2022年同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章重积分.pdf
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1、第九章重积分教学目的:1. 理解二重积分、 三重积分的概念, 了解重积分的性质,知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的(直角坐标、极坐标)计算方法。3.掌握计算三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算方法。8、会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等)。教学重点:1、 二重积分的计算(直角坐标、极坐标);2、 三重积分的(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)计算。3、二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点:1、利用极坐标计算二重积分;2、利用球坐标计算三重积分;3、物理应用中的引力问题。 9 1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1 曲顶柱体的体
2、积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于 z轴的柱面它的顶是曲面zf(x y) 这里 f(x y)0 且在 D 上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体在每个i中任取一点 (ii) 以 f ( ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f (ii) i (i1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和iiinifV),(1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
3、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 21 页 - - - - - - - - - - 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即iiinifV),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点 (x y)处的面密度为 (x y) 这里 (x y)0 且在 D 上连续现在要计算该薄片的质量M用一组曲线网把D 分成 n 个小区域12n把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量( ii)i各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值iiiniM),(1将分割加细取极限得
4、到平面薄片的质量iiiniM),(lim10其中是个小区域的直径中的最大值定义设 f(x y)是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域 D 任意分成n 个小闭区域12n其中i表示第 i 个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点 (i i) 作和iiinif),(1如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在闭区域D 上的二重积分记作dyxfD),(即iiiniDfdyxf),(lim),(10精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 21 页 - -
5、 - - - - - - - - f(x y)被积函数f(x y)d 被积表达式d 面积元素xy 积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为 xi和 yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d 记作 dxdy 而把二重积分记作dxdyyxfD),(其中 dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的存在性当 f(x y)在闭区域D 上连续时积分和的极限是存在的也就是说函数 f(x y)在 D 上的二重积分必定存在我们总假定函数f(x y)在闭区域
6、D 上连续所以 f(xy)在 D 上的二重积分都是存在的二重积分的几何意义如果 f(x y)0 被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点(x y)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果 f(x y)是负的柱体就在 xOy 面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的二二重积分的性质性质 1 设 c1、c2为常数则dyxgcdyxfcdyxgcyxfcDDD),(),(),(),(2121性质 2 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和例如 D 分为两个闭区域D1与 D2则dyxfdyxfdyxfDDD
7、21),(),(),(性质 3 DDdd1(为 D 的面积 ) 性质 4 如果在 D 上 f(x y)g(xy) 则有不等式dyxgdyxfDD),(),(特殊地有dyxfdyxfDD| ),(|),(|性质 5 设 M、m 分别是 f(x y)在闭区域 D 上的最大值和最小值为 D 的面积则有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 21 页 - - - - - - - - - - MdyxfmD),(性质 6(二重积分的中值定理) 设函数 f(x y)在闭区域D 上连续为 D 的面积
8、则在 D 上至少存在一点( )使得),(),(fdyxfD 9 2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X 型区域D1(x)y2(x) axbY 型区域D1(x)y2(x) cyd混合型区域设 f(x y)0 D(x y)| 1(x)y2(x) axb 此时二重积分dyxfD),(在几何上表示以曲面zf(x y)为顶以区域 D为底的曲顶柱体的体积对于 x0a b 曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间1(x0) 2(x0)为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为)()(000201),()(xxdyyxfxA根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为badx
9、xAV)(dxdyyxfbaxx),()()(21即VdxdyyxfdyxfbaxxD),(),()()(21可记为baxxDdyyxfdxdyxf)()(21),(),(类似地如果区域D 为 Y 型区域精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 21 页 - - - - - - - - - - D1(x)y2(x) cyd则有dcyyDdxyxfdydyxf)()(21),(),(例 1 计算dxyD其中 D 是由直线 y1、x2 及 yx 所围成的闭区域解 画出区域D方法一可把 D 看
10、成是 X型区域1x2 1yx于是211xDdxxydydxy2132112)(212dxxxdxyxx8924212124xx注 积分还可以写成211211xxDydyxdxxydydxdxy解法 2 也可把 D 看成是 Y型区域1y2 yx2 于是212yDdyxydxdxy2132122)22(2dyyydyxyy8982142yy例 2 计算dyxyD221其中 D 是由直线 y1、x1 及 yx 所围成的闭区域解画出区域D 可把 D 看成是 X型区域1x1 xy1 于是122112211xDdyyxydxdyxy1131112322)1|(|31)1(31dxxdxyxx21) 1(3
11、2103dxx也可 D 看成是 Y型区域: 1y1 1xy于是111222211yDdxyxydydyxy例 3 计算dxyD其中 D 是由直线 yx2 及抛物线 y2x 所围成的闭区域解 积分区域可以表示为DD1+D2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 21 页 - - - - - - - - - - 其中xyxxD, 10:1xyxD2, 41:2于是41210 xxxxDxydydxxydydxdxy积分区域也可以表示为D 1y2 y2xy2 于是2122yyDxydxdyd
12、xy212222dyyxyy2152)2(21dyyyy8556234421216234yyyy讨论积分次序的选择例 4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y2 2及 x2z2 2利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8 就行了第一卦限部分是以D(xy)| 0 y22xR, 0 x为底以22xRz顶的曲顶柱体于是dxRVD228RxRdyxRdx0022228RxRdxyxR00222283022316)(8RdxxRR二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用
13、极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分dyxfD),(按二重积分的定义iniiiDfdyxf10),(lim),(下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为 n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 21 页 - - - - - - - - - - 个小闭区域小闭区域的面积为iiiiii2221)(21iiii)2(21iiiii2)(iii其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取
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