行列式的计算方法(共11页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上行列式的计算方法1 引言行列式的计算是线性代数和高等代数的一个重要内容同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积例 1 计算行列式对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,行，得再将其第列通过相邻两列互换依次调为第列，则得=2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法它的一般方法是：= (任意数)例如下面的例

2、题：例2 计算行列式现将行列式加边升阶，得 第1行乘以(-1)加到第行，得第2列乘以加到第1列，第3列乘以加到第1列，依次下去直到第列乘以加到第1列，得2.3 降阶法 利用按一行(列)展开定理或Laplace展开定理将n阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法 例 3 计算 解 首先我们应考虑能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将的第一行乘以(-1)加到第第行，得这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：2.4 对于所谓二条线的行列

3、式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算.例4 计算行列式解 按第1列展开，得 2.5 递推法 通过降阶等途径，建立所求n阶行列式和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得的方法叫递推法当与是同型的行列式，可考虑用递推法例 5 计算n级行列式 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解解 按第1行展开，得 直接递推不易得到结果，变形得于是 例6 计算级行列式 对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式 解 按第1行展开，得 2.6 连加法 例 7 计算这种行列式的特点是：各行元素之和都相

4、等.先把第2列到第n列元素同时加到第1列，并提出公因式，得然后将第1行乘以(-1)加到第行，得2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下： (其中)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法例 8 计算行列式 解 取行列式 显然 ,由行列式的乘法规则：等式两边消去得2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法 例 9 计算阶行列式解 按第1行展开，得 即 由此递推，即得 因为中对称，又有当 时，从

5、上两式中消去，得 当 时， 2.9 数学归纳法当与是同型的行列式，可考虑用数学归纳法例 10 计算级行列式 解 当时，结论成立，假设对级数小于的行列式结论成立，则按第行展开，得由假设 代入前一式，得 故对一切自然数，结论成立2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算例 11 在平面上，以点为顶点的三角形面积，其中 解 第1行拆为 3 分块矩阵行列式的计算方法 我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵，那么行列式，其中分别是阶可逆矩阵，是阶矩

6、阵，是阶矩阵可以看出，这样可以把阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的阶和阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式设矩阵 其中分别是阶和阶的可逆矩阵，是阶矩阵，是阶矩阵，则有下面公式成立 或下面推导公式，事实上，当时，有上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式例 12 计算 这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果令 ， ， 则 ，由公式(1) 知 原行列式 =这个题还有个特点，那就是，如果我们把公式变形，即当时，所以当时，我们有，这样例题就可以直接写出答案了参考文献:1 北京大学数学系，高等代数M (第三版)北京：高等教育出版社，2

7、003，92 张禾瑞，高等代数M (第四版)北京：高等教育出版社，19973 丘维生，高等代数M北京:高等教育出版社，1996，124 杨子胥，高等代数M山东：山东科学技术出版社，2001，95 王萼芳，高等代数题解M北京：北京大学出版社，1983，106 Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. Discriminaants, redultants,and multidimensional determinantsM.Mathematics: Theory&Applications,Birkhauser Verlag,1994.7 徐仲，陆全等高等代数导教导学导考.西安:：西北工业大学出版社,20048 陈黎钦福建：福建商业高等专科学校学报，2007年2月第1期专心-专注-专业