2022年极坐标与参数方程的主要知识点.pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备极坐标与参数方程的主要知识点1、 极坐标与直角坐标系的互化设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为( ,)x y，极坐标( , )，由下图可知下面的关系式成立：2_tan_xy或2、 直线的参数方程：_xy00000sin()()()cossincosyyxxyyk xxxxt3、 圆的参数方程：222()()xaybr_xy4、 椭圆的参数方程：中心在坐标原点焦点在X 轴上：_xy5、 双曲线的参数方程：22221xyab：_xy6、 抛物线的参考方程：22(0)ypx p：_xy7、 设点( , )p x y事平面直角坐标系中的任意一点，在变换_(0):_(0)xy的

2、作用下，点( , )p x y对应到点( ,)p xy，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备相关公式：1、 点00(,)p xy到直线22:0(0)L AxByCAB的距离公式：0022A xB yCdAB2、sin()sincoscossinsin()sincoscossin2、 辅助角公式：22sincossin()(tan)bababa其中常用：sinco

3、s2 sin()4sin3cos2sin()33sincos2sin()63、 两点间的距离公式：11122222121212(,),(,)()()px ypxyp pxxyy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备极坐标与参数方程学案例1在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为(2,)(3,0)3和， O 为极点，则AB=_. 例2已知直线的极坐标方程为2sin()42， 求点7(2,)4A到这条直线的距离。例

4、3已知曲线11,C C的极坐标方程为cos3,4cos(0,0)2，则曲线11CC与的交点的极坐标为_。例4把下列的参数方程化为普通方程：（1）1sin2()2sincosxy为参数（2）2cos()2sinxy为参数（3）312()132xttyt为参数（4）22241()41kxkkkyk为参数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例5已知点( , )P x y是圆2264120 xyxy的动点，求：（1）2

5、2xy的最值；（2）xy的最值；（3）求点 P 到直线10 xy的距离 d 的最值。例6已知曲线124cos8cos:():(3sin3sinxtxCtCyty为参数 ，为参数）; （1）化1C，2C的方程为普通方程，并分别说明他们表示什么曲线；（2）若1C上的点 P 对应的参数为2t，Q为2C上的动点，求PQ中点 M 到直线332:()2xtCtyt为参数距离的最小值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例

6、7 （本题 10 分）在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为4cos()3sinxy为参数以坐标 原 点 为 极 点 ，x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 曲 线2C的 极 坐 标 方 程 为sin()5 24（）分别把曲线12CC与化成普通方程和直角坐标方程；并说明它们分别表示什么曲线（）在曲线1C上求一点Q，使点Q到曲线2C的距离最小，并求出最小距离例 8. 已知曲线C的极坐标方程为4sin，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1,2312xtyt（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段的长度精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

7、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备例 9. (20XX 年全国二卷)选修 4-4:坐标系与参数方程已知动点 P， Q 都在曲线 C:（t 为参数）上， 对应参数分别为t=a 与 t=2a （ 0a2） ，M 为 PQ 的中点。(I)求 M 的轨迹的参数方程: (II)将 M 到坐标原点的距离d 表示为 a 的函数， 并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 例 10.（20XX 年全国一卷）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为x=4+5cos

8、ty=5+5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin 。（）把 C1的参数方程化为极坐标方程；（）求 C1与 C2交点的极坐标（ 0,0 2 ）例11.（20XX 年全国北京卷）在极坐标系中， 点(2，6)到直线 sin =2 的距离等于抛物线的参数方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式

9、下面仅介绍22(0)xpy p及22(0)ypx p两种情形（1）对于抛物线22(0)xpy p，其参数方程为222xptypt，设抛物线22xpy上动点P坐标为2(22)ptpt，O为抛物线的顶点， 显然222OPptktpt，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率（2）同理，以圩抛物线22(0)ypx p，其参数方程为222xptypt，设抛物线22xpy上 动 点P坐 标 为2( 22)p tp t，O为 抛 物 线 的 顶 点 ， 可 得22112OPOPptktpttk，t的几何意义是过抛物线的顶点O的动弦OP的斜率的倒数例 12.已知AB，为抛物线24xy上两点，且OAOB

10、，求线段AB中点的轨迹方程解析：设OAkt，1OBOBOAkt，据t的几何意义，可得2244(4 4)AttBtt，设线段中点()P xy，则222214142214142.2xttttytttt，消去参数t得P点的轨迹方程为22(4)xy815)21(2222【解析】解：解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为2240 xyy，即22(2)4xy，它表示以(0,2)为圆心， 2 为半径圆，4 分直线方程l的普通方程为31yx， 8 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备圆 C的圆心到直线l的距离21d，10 分故直线l被曲线C截得的线段长度为15)21(2222 14 分7，【解析】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -