1(nn此级数收敛因此级数12nnnnt的收敛域为2 t 2因为2 x 1 2 即 1 x 3所以原级数的收敛域为 1, 3)三、幂级数的运算设幂级数0nnnxa及0nnnxb分别在区间 ( R, R)及( R ,

44、 R )内收敛则在 ( R, R)与 ( R, R )中较小的区间内有加法000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa减法000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa设幂级数 anxn及 bnxn分别在区间 ( R, R)及( R , R )内收敛则在 ( R, R)与( R , R )中较小的区间内有加法anxnbnxn(anbn)xn减法anxnbnxn(anbn)xn乘法)()(00nnnnnnxbxaa0b0(a0b1a1b0)x (a0b2a1b1a2b0)x2(a0bna1bn 1anb0)xn性质 1 幂级数0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛域I 上连续如果幂级数在x R (

45、或 xR)也收敛则和函数 s(x)在( R, R(或 R, R)连续性质 2 幂级数0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛域I 上可积并且有逐项积分公式01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI )逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3 幂级数0nnnxa的和函数 s(x)在其收敛区间( R R)内可导并且有逐项求导公式1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x| R)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，

46、共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 1 幂级数 anxn的和函数 s(x)在其收敛域I 上连续性质 2 幂级数 anxn的和函数 s(x)在其收敛域I 上可积并且有逐项积分公式01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI )逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3 幂级数 anxn的和函数 s(x)在其收敛区间 ( R R)内可导并且有逐项求导公式0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x| R)逐项

47、求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径例 6 求幂级数011nnxn的和函数解 求得幂级数的收敛域为 1 1)设和函数为s(x)即011)(nnxnxsx 1 1)显然 s(0) 1在0111)(nnxnxxs的两边求导得xxxnxxsnnnn11)11( )(001对上式从0 到 x 积分得)1ln(11)(0 xdxxxxsx于是当 x0 时有)1ln(1)(xxxs从而011|0)1ln(1)(xxxxxs因为xnnnndxxnxnxxs001011111)()1ln(11000 xdxxdxxxxnn所以当 x 0 时有)1ln(1)(xxxs精品资料 - - - 欢迎下载 -

48、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档从而011|0)1ln(1)(xxxxxs例 6 求幂级数011nnxn的和函数解 求得幂级数的收敛域为 1 1)设幂级数的和函数为s(x)即011)(nnxnxsx 1 1)显然 S(0) 1因为xnnnndxxnxnxxs001011111)() 11()1ln(11000 xxdxxdxxxxnn所以当1|0 x时有)1ln(1)(xxxs从而011|0)1ln(1)(xxxx

49、xs由和函数在收敛域上的连续性2ln)(lim) 1(1xSSx综合起来得01) 1, 0()0, 1)1ln(1)(xxxxxs提示应用公式)0()()(0FxFdxxFx即xdxxFFxF0)()0()(11132nxxxxx例 7 求级数01) 1(nnn的和解考虑幂级数011nnxn此级数在 1, 1)上收敛设其和精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 49 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢精品文档函数为 s(x)则01)

50、1() 1(nnns在例 6 中已得到xs(x) ln(1 x)于是s( 1) ln221ln) 1( s即21ln1) 1(0nnn 11 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题给定函数 f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”就是说是否能找到这样一个幂级数它在某区间内收敛且其和恰好就是给定的函数f(x)如果能找到这样的幂级数我们就说函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数或简单地说函数f(x)能展开成幂级数而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)泰勒多项式如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数则在该邻域内f(x)近似等于)(! 2)()()()(200000 xxxf