2022年杨辉三角的规律以及推导公式.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备杨辉三角的规律以及定理李博洋摘要杨辉三角中的一些规律关键词杨辉三角幂二项式引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对 “杨辉三角”的规律进行探讨和研究。内容1 二项式定理与杨辉三角与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。由上式得出：(a+b)2a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案

2、为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为：14 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 因此可得出二项式定理的公式为：(a+b)n=C(n,0)an*b0+C(n,1)a(n-1)*b1

3、+.+C(n,r)a(n-r)*br.+C(n,n)a0*bn 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把数形结合带进了计算数学。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数通项公式来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备2 杨辉三角的幂的关系首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1=2 )

4、1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=32 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) ,相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，, 刚好是2 的 0，1，2， 3，4，5，6，, 次幂，即杨辉三角第n 行中 n 个数之和等于2 的 n-1 次幂3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系(1) 1 (2) n=1 1 1 (3) n=2 1 2 1 (4) n=3 1 3 3 1 (5) n=4 1 4 6

5、 4 1 (6) n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1 把斜行 (1)中第 7 行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6 把斜行 (2) 中第 7 行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15 把斜行 (3) 中第 7 行之前的数字相加得1+3+6+10=20 把斜行 (4) 中第 7 行之前的数字相加得1+4+10=15 把斜行 (5) 中第 7 行之前的数字相加得1+5=6 把斜行 (6) 中第 7 行之前的数字相加得1 将上面得到的数字与杨辉三角中的第7 行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1

6、4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备由上面可得： 杨辉三角中n 行中的第 i 个数是 i-1中前 n-1 个数之和， 即第 n 行的数分别为 1、(1) 中第 n 行之前的数字之和、(2) 中第 n 行之前的数字之和、(3) 中第 n 行之前的数字之和、 (4) 中第 n 行之前的数字之和、 , 、(n-3) 中第 n 行之前的数字之

7、和、1。总结杨辉三角对于我们好理解的规律，如下六点：1、每个数等于它上方两数之和。2、每行数字左右对称，由1 开始逐渐变大。3、第 n 行的数字有n+1 项。4、第 n 行数字和为2(n-1)。（2 的(n-1) 次方 ）5 (a+b)n的展开式中的各项系数 依次对应杨辉三角的第(n+1) 行中的每一项。16、第 n 行的第 m个数和第n-m 个数相等，即C(n,m)=C(n,n-m)，这是组合数性质上面的式子是什么意思？首先cin1中的 n+1， i 的意思是从n+1 个相同物体中选出i个物体有多少种选法。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

8、名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261 年所著的详解九章算法一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11 世纪前半贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。在我国古老的文明中，人们发现了很多有趣的规律，而杨辉三角就是其中一个。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -