2022年固体物理基础答案解析吴代鸣.pdf

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1、1. 试证理想六方密堆结构中c/a=.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。右边为底面的俯视图。而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2若晶胞基矢cba,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。解：cba,互相垂直，可令kccjbbiaa,晶胞体积abccbav)(倒格子基矢：kcjbiaabcbavbjbiakcabcacvbiakcj babccbvb2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321而与（hkl ）晶面族垂直的倒格矢222321)()()(2)(2clbkahGkcljbkiahblbkbhG故（ hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)(

2、)()(222clbkahclbkahGd3若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择每个原胞含有几个原子答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5 个原子。体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。布拉菲晶格是简单立方格子。4试求面心立方结构的（111）和（ 110）面的原子面密度。解：（111）面精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 平均每个（ 111）面有22

3、13613个原子。（111）面面积222232322)22()2(221aaaaaa所以原子面密度22)111(34232aa（110）面平均每个（ 110）面有2212414个原子。（110）面面积222aaa所以（ 110）面原子面密度22)110(222aa5设二维矩形格子的基矢为j aaiaa2,21，试画出第一、二、三、布里渊区。解：倒格子基矢：jbjajajaxxaaaavbkxaiaxiaxaaaavb11323321212212222)(2)(2222)(2所以倒格子也是二维矩形格子。2b方向短一半。最近邻;,22bb次近邻;2,2,2211bbbb再次近邻;,12122121

4、bbbbbbbb再再次近邻;3,322bb做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2 块梯形和2块三角形组成；第三布里渊区是2 对对角三角和4 个小三角以及2 个等腰梯形组成。6六方密堆结构的原胞基矢为：kcajaiaajai aa32123212321试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 解：原胞为简单六方结构

5、。原胞体积：cajijicaijacjiakcjiajiaaaav2232123)3()3(41)3(21)3(21)3(21)3(21)(倒格子基矢：kcaavbjiajiakccaaavbjiakcjiacaaavb2)(2)3(2)3(21232)(2)3(32)3(21232)(221321322321由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。（注意： 倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分

6、面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。所以第一布里渊区是一个六角柱体。比倒格子六方要小。7略8、证明一维NaCl 晶体的马德隆常数为2ln2证明：，则左右两侧对称分布任选一参考离子i最近距离）为晶格常数（正负离子；这里令aaarjij.为其中，异号为；同号;.4131211121那么，有：jja精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - .432)1ln(利用展开式：432xxxxx.41312112ln，得：1令x2ln29、

7、若离子间的排斥势用re来表示， 只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数和应如何决定。解：离子为原点）（以，则设最近邻离子间距离为irarrjij，（最近邻以外）4），（最近邻，4)(0202/ijijijrijrerrreeruij最近邻/)(02142总相互作用能为：rNijjeareNU为最近邻离子数其中)1.(.；42/02ZeZreNUr)2.(.4；得：0由平衡条件：/200200rrreZrerU)3.(.142得：0002rreNU)(结合能0rUEc)4.(.91等离子晶体：对于0220rrrUNrKNaCl)5.(.142181/2300200

8、reZrerK精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - )6.(.1442181得：)5(代入)2(将200230020rererK)7.(.722400202Krere)8.(.4得：)2(由/20020reZre10、如果 NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。解：) 1.(42总相互作用能02nrBreNU)2.(.0421020020nrrrnBreNrU)2.(

9、.4得：11200nenBr)3.(.4得：)2(由1002nrneB)4.(118)(得：)1(代入)3(0020nreNrU111004)()2(4)()2(可知：)4(和)2(时，由2变为当电荷由nnneUeUereree11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。jiijijjiijijuUuxU20041)(21解：在简谐近似下：)(41个原子的运动方程：第222jiijijnnnuuuUdtudmn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

10、 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - )(41右边)(2)(2njnjnjniininnuuu)()(41)(2)(2njnjnjniininnuuuuu) )()(21)()(njnjnjniininuuuu)()(niniinuupnpnpnpuuu)2(pnaqpntiaqpntipnaqtinaqtinuAeAeAemAeu)2(代入上式得：设)()()(2)(pppaqm)cos1(2整理，得：212、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于1和2，试求格波的色散关系。nnnnnnnnuuudtudm)()()(解：2121121

11、122nnnnnnnnuuuudtdm)()()(2111211222)()(;试探解：tnaqintnaqinBeAeuBAAeBmABBeAmiaqiaq)()(代入方程，得：2121221212精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 0)()()(2121221221meemiaqiaqmaqcos2经计算，得：21222121213、已知一维单原子晶格的格波色散关系为)cos1(2)(2qaMq试求： (1) 格波的模密度g();

12、 (2)低温下晶格热容与温度的比例关系。)(2)(解：一维时，模密度qdqlgaqdqMadMaqsin22;21cos由色散关系，得：22/142224MMMaddqmqMqMMaqqdqlg02/14222)(4)()()()(22)(2/142224MMMalmTkdgTTECB01)/exp()(晶格热容：）1项，（因为低温，略去4mBTkedMMalTC01精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 01deTMalTkB)似为无穷

13、大主要，所以上限可以近因为低温，频率低的占(0222)1(dxeexTkMalxxB3经计算，上面积分2TMalkCB3214、将 Debye 模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论 Debye模型的合理性。cq色散关系：解：对于德拜模型，有cdqd)(2)(qdqlg0)(1qdcl01)(TkBegdTC0222) 1(dxeexTkclxxB3上面积分2TcklCB32温的情况下。有其合理性，尤其是低成正比，说明德拜模型与上题结果比较，都与T精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -