2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章-8-第8讲-直线与椭圆、抛物线的位置关系(共20页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第8讲直线与椭圆、抛物线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l与C1的交点a0b0无解(含l是双曲线的渐近线)无公共点b0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)一个交点a00两个不相等的解两个交点0两个相等的解一个交点0无实数解无交点(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系2直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y

2、1)，B(x2，y2)，则|AB |x1x2| |y1y2| .3与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)(3)为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切教材衍化1(选修21P80A组T8改编)已知与向量v(1，0)平行的直线l与双曲线y21相交于A，B两点，则|AB|的最小值为_解析：由题意可设直线l的方程为ym，代入y21得x24(1m2)，所以x1 2，x22，所以|AB|x1x2|44，即当m0时，|AB|有最小值4.答案：42(选修2

3、1P72练习T4改编)过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则|PQ|_解析：抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线方程为x1.根据题意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案：8易错纠偏(1)没有发现直线过定点，导致运算量偏大；(2)不会用函数法解最值问题；(3)错用双曲线的几何性质1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交B相切C相离 D不确定解析：选A.直线ykxk1k(x1)1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交故选A.2如图，两条距离为4的直线都与y轴平行，它们与抛物线y22px

4、(0p14)和圆(x4)2y29分别交于A，B和C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当|AB|CD|取得最大值时，直线AB的方程为_解析：根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得1或7，又0p14，故p2，设直线AB的方程为xt(0t3)，则直线CD的方程为x4t，则|AB|CD|228(0t3)，设f(t)t(9t2)(0t3)，则f(t)93t2(0t3)，令f(t)00t，令f(t)0t3，故f(t)maxf()，此时直线AB的方程为x.答案：x3已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的

5、取值范围是_解析：由题设条件可知ABF2为等腰三角形，只要AF2B为钝角即可，所以有2c，即b22ac，所以c2a22ac，即e22e10，所以e1.答案：(1，)直线与椭圆的位置关系 (2020浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C：1(ab0)，经过椭圆C上一点P的直线l：yx与椭圆C有且只有一个公共点，且点P的横坐标为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AB是椭圆的一条动弦，且|AB|，O为坐标原点，求AOB面积的最大值【解】(1)因为P(2，)在椭圆上，故1，同时联立，得b2x2a2a2b2，化简得x2a2xa2a2b20，由0，可得a212，b23，故椭圆C的标准方程为1.(2)设A

6、(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为ykxb1，联立得(4k21)x28kb1x4(b3)0，故x1x2，x1x2，由|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)(x2x1)24x1x2，得b3(14k2)，故原点O到直线AB的距离d，所以S，令u，则S29.又因为u41，4)，当u时，S9，当斜率不存在时，AOB的面积为，综上所述可得AOB面积的最大值为3.判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)当0时，直线与椭圆相交；当0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离 (2020舟山市普陀三

7、中高三期中)已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，它的一个顶点在抛物线x24y的准线上(1)求椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上两点，已知m，n，且mn0.求的取值范围；判断OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由解：(1)因为抛物线x24y的准线为y，所以b.由ea.所以椭圆C的方程为1.(2)由mn0得x1x23y1y2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)所在直线为l，当l斜率不存在时，则A(x1，y1)，B(x1，y1)，所以x3y，又1，所以y1.所以x1x2y1y22y2.当l斜率存在时，设l的方程为ykxm，联立得(13k2)x2

8、6kmx3m260，所以36k2m212(3k21)(m22)12(6k2m22)0，()且x1x2，x1x2.由x1x23y1y23(kx1m)(kx2m)(13k2)x1x23km(x1x2)3m20，整理得13k2m2.()所以x1x2y1y2x1x22，由()()得m213k21，所以04，所以22.综上可得22.由知，l斜率不存在时，SOAB|x1y1|y，l斜率存在时，SOAB|AB|d |x1x2|m|，将m213k2代入整理得SOAB，所以OAB的面积为定值.直线与抛物线的位置关系 (2019高考浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物

9、线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标【解】(1)由题意得1，即p2.所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，故2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t

10、(xt2)，得Q(t21，0)由于Q在焦点F的右侧，故t22.从而2.令mt22，则m0，2221.所以当m时，取得最小值1，此时G(2，0)解决直线与抛物线位置关系的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解 (2020嘉兴市高三上学期期末)已知抛物

11、线C的方程为y22px(p0)，抛物线的焦点到直线l：y2x2的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)设点R(x0，2)在抛物线C上，过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程解：(1)抛物线的焦点为，d，得p2或6(舍去)，所以抛物线C的方程为y24x.(2)因为点R(x0，2)在抛物线C上，所以x01，得R(1，2)设直线AB为xm(y1)1(m0)，A，B，由得y24my4m40，所以y1y24m，y1y24m4，直线AR方程为y2(x1)(x1)，由，得xM，同理xN，所以|MN|xMxN|22 2

12、2，所以当m1时，|MN|min，此时直线AB的方程为xy20.弦长问题如图，设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点， 求椭圆离心率的取值范围【解】(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP| |x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q ，满足|AP|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2

13、(2a2)kk0.由于k1k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因为式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a，由e得，所求离心率的取值范围为0e.弦长的计算方法求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解提醒两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点 已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线

14、yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解：(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，解得k1.中点弦问题 (2018高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

15、(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围【解】(1)设P(x0，y0)，A，B.因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程4即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因为x1(x00)交于两点A，B，当2时，直线l过定点_；当m_时，以AB为直径的圆与直线y相切解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得x2kxm0，则x1x2k，x1x2m，y1y2(x1x2)2m2，y1y2k(x1x2)

16、2mk22m，由2，则x1x2y1y2m2m2，即m2m20，解得m1或m2，由m0，则m2，直线l：ykx2，所以直线l过定点(0，2)，设以AB为直径的圆的圆心M(x，y)，圆M与y相切于点P，由x，则P，由题意可知0，即0，整理得x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)0，代入整理得m20，解得m，所以当m时，以AB为直径的圆与直线y相切答案：(0，2)基础题组练1过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条B2条C3条 D4条解析：选C.结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0，1)且平行于x轴的直线以及过点(0，1)且与

17、抛物线相切的直线(非直线x0)2已知直线l：y2x3被椭圆C：1(ab0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()y2x3; y2x1；y2x3; y2x3.A1条 B2条C3条 D4条解析：选C.直线y2x3与直线l关于原点对称，直线y2x3与直线l关于x轴对称，直线y2x3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.3过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B.若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意若直线AB的斜

18、率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为yk(x)，代入抛物线y22x得，k2x2(k22)xk20，因为A，B两点的横坐标之和为2.所以k.所以这样的直线有两条4经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B.依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，所以，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得.5(2020杭州严州中学模拟)过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物

19、线的准线于点C，若|AF|6，则的值为()A. B.C. D3解析：选D.设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则x126，解得x14，y14，直线AB的方程为y2(x2)，令x2，y8，即C(2，8)，联立方程解得B(1，2)，所以|BF|123，|BC|9，所以3.6已知圆M：(x1)2y2，椭圆C：y21，若直线l与椭圆交于A，B两点，与圆M相切于点P，且P为AB的中点，则这样的直线l有()A2条 B3条C4条 D6条解析：选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时，P在x轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

20、P(x0，y0)，由y1，y1，两式相减，整理得，则kAB，kMP，kMPkAB1，kMPkAB1，解得x0，由0)上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B.若点Q的坐标为(1，6)，求直线AB的方程及弦AB的长解：由Q(1，6)在抛物线y22px上，可得p18，所以抛物线C1的方程为y236x.设抛物线C2的切线方程为y6k(x1)联立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直线与抛物线C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直线AB的方程为12x2y90，弦AB的长为2.综合题组练1.(2020温州模拟)已知直线l：yx

21、3与椭圆C：mx2ny21(nm0)有且只有一个公共点P(2，1)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：yxb交C于A，B两点，且PAPB，求b的值解：(1)联立直线l：yx3与椭圆C：mx2ny21(nm0)，可得(mn)x26nx9n10，由题意可得36n24(mn)(9n1)0，即为9mnmn，又P在椭圆上，可得4mn1，解方程可得m，n，即椭圆C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线ybx和椭圆方程，可得3x24bx2b260，判别式16b212(2b26)0，x1x2，x1x2，y1y22b(x1x2)，y1y2(bx1)(bx2)b2b(x1x2)x1

22、x2，由PAPB，即为(x12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4y1y2(y1y2)1250，解得b3或，代入判别式，知b成立故b为.2.(2020绍兴市高三教学质量调测)已知点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1(ab0)上(1)求椭圆C的方程；(2)P是线段AB上的点，直线yxm(m0)交椭圆C于M，N两点若MNP是斜边长为的直角三角形，求直线MN的方程解：(1)因为点A(2，0)，B(0，1)在椭圆C：1上，所以a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x2mxm210，则2m20，x1x22m，x1x22m22，|

23、MN|x1x2|.当MN为斜边时， ，解得m0，满足0，此时以MN为直径的圆的方程为x2y2.点A(2，0)，B(0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB上存在点P，此时直线MN的方程yx，满足题意当MN为直角边时，两平行直线AB与MN的距离d|m1|，所以d2|MN|2|m1|2(105m2)10，即21m28m40，解得m或m(舍)，又0，所以m.过点A作直线MN：yx的垂线，可得垂足坐标为，垂足在椭圆外，即在线段AB上存在点P，所以直线MN的方程yx，符合题意综上所述，直线MN的方程为yx或yx.3(2020丽水市高考数学模拟)如图，已知抛物线C：x24y，直线l1与C相交于A，B两点，

24、线段AB与它的中垂线l2交于点G(a，1)(a0)(1)求证：直线l2过定点，并求出该定点坐标；(2)设l2分别交x轴，y轴于点M，N，是否存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式相减可得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)，可得kABa，由两直线垂直的条件可得直线l2的斜率为；即有直线l2：y(xa)1，可得l2：yx3过定点(0，3)(2)l2：yx3过M，N(0，3)，假设存在实数a，使得A，M，B，N四点在同一个圆上，由中垂线的性质可得MANMBN，可得MAN90，即有|AG|2|MG|NG|，由，可得x22ax2a240，x1x22a，x1x22a24，由弦长公式可得|AB| ，即有|MG|NG|(4a2)，所以(4a2)(a24)，所以a22，解得a.故存在这样的实数a，且为.专心-专注-专业