2022年喀兴林高等量子力学习题678.pdf

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1、证明：若是归一化的，则1。根据式iiica, iiac可得1iiiiiiaacc即A取各值的概率是归一化的。#练习 (1) 证明在定态中 , 所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化, 因而 , 所有物理量的平均值也不随时间改变.(2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟核对：王俊美）(1) 证明：在定态中iEiHi , 3,2,1i则tEiiieit所以iAieiAieAtEitEiii. 即所有物理量的平均值不随时间变化.(2) 两个定态的叠加不一定是定态. 例如tEitEiexvexutx21,当21EE时,叠加后tx,是定态 ; 当21EE时, 叠加后tx,不是定态 .#证明：当函数

2、)(xf可以写成 x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立：)(),()()(,XfXiPXfPfPiPfX（解答：陈玉辉核对：项朋）证明：（1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )()()()()()()()()(,PfPiPiPfPiPfPfPiPiPfPfPiXPfPXfPfX所以)()(,PfPiPfX（2）)()()()()()()()()()(),(XfXiXfXiXiXfXiXfXfXiXiXfXPfPXf

3、PXf所以)(),(XfXiPXf#练习下面公式是否正确？（解答：陈玉辉核对：项朋）),(),(,PXfPiPXfX解：不正确。因为),(PXf是 X的函数，所以),(,PXfX=0#练习试利用CivitaLevi符号，证明：（孟祥海）（1）00LX,LP（2）0PXL,（3）PXXPPXPXLi2222证明：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - （1）ijkkjiijkkjjkijkiiiiiPXPPXPLPLP由于其他情况,032

4、121313213122311231ijkijkijk且kjiPXP，是相互对易的，所以0ijkkjiijkPXPLPijkkjiijkkjjkijkiiiiiPXXPXXLXLX，同上面的过程可以得到0LX（2）先计算：llkjjkijkljklllkjijkiPXPXPXPXL,PX,由于ijjiiPX ,。将上式展开可以得到：0PX,iL，再利用相同的道理可以推出：0PXL,（3）证明：23232223212323222222212223212221212123222123222122pxpxpxpxpxpxpxpxpxpppxxxPX)()()(32332233113333222222

5、1122331122111211xpxxppxxppxxppxxpxxppxxppxxppxxpxXPPX)(33221122pxpxpxiPXi1212211212212121313113313113131323233223233232322pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxpxL利用公式ijjiipx,02332211332211332211232332332222222221211211332211323322221211232322222121222)()()()()()(pxpxpxipxipxipxipxpxpxipxxpx

6、pxxpxpxxpxpxpxpxixpxxpxxpxpxpxpxPXiXPPXPXL精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 即得证！#试仿照wpx)(3的计算方法，计算wxp )(和wpx)(22。 （高召习）解：由 Weyle 规则，将物理量的经典式A(x，p) 写成和为变量的傅里叶积分deaA(x,p)pixi),(d（1）将积分中指数上的x 和 p 改为对应的算符X和 P。所得结果即为与A(x ，p) 对应的算符式 A（X，P）d

7、eadA(X,P)PiXi),(（2）首先计算（ 1）式中 A(x，p) 的傅里叶变换),(A, 取 A(x，p) 为mnpx，则有dpepxAdxapixi),()(),(221（3）对于mnpx有)()()()(),(mnpimxinpiximniidxdpeieidxdpepxa222121 (4)对于 xp， n=1,m=1, 将此式代入（ 2）得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )()()()()()()()()(),(

8、PXXPiXPdixXPedPeiddeeeiiddeiixpPXxixiipixipixiw2121212121A21即)(21=PXXP (xp)w对于22px，n=2，m=2 ，将此式代入（2）得)()()()()()()()(),(222222222122222261XPPXPXPPXXXPXPXPPXddeeieiddeeeiiddeiipxPXApixixiipixipixiw即)()(2222222261XPPXPXPPXXXPXPXPPXpxw#练习证明)(pxmnW的一般公式：0)21()()(PiXpxmnWmn并利用此式计算)(pxmnW。 （解答：田军龙审核：邱鸿广）证

9、明：ddmneiipxPiXimnW)()()()()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - - ddeeeiiiPiXimn21)()()()(ddeeieiiPimXinmn)()()(21)()() 1(dPeimXinmn)21()() 1()(dXiiPenmmn)()()21() 1(dPeimXinn)21()() 1()(0)21()(PeimXin0)21()(PiXmn)(81)(22222222222323XPXXX

10、PPXXXPXPXPXPXPXPXXPXPPXPW#练习（梁端）解：nnBnPXPXpx21因为：0,PX所以：PXpxnBn欲求：wnpx则：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - - dxdppexapixin221, =dxdpeieipixin221 =iin所以：ddeiiPXpxPiXinwn, =ddeeiiPiXin =ddeieiPiXin21 =dePiXin因为：0,PXPXPXnnpxnnwn111故：在条件0,PX

11、下wnBnpxpx#练习一般认为一个正确的对应关系应满足：经典量f的算符对应的平方，应当与经典2f的对应相同。试以fxp为例，说明Bohm规则与Weyl规则都不满足这个条件。（解答：邱鸿广审核：田军龙）解： （1）Bohm规则：fxp的对应算符为：)(21)(xppxxpB此算符对应的平方为：2)(41xppx（1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 经典量2f的算符为)(21)(222222xppxpxB（2）因为)2()1(所以

12、Bohm规则不满足提设这个条件。（2）Weyl规则：fxp的对应算符为：)(21)(xppxxpW此算符对应的平方为：)(41)(41222xpxppxpxpxpxpxxppx（3）经典量2f的算符为：)(61)(22222222pxpxpxpxpxpxpxpxpxpxW（ 4）因为)4()3(所以Weyl规则也不满足提设这个条件。#证明：0,RL,01,RL,0,PL. （解答：项朋审核：陈玉辉）证明：先计算2, RL02,22ijjkkijkiijjjijijiijjjiiXXieXXLXLXeXXLeXLRL再计算RL,，RLRRRLRLRRL,2,02RL,=001,1,1,1,1 ,

13、0RLRRRLRLRRRLL01,RL精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 02,22ijkkijkiijjjijijiijjjiiPiePPLPLPePPLePLPLPLPPPLPLPPL,2,020,PL.#用数学归纳法求nRP ,2和nRP1,2，2 ,1 ,0n（解答：项朋审核：陈玉辉）解: 由式可知RRniRPnn2,PRiRniPRRPRniPRPRPPRPRPnnnnnn2,2222下面用数学归纳法证明上式成立:当0n时

14、，显然成立当1n时，由式，上式成立再由上式推出一个将n 改为 n+1 的同样公式；PRiRinPRiRiPRiRniRRiRPiPRiRniRRPRPRRPnnnnnnnn2122122,11112212说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式的普遍成立。 由式可知RRniRPnn211,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - - iRPRniPRRPRniPRPRPPRPRPnnnnnn2111,1,1,1,2222下面用数学归纳法证明

15、上式成立:当0n时，显然成立当1n时，由式，上式成立再由上式推出一个将n 改为 n+1 的同样公式；iRPRinRiRPRiiRPRniRRPRPRRPnnnnnn2111212111,1,11,3332212说明了原式对n+1 也成立，于是证明了上式的普遍成立。#6.12证明： （1）PiPLLP2（2）22LPPLLP?（梁端）（1）证明：ijkkjiijkeLPLP=ijklmkmliijkePRP=iklmkmliilkmimklePRP=ikkkiiikiePRPPRP=ikkkiiikkiiePRPiRPP=PiPRPRP?2同理可证：PiPRPRPPL?2故：PiPLLP2精品资

16、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - - （2）证明：由上题可知：PiRPRPLP?2将各个量化为三维形式：kpjpipPzyx2222zyxpppP所以：ipizppyppxppxpxpxpLPxxzxyxxzyx222jpizppyppxppypypypyyzyyyxzyx222kpizppyppxppzpzpzpzzzzyzxzyx222则有：将上式进行点乘，经过整理得：2222kypxpjxpzpizpyppppLPLPxyxxyzz

17、yx?22LP故：此题得证#练习推导以下列个关系式pTppTpppTppT)(,)()(,)(解：用位置 X构造一个幺正算符)(T)exp()()()exp()(1XiTTXiT其伴算符为)(T与 P的对易关系是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )()(),(TTXiPT即)()()(TPTPT将此式作用到p 上，得pTppTpPTpPT)()()()()(则 P 的一个本征矢量p 被算符)(T作用后，可得出另一个本征矢量，其

18、本征值为 pppT)(由于)(T的幺正性，p也是归一的。我们称)(T为作用于动量本征矢量的上升算符；有上式的左矢形式pTp)(可知，算符)(T是左矢p 的上升算符。将)(T作用于 p ，由于)()(TT可得，pTpppT)()(可见算符)(T是右矢 p 的下降算符，而算符)(T是左矢p 的下降算符。#若取phieQ中的 为复数，能否得出X的本征值为复数的结论？（韩丽芳候书进审）解：若 为复数，令 =a+?b 则由xQXQXQQQpiQX)()()()()()(,得xQxxQxXQxXQ)()()()()(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

19、归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 因为 为复数，)(Q不再是幺正算符，现将xQ)(归一化得其归一化矢量为xeapi，其本征值为 x+同理xexaxaexXexXeapiapiapiapi)(即此时本征值为x+a , 结论矛盾，所以 不能是复数，即X的本征值不可以是复数证明：pppipppiXpp式成立。（做题人：杨涛审题人：吴汉成）证明：令00 xx表示算符 X的本征值为零的本征矢量，00pp表示算符 P的本征值为零的本征矢量。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

20、归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - - pppipppipppixdxedxxdexxxepxdxxXxxdxppXpXeexpxxdpedpeedpxppxxxxxeeepTepeepxQpxpppixpipxippxpixpxpixpxpxxpixppxixpxpixpxpixpXipxpixpxpixxpixxPix2212121210021002000000000000000222证毕证明以下两个左矢关系成立： （做题人：杨涛审题人：吴汉成）xxiPxxxXx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

21、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 证明：在Xx式中右乘 x则xxxxxxxXx在xx式中右乘 x则xxXxxxxxXxxxxxxx证毕在Px右乘 x则xxxixPx在xxi右乘xxxixxxiPxxxxixPx证毕练习试讨论动量表象的函数形式。 （吴汉成 完成， 董延旭核对）解：讨论关系式：|X，从矩阵形式出发则有：|)(Xpppp-（1）而本征值矢量组| p是完全的，即：1|ppdp，并代入（ 1）式得：|)(ppXpdpp又),(|pppiXpXppp|pp，并代入上式得：)()

22、(ppppidpp -（2）并对该式进行分部积分：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )(|)()(dppippppippppp)( ppipip上式可写成如下形式：)(?)(pXp，其中算符piX?，此关系式便是动量表象的函数形式。练习证明描写同一状态的位置表象波函数)(x与动量表象波函数)( p之间满足傅里叶变换：dpepxxpi)(21)(dxexpxpi)(21)(（吴汉成 完成， 董延旭 核对）（1）证明：已知pxiep

23、x21|，显然得：dpepxpi)(21右边dpeppxi)21( )(dppxp|)(又有，|)(ppp，并代入上式得：右边=dppxp|dpxpp*)|()|(*)|(|)(|xdppp -（1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 又本征值矢量组p|的完全性，即：1|dppp1)|(|)(|*dpppdppp， 并 代 入 （ 1） 式 得 ：右边)(|)|(*xxxx显然证得：dpepxxpi)(21)(（1）证明：已知px

24、iepx21|，则有：pxiepxxp21|*显然得：右边 =dxexxpi)(21dxexpxi)21()(dxxpx|)(又有|)(xxx，并代入上式得：dxxpx|右边dxpxx*)|()|(*)|(|)(|pdxxx -（2）又本征值矢量组x|的完全性，即：1|dxxx1)|(|)(|*dxxxdxxx，并代入 (2) 式得：)(|)|(*pppp右边显然证得：dxeppxpi)(21)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - -

25、 7.7在三维的位置表象或动量表象中，重新证明28.6、29.6和31.6各式，即rRiRP?,?，3?1,?rRirPriRPiRP1?2?,?2，321?21,?rRPirP（王俊美）证明在三维的位置表象中：利用XfiXfP,证明以下各式得: rR?iR?,P?rR?iR?iR?,P?133?1,?11,?2rRirPrRirirPriRPiRPiRPiiRPrirRiRrRPiRPiPRrRirirPPRrirPRrRPiPrRirRiPPRPRPPRPPP1?2?,?2?1?1?,?,?,?11?11?1?,?,?,?32323222又精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

26、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 32333221?21,?1?2P?i?iP?P?1i -1i -P?1,?1,?P?1,?1,?4rRPirPrRPirRrRrrPrPrPrPrP同上题，重新证明（）和（）二式，（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）PPniRPRRniRPnnnn?,?,?,?22证明：（1）由于RRiRPRRiRPRiXXPXPXeXXPeXPRPjjijijijijjiiji?6?,?4?,?2?,?,?,?,?,?462422由此猜想RRniRPnn?,?

27、2用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1 时有RRinRRPRPRRRPRPnnnnn?)1(?,?,?,?,?2)1(1则当原式成立，则当n=n+1 时原式也成立。所以RRniRPnn?,?2成立（2）由于PPiRPPPiRPPiPXPXPPeXPPeXPRPijijiIijijiiiji?6?,?4?,?2?,?,?,?,?,?462422由此猜想PPniRPnn?,?2用数学归纳法：当n=0,1,2,时已知上式成立。假设n=n 时上式成立，则在n=n+1 时有PPinPRPRPPRPPRPnnnnn?)1(?,?,?,?,?2)1(1精品资

28、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 则当原式成立，则当n=n+1 时原式也成立。所以PPniRPnn?,?2成立证明：（做题人：陈捷狮，审查人：刘强）rrrPrriPR22221,?,?证明：在三维的位置表象中，定义任意一个态函数ZYX,kZjYiXeXnrRiiikZjYiXieXinriPiii)(?222ZYXRr（1）由于rRiPRRPRP?,?则有：rriirriirRirRirRiRPPR?（2）由于321?21,?rRPi

29、rP其中：rRRriRP?带入上式有：323212?21?21,?rrrRriirRPirP所以：rrrrrP222222121,?练习在 x 表象的函数形式中，态函数)(x与)(x有下列关系：)(?)(xAx另有一算符K?，具有离散的本征值ik，本征函数为)(xui，即)()(?xukxuKiii，试用函数形式语言，直接给出上式的K表象矩阵形式。（解题人：胡项英校对人：宁红新）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 解：K表象的本征

30、函数)(xui构成 K表象的一组基矢， 任意状态可按照这组基矢展开，如：iiixux)()(iiixux)()(所以iiijiA?其中jiijkAkA? # 练习（做题人：韩丽芳）试通过下面的实例，说明算符的厄米性与内积的定义有关。 设有一函数空间，其中函数x和x等满足束缚态的边界条件，即0。证明：若内积的定义不用（）式而改用xxxxd2则算符xi不再是厄米的，试求出在此情况下此算符的厄米共轭。证明：若内积定义为xxxxd2则厄米算符的定义可改为xxxxFxxxFxd?d?22算符xPxi?，且0则xxxxxxxxPxxdid?22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

31、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - - xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxdid2id2id2idii222222即xxxxxxxxxdidi22由厄米算符的定义，则算符xi不再是厄米的。由xxAxxxxAd?d?得xxix2i#证明：)?(?)?)(?(BAiBABA证明： （1）)()?)(?(zzyyxxzzyyxxBBBAAABA)()(222yyzzxxzzzzyyxxyyzzxxyyxxzzzyyyxxxBABABABABABABABABAzxyxzyzxz

32、yxyzyxzyxiii?1?222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - - - )?()?()?(?)()()(?)()(zzyyxxxyyxzzxxzyyzzyxyzxxzyzyxxyzzxyyxzzzyyxxBABABAiBABABABABABABAiBABAiBAiBAiBAiBAiBAiBABABA)?(?BAiBA#证明：BAiBABA（许中平）证明：将左端展开成A、B、的分量式，分量项、分量项、xzzyBABABABABABB

33、BAAABAxyxyyxyxzzzyyyxxxzzyyxxzzyyxx222利用1222zyx,xyzyxi即得xyyxzBABAiBABAzzBAiBABAiBA计算下式（许中平）BiAieetr式中 A和 B是两个非算符三维矢量。解：由于sincosniien得AAAiAeAisincos因此AAATreAi,cos2类似的可写出BBBiBeBisincos精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 26 页 - - - - - - - - - - BBBiBAAAiAeeBiAis

34、incossincosBABBiBAAAiBAABBABAsincos1cossin1sinsin1coscosBABBiBAAAiBAABBAiBAABBABAsincos1cossin1sinsin1sinsincoscos上式中后三项为的线性项，迹为0，所以BAABBABAeeTrBiAisinsin2coscos2#练习如果取定（）式为自旋算符，那么（）式中的两个算符0021iiees，0022iiieies是描写什么的物理量的算符？（解答人：熊凯核对人：李泽超）解：已知（）式是（）式取为0 时的表示，上述两个算符s1 、s2 与自旋算符sx、sy相差一个相位因子，所以，s1 、s2

35、分别为自旋在 x 、y 方向上具有相位为的算符。#练习 在物理空间中给定一个方向n ：1,222kjin（1）求在 Sz 表象中自旋在 n方向上的投影 Sn的矩阵形式；（2）求在 Sz 表象中 Sn 的两个本征矢量n， n的矩阵形式；（3）已知在 Sz表象中某状态的矩阵形式， 求将此矩阵变换到Sn 表象的幺正矩阵U ，以及将 Sn 表象的矩阵变换到Sz 表象的幺正矩阵 U-1 。解： （解答人：熊凯核对人：李泽超）（1） Sz 表象中自旋在 n 方向上的投影 Sn 为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

36、 - -第 24 页，共 26 页 - - - - - - - - - - iiviisssksjsiskjisnszyxzyxn21001200201102),(),(（2） 设 Sn 的本征矢量为ban本征值为2，则其满足方程nnsn2，即10222解上述方程得，其久期方程为：iibabaiibabasn当1时，将其代入本征方程中可求得：iin1， （注：未归一化）当1时，将其代入本征方程中可求得：) 1(ivkiun， （注：未归一化）将上述两式归一化有1) 1(11222vivivnn又因为：1222v，所以21) 1(22vvv则，归一化矢量为：精品资料 - - - 欢迎下载 - -

37、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 26 页 - - - - - - - - - - iiin211，21) 1(iuivkiun（注：以上矢量的取法不是唯一的）（3）将上述二矢量按列排列则得到一个矩阵U2121iuiuU，即为一个从 Sz 表象变换到 Sn 的幺正矩阵；则，将 Sn表象变换到 Sz表象的幺正矩阵1U为：21211iuiuU #精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 26 页 - - - - - - - - - -