自考04184线性代数（经管类）密训高频考点重点汇总.doc

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1、第一章 行列式知识点名称内容式 二阶行列式 与三阶行列2. 三阶行列式： 3 = |122133 112332 。22321. 二阶行列式： 2 = | | = 12 | = 112233 + 122331 + 132132 132231 自考押题 vx 344647 公众号/小程序 顺通考试资料引入三个二阶行列式： 11 = | |， 21 = | |， 31 = | |1 = (1)+11 ( = 1,2,3) ，即11 = 11 ， 21 = 21 ，31 = 31 ，称1为元1在3 中 的余子式， 称1为元1在3 中的代数余子式。3. N 阶行列式由 n 行、 n 列元素组成， 记为：

2、n阶行列式行列式展开 定理4. 行列式展开定理： n 阶行列式D = | |等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式 的乘积的和，即:D = 1 1 + 2 2 + ( = 1,2 ， ，n)或D = 11 + 22 + ( = 1,2， ，n)5. 上三角和下三角行列式计算， 只需对角线数字相乘即可。行列式的性 质6. 行列式和它的转置行列式相等，即 D=D 。7. 用数 k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于 kD。这也就是说， 行列式可 以按行和按列提出公因数 。8. 互换行列式的任一两行（列）， 行列式的值改变符号。推论： 如果行列式中有两行（列）相同，

3、则此行列式的值等于零。9. 如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。10. 行列式可以按行（列）拆开 。11. 把行列式 D 的某一行（列） 的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上 去，所得的行列式仍为 D。行列式的计 算12. 利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换 两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（ 1），在按行或按列提取公因子 k 时，必须在新 的行列式前面乘上k。1 / 13. 把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值， 通常是利用性 质 6 在某一行或某一列中产生很多个“

4、0”元素，再按包含 0 最多的行或列展开克拉默法则14. 设含有 n 个方程的n元线性方程组为：如果其系数行列式后得到的行列式则方程组必有唯一解：其中， 是 D 中第列换成常数项15. 设含有个方程的元齐次线性方程组：如果其行列式值不等于零，则该方程组只有零解：第二章 矩阵知识点名称内容矩阵的相等16. 设A = () ，B = () ，若 m=k ，n=l 且 = ， i=1,2, ,m;j=1,2, ,n,则称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记为 A=B。矩阵的加、 减法17. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。设 A,B,C 都是 mn 矩阵， O 是 mn 零矩 阵，则交换律：

5、A+B=B+A;结合律：（ A+B）+C=A+（B+C）;A+O=O+A=A;消去率A+C=B+C,则 A=B.数乘运算18. 对于任意一个矩阵A = ()和任意一个数 k，规定 k 与 A 的乘积为kA = (k)19. 结合律： （） = () = ， 和为任意实数。分配率( + ) = + , ( + ) = + ， 和为任意实数。乘法运算20. 矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC).2 / 21. (A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC.22. 两种乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k 为任意数。23. = , = （其中 ， 分别为 m 阶和 n 阶单位矩

6、阵）矩阵的转置21 a22 a2na a= a11 a12 a1n aA24. 设 A 为一个 m n矩阵，把 A 中行与列互换，得到一个 n m矩阵，称其为 A 的转置矩阵，记 为AT ，即： a11 a21 am1 ， AT = 12 22 am2am1 am2 amn mn a1n a2n amn nmn 维行（列）向量的转置矩阵为n 维列（行） 向量.方阵的行列 式25. 设为一个阶方阵， 则由 A 中元素按原来的顺序构成的一个阶行列式，成为方阵 A 的行列式， 记为 A 。26. 矩阵的行数和列数未必相等，但行列式的行数和列数必须相等 。27. 方阵的行列式的性质：设 A， B 为阶

7、方阵，为数，则：（） （）。（）方阵多项式28. 任意给定一个多项式 f (x) = amxm + am 1xm 1 + + a1x + a0 和任意给定一个 n 阶方阵 A， 都可以定义一个 n 阶方阵 f （A）= amAm +am 1Am 1 + +a1A+a0En 。称f (A) 为A 的方阵多项式， 它也是一个n阶方阵.注意： 在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵a0En 而不是常数a0 ，方阵多 项式是以多项式形式表示的方阵可逆矩阵 129. 设 A,B 为同阶的可逆矩阵，常数 k0，则：（ 1）A 1为可逆矩阵， 且（A 1 ） = 。（2） AB 1为可逆矩阵，且（AB） = B

8、 1A 1 。设1, 2, 是 m 个同阶的可逆矩阵，则12 也可逆，且(12 ) 1 = 1 1 1 1 1 （3）kA 为可逆矩阵，且(kA)(-1)=1/k A(- 1)。（4）A为可逆矩阵，且(kA) 1 = A 1 。（5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去。即当 P 为可逆矩阵时，有 PA=PBA=B； AP=BPA=B。（6 ）设 A 是 n 阶可逆矩阵。我们记0 = E ，并定义 k = (A 1) ，其中 k 是任意正整数。则有k = k+， (k) = k 。这里， k 和 l 为任意整数（包括负整数、零和正整数）。伴随矩阵30. 设A = ()， 为|A|的元的代数余子式（

9、 i， j=1,2,， n，）,则矩阵21222( 111 1 2)称为A 的伴随矩阵，记为A 。n 阶方阵 A 为可逆矩阵， 则|A|0，反之亦成立。求逆矩阵公式A 1 = A。推论： 设 A,B 均为 n 阶矩阵， 并且满足 AB=E， 则 A， B 都3 / 可逆，且A 1 = ， B 1 = 。方阵可逆条件和求逆运算率A1A 1 = B B 1 = A31. 可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的。32. n 阶方阵A 可逆 A 0 ，且 A 1 = A* .33. 设 A， B 均为 n 阶方阵， 且满足AB = E ，则 A， B 都可逆， 且 ， .分块矩阵的 转置34. 分块矩阵转置时

10、，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置， 这一现象不妨称为 “内外一起转”分块矩阵的乘法和分块矩阵求逆21 22 2t35. 设矩阵A = (aij )m p ， B = (bij )pn ，利用分块矩阵计算乘积AB 时，应使左边矩阵A 的列分块方 式与右边矩阵B 的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时， A 的各 子块分别左乘B 的对应的子块. C11 C12 C1t C C CAB = C = Cr1 Cr2 Crt 其中 Cij = Ai1B1j + Ai2B2 j + + AisBsj （ i = 1,2, , r ， j = 1,2

11、, , t ）初等变换36. 互换矩阵中两行（列）的位置；37. 用一个非零常数 k 乘 A 某一行（列）；38. 用一个数乘 A 某一行（列）以后加到另一行（列） 上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别， 行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩 阵作初等变换是变换过程用 “ ”连接前后矩阵.初等方阵39. Di (k) 左（右）乘A 就是用非零数 k 乘 A 的第i 行（列） .40. Tij (k) 左乘A 就是把A 中第 j 行的 k 倍加到第i 行上.41. Tij (k) 右乘A 就是把A 中第 i行的 k 倍加到第 j 行上.矩阵的等价 标准形O OE O E O E O

12、 42. 任意一个 m n矩阵A ，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的 m n矩阵： r 这是一个分块矩阵，其中Er 为r 阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵 .称r 为 A 的等价标准形 。注意：等价标准形中的r 总是不变的，它由 A 完全确定.O O43. 对于任意一个 m n矩阵 ，一定存在 m 阶可逆矩阵P 和 n 阶可逆矩阵Q ，使得PAQ = rO O4 / 用矩阵的初等变换求解矩阵方阵44. 设A 是 n阶可逆矩阵， B 是 n m矩阵，求出矩阵X 满足AX = B .原理 若找到 n阶可逆矩阵P 使PA = En ，则 P = A 1 ，而且有P(A, B)

13、 = (PA, PB) = (En , A 1B) 上式右边矩阵的最后 m 列组成的矩阵就是X ，即 X = A 1B .45. 方法： 用初等行变换把分块矩阵 (A, B)化成(E, A 1B) ，即 (A, B) (E, A 1B).设A 是 n阶可逆矩阵， B 是 m n矩阵，求出矩阵X 满足XA = B .注意：矩阵方程XA = B 的解为X = BA 1 ，而不可以写成X = A 1B .方法:用初等行变换把(AT , BT )化成(En , (BA 1 )T )，可求出 XT = (BA 1 )T .具体过程为 (AT , BT ) (En , XT )矩阵的秩46. 设 A =

14、(aij )mn ， 则 r(A) minm, n47. r(AT )= r(A) ，实际上， A 与 AT 中的最高阶非零子式的阶数必相同.48. n阶方阵A 为可逆矩阵 A 0 r( A) = n .所以，可逆矩阵常称为满秩矩阵 .秩为m 的mn矩阵称为行满秩矩阵.秩为 n的 m n矩阵称为列满秩矩阵 .阶梯形矩阵49. 满足以下两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵（） 若存在全零行（元素全为零的行）， 则全零行都 位于矩阵中非零行的下方（）各非零行中从左边数起的第一个非零元素的列指标随着行指标 的递增而严格增大。矩阵与线性 方程组50. 设元线性方程组为可 以 表 示 成 矩 阵 形 式 A ，

15、 其 中 A （ ） 为 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵， 称为未知列向量， 为常数列矩阵。当时， 方程组 为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个 （ ）矩阵 。对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换， 把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到 易于求解的同解线性方程组， 然后求出方程组的解。第三章 向量空间知识点名称内容5 / n 维向量及 其线性运算51. 如果 n 维向量 = (a1 , a2 , , an )与 n 维向量 = (b1 , b2 , , bn ) 的对应分量都相等， 即 ai = bi (i = 1,2, , n)，则称向量 与 相等，记作 = .

16、52. （向量的加法） 设n 维向量 = (a1 , a2 , , an )， = (b1 , b2 , , bn ) ，则 与 的和是向量 + = (a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) 。53. （数与向量的乘法） 设 = (a1 , a2 , , an )是一个n 维向量， k 为一个数，则数 k 与 的乘积称 为数乘向量，简称为数乘，记作 k ，并且 k = (ka1 , ka2 , , kan ) 。54. 向量的运算律：设, , 都是n 维向量， k , l 是数， 则： + = + （加法交换律）；( + )+ = + ( + ) （加法结合律）； +

17、= ； + ( ) = ；1 = ；k( + ) = k + k （数乘分配律）；(k + l) = k + l （数乘分配律）；(kl) = k(l) （数乘向量结合律）.线性相关性 概念lk55. 任意一个含零向量的向量组必为线性相关组 。56. 单个向量 线性相关 = 0 ；单个向量 线性无关 0 。57. 两个非零的n 维向量, 线性相关 存在不全为零的数k , l ，使得k + l = ，即 = k或 = 。l58. n 个n 维列向量1 ,2 , ,n ,线性无关 矩阵A = (1 ,2 , ,n )的行列式不等于 0。59. 当m n 时， m 个n 维列向量1 ,2 , ,m

18、一定线性相关.这是由于当m n 时，齐次线性方程 组 Ax = 0 中的变量个数m 大于方程个数n ,它必有可以任意取值的自由变量， 因此，它必有非零 解。求相关系数 的方法60. 求线性相关系数的方法如下：设1 ,2 , ,m 为m 个n 维列向量，则1 ,2 , ,m 线性相关 存在m 个不全为零的数k11 + k22 + + kmm = 0 . m 元齐次线性方程组 x11 +x22 + +xmm = 0 有非零解， 即Ax = 0有非零解.非零6 / 解就是一个相关系数. 矩阵A = (1 ,2 , ,m) 的秩小于m 。组 向量组的极 大线性无关61. 向量组 T与它的任意一个极大无

19、关组等价， 因而 T 的任意两个极大无关组等价。62. 设有两个n 维向量组R = 1 ,2 , ,r 和 S = 1 , 2 , , s ，且已知向量组R 可由向量组 S 线性表出。若r s ，则 R 必为线性相关组 .若R 为线性无关组，则必有r s63. 任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。64. 一个向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同 。向量组的秩 及极大无关 组的求法65. 对矩阵施行初等变换，不改变它的行秩和列秩。66. 设A 为m n 阵，则 r(A) = A 的行秩 = A 的列秩。第四章 线性方程组知识点名称内容齐次线性方 程组的解67. 齐次线性方

20、程组关于解的结论：Ax = 0 的解的全体所组成的向量集合V = | A = 0， V 有以下性质：性质 1 若1 ,2 是齐次线性方程组Ax = 0 的解，则1 + 2 也是Ax = 0 的解.性质 2 若 是齐次线性方程组Ax = 0 的解， k 是任意实数，则k 也是Ax = 0 的解 68. 齐次线性方程组的基础解系与通解。设1 ,2 , ,s 为齐次线性方程组Ax = 0 的一个解向量集， 如果它满足以下两个条件： 1 ,2 , ,s 是线性无关的向量组；Ax = 0 的任意一个解 都可表示为1 ,2 , ,s 的线性组合， 即 = k11 + k22 + + kss ， k1 ,

21、k2 , , ks 是常数.则称1 ,2 , ,s 是Ax = 0 的一个基础解系.定理 1 设A 是m n 矩阵， r(A) = r ，则Ax = 0 的基础解系中的解向量个数为n r；Ax = 0 的任意n r 个线性无关的解向量都是它的基础解系 .推论（1）： 设A 是m n 矩阵，则a.Ax = 0只有零解 r(A) = n ；此时， Ax = 0没有基础解系；b.Ax = 0有非零解 r(A) n ；此时， Ax = 0有无穷多个基础解系（基础解系的解向量有7 / n r 个） .当m n 时， Ax = 0必有非零解， 因此必有无穷多个基础解系.（2）当A 是n 阶方阵时， Ax

22、= 0只有零解 A 0； Ax = 0有非零解 A = 0 .注意：基础解系必须满足三个条件： 基础解系中每一个向量都是Ax = 0 的解； 基础解系的向 量个数必须为n r ； 基础解系的向量组线性无关.设向量组1 ,2 , ,n r 是Ax = 0 的任意一个基础解系， 则其通解为: = k11 + k22 + + kn rn r ，这里k1 , k2 , , knr 为任意实数.齐次线性方程组的通解的求法69. 对方程组Ax = 0先由消元法， 求出一般解， 再把一般解写成向量形式， 即为方程组的通解， 从中 也能求出一个基础解系。非齐次线性方程组有解条件70. 设Ax = b为n 元非

23、齐次线性方程组，则它有解的充要条件是 r(A, b) = r(A) 。71. 当n 元非齐次线性方程组Ax = b有解时，即 r(A, b) = r(A) = r 时，那么， Ax = b有唯一解 r = n；（ 2） Ax = b有无穷多解 r n 。72. n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解的充要条件是r(A) = r n 。设A 为n 阶方阵，则n 元齐次线性方程组Ax = b有非零解 A = 0 。设A 为m n 矩阵，且m n ，则n 元齐次线性方程组必有非零解非齐次线性方程组的解的结构73. 如果1,2 是Ax = b的解，则 = 1 2 是Ax = 0 的解。74. 如果

24、是Ax = b的解， 是Ax = 0 的解，则 + 是Ax = b的解。非齐次线性方程组的求通解方法75. 对非齐次线性方程组Ax = b， 由消元法求出其一般解， 再把一般解改写为向量形式， 就得到方程 组的通解。第五章 特征值与特征向量知识点名称内容特征值与特征向量的定义和性质76. 设1 ,2 , ,是n 阶方阵A = (aij ) 的全体特征值，则必有：n n ni = aii = tr(A)， i = Ai=1 i=1 i=1这里， tr(A)为矩阵A 的n 个对角元之和，称为A 的迹， A为A 的行列式77. 设已知0 为A 的特征值， 为相应特征向量， 即A = 0 ，那么对任意

25、多项式 f (x) 必有 f (A) = f (0 ) ，特别 Am = 0m 。8 / 78. n 阶方阵A 的属于不同特征值的特征向量必线性无关。关于特征值 和特征向量 的若干结论79. 实方阵的特征值未必是实数， 特征向量也未必是实向量。80. 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元素。81. 一个向量 不可能是属于同一个方阵A 的不同特征值的特征向量。82. A 的同一特征值 的不同特征向量1 ,2 的线性组合仍是A 属于 的特征向量。83. n 阶方阵A 和它的转置矩阵AT 必有相同的特征值 。注意： A和 AT 未必有相同的特征向量,即当 A = 时未必有AT = 。84. 若 是A

26、的特征值，则 m 是Am 的特征值，而且Am 与 A有同一特征向量。85. 若 是A 的特征值且 0 ，则 1 是A 1 的特征值而且A 1 与 A有相同的特征向量。86. 设A 为n 阶方阵， f (x) = amxm + am 1xm 1 + + a1x + a0 ，为m 次多项式， f (A) = amAm + am 1Am 1 + + a1A+ a0En关于求特征值与特征向量的一般求法87. 求特征值与特征向量的一般步骤：（） 求出矩阵的特征多项式（）求出特征值（）求出特征向量矩阵相似的定义与相似矩阵的基本性质n n n n88. 反身性： A A ，这说明任意一个方阵都与自己相似.事

27、实上，有矩阵等式。A = E AE = E 1AE89. 对称性 ： 若A B 则B A ，这说明A和 B 相似与B 和 A相似是一致的.事实上，有 B = P 1AP A = PBP 1 = (P 1 ) 1BP 190. 传递性： 若A B， B C 则A C ，这说明当 A和 B 相似， B 和 C相似时， A和 C一定相 似。方阵可相似 对角化条件91. 若阶方阵 A 能相似于一个阶对角矩阵，则说方阵 A 是可以相似对角化的，有以下基本定理：定理： 阶方阵 A 可相似对角化A有个线性无关的特征向量。推论：当阶方阵 A 有个互不相同的特征值时， A 必能相似对角化。方阵相似对 角化92.

28、 相似对角化步骤：第一步，解特征方程E A = 0 ，求特征值1 ,2 , , ；9 / 第二步，对应于每个特征值i (i = 1,2, , n) ，解齐次线性方程组(iE A)x = 0 的基础解i 就是特征向量（ i = 1,2, , n ）；第三步，若对每一特征值 来说，相应齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数等于 的重数，则A 可对角化；第四步， 以上述解向量为列作成一个 n 阶矩阵 P ， 即令相似变换矩阵 P = (1 ,2 , ,n ) ，有1 = . 向量内积93. 设为两个维列向量，把实数称为向量与的内积。94. 无论两个行向量还是两个列向量只要是同维就有内积，他们的内积是

29、数， 内积的大小等于各对应 分量乘积的和。95. 向量的内积具有对称性、线性性和正定性。正交矩阵96. 如果n 阶实方阵A 满足AAT = E ，则称A 为正交矩阵。于是A 为正交矩阵 AT = A 1 ATA = E A*为正交矩阵 A 的列（行）向量组为标准正交向量组。当A 为正交矩阵 A = 1 ，当 A， B 为正交矩阵 AB为正交矩阵实对称矩阵的相似标准形97. 对于任意一个n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵P ，使得1P 1AP = PT AP = 2= 第六章 实二次型知识点名称内容实二次型的 定义98. 元实二次型指的是含有个未知量写成矩阵形式：的实系数二次齐次多项式

30、：，这里，则可把二次型，其中 P-1AP = 210 / A 为阶实对称矩阵，它与二次型一一对应，把 A称为二次型的矩阵，称是以 A 为矩阵的二次型。二次型的标 准形99. 矩阵的合同： 设 A,B 为两个阶方阵，若存在一个可逆矩阵 P，使，则称A 与 B 合同。100.二次型的标准形： 只有平方项而没有交叉项的二次型 。用配方法求二次型的标准形101.求二次型的标准形的方法是，先求出对称矩阵 A 的所有特征 值，再求出个两两正交的单位特征向量组 。二次型的规 范形102.所有平方项的系数均为，或的标准二次型称为规范二次型。103.规范定理： 对任意一个元二次型，一定可以经过可逆线性变换化为规

31、范形：，而且，其中的和由矩阵 A 唯一确定，为规 范形中系数为的项数，就是 A 的秩， 称为的正惯性指数， 为负惯性指数 。实二次型的 分类104. 元二次型和对应的阶实对称矩阵 A，可分成以下五类：（）如果对于任何非零列向量，都有，则称为正定二次型，称 A 为正定矩 阵；（） 如果对于任何实列向量，都有，则称为半正定二次型，称 A 为半正定矩 阵；（） 如果对于任何非零实列向量， 都有，则称为负定二次型，称 A 为负定矩 阵；（） 如果对于任何实列向量，都有，则称为半负定二次型，称 A 为半负定矩 阵；（） 其他的实二次型称为不定二次型，其他的实对称矩阵称为不定矩阵。正定矩阵105.实对角矩

32、阵 为正定矩阵当且仅当 中的所有对角元全大于零.因此， 单位矩阵一定是正定矩11 / 阵。106. 设n 阶矩阵A = (aij )是正定矩阵，则A 中所有对角元aii 0 , i = 1,2, , n 。 107.设A与 B 是两个合同的实对称矩阵，则A 为正定矩阵当且仅当B 为正定矩阵108. 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵 。109. n 阶对称矩阵A = (aij )是正定矩阵 A的n 个特征值全大于零 。具有以下推论： （1） n 阶对称 矩阵A = (aij )是正定矩阵 A 的正惯性指数为n；（2） n 阶对称矩阵A = (aij )是正定矩阵 A合同于单位矩阵； （3）任意两个同阶的正定矩阵必是合同矩阵 .（4） n 阶对称矩阵 A = (aij )是正定矩阵 A的n 个顺序主子式Dk 0 , k = 1,2, , n .12 /