2022年圆锥曲线知识点梳理.pdf

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1、高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、圆：1、定义： 点集 M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 . 2、方程： (1) 标准方程：圆心在c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程：当D2+E2-4F0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F0

2、 时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0)，则 MC r点 M在圆 C 内， MC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i) 判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。二、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,

3、y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 三、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨

4、迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 . （0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a点集： M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l的距离 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22范围a x a， b y b |x| a ，yR x 0 中心原点 O （0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0, b) (a,0),

5、(a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - -

6、- - - - 离心率)10(eace)1(eacee=1 【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ，准线方程x=-2p

7、，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0) ，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p)，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py （p0）的焦点坐标是（0,-2p） ，准线方程y=2p，开口向下 . （2）抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （4）已

8、知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 四、常用结论：1.椭圆22221xyab (a b0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的 焦点三角

9、形 的面积为122tan2F PFSb. 且cos12221bPFPF2. 设 P点是双曲线22221xyab（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点 , 记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2).2cot221bSFPF3.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 4. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x轴y轴顶点（0,0 ）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -