2022年概率与数理统计第2章一维随机变量习题及答案.pdf

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1、第 2 章一维随机变量习题 2 一. 填空题：1. 设 离 散 型 随 机 变 量的 分 布 函 数 是xPxF， 则 用 F (x) 表 示概0 xP = _ 。解：000 xFxF2. 设 随 机 变 量的 分 布 函 数 为xarctgxxF121则 P 01 = _14_。解： P 00， 则 C 的 值 应 是 _ e_。解：eCCekCkCkPKKKKK11!1!10005 设 随 机 变 量的 分 布 律 是4, 3 ,2, 1,21kAkPk则2521P= 。解：AAkPk161516181412141令15161A得A1615212521ppP8.0412115166. 若

2、定 义 分 布 函 数xPxF， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量的 分布 函 数 的 充 要 条 件 是 F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数F (x) 右 连 续 ， 且F ( ) = 0 ， F ( + ) = 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7. 随机变量),a(N2，记aP)(g，则随着的增大，g()之值保 持 不 变。8. 设 N ( 1， 1 ) ，记的概率密度为( x ) ，分布函数为 F

3、( x )，则11PP。9、分别用随机变量表示下列事件(1) 观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件. “收到呼唤3 次”3X，“收到呼唤次数不多于6 次”kXXk606(2) 抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件.“长度等于10cm ” = 10X；“长度在10cm到之间” = .11010X(3) 检查产品5 件，设A为至少有一件次品，B为次品不少于两件，试用随机变量表示事件AB,BA,B,B,A.解: 0XA没有次品2XB次品少于两件2XB次品不少于两件1XBA至少有一件次品2XAB次品数不到两件10 、一袋中装有5 只球，编号为1,2,3,4,5，

4、在袋中同时取3 只，以x表示取出的3 只球中的最大号码，则X的分布律为 :X345kp101103106精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 二. 计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以1X表示两次所得点数之和，以2X表示两次中得到的小的点数，试分别写出21, XX的分布律 .1X23456789101112kp3613623633643653663653643633623612、设在 15 只同类型的零件中有2 只次品，在其中取3 次，

5、每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数. 求X的分布律； .X012kp352235123513、(1) 设随机变量X的分布律为：0, 2, 1 , 0k,!kakXPk为常数，试确定常数a.解: 因0kkk0k0k1!ka! kakXP1ae, 故ea (2) 设随机变量X的分布律为：N,2, 1k,NakXP，试确定常数a.1a1N1aNN1aNakXPN1kN1kN1k4、飞机上载有3 枚对空导弹，若每枚导弹命中率为，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.X123kp5、汽车需要通过有4 盏红绿信号灯的道路才能到

6、达目的地。设汽车在每盏红绿灯前通过( 即遇到绿灯 ) 的概率都是； 停止前进 ( 即遇到红灯 ) 的概率为， 求汽车首次停止前进( 即遇到红灯， 或到达目的地 ) 时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x表示x可取值为0,1,2,3,4，又设A的表示事件： 汽车将通过时第i盏信号灯开绿灯，4, 3 ,2, 1n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 由题意4. 0)(, 6. 0)(nnAPA

7、P0 x表 示 已 通 过 的 信 号 灯 数 是0( 即 第 一 盏 信 号 灯 是 红 灯 ),故4 .0(01APxP1 x表示 已通过的信号灯数是1( 即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯), 故4.06.0)()()( 12121APAPAAPxP.同理4.06 .0)()()()(22321321APAPAPAAAPxP4. 06 .0)()()()()(3343214321APAPAPAPAAAAPxP4432143216.0)()()()()(4APAPAPAPAAAAPxP于是x的分布律为4k,6.03,2, 1 ,0k, 4.06.0kxP4k即x01234kp6、自动生产

8、线调整以后出现废品的机率为p，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.x012kkpppp)1(pp2)1(ppk)1(7、一大楼内装有5 个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为，问在同一时刻：(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少0729.0)9.0()1.0(23225CxP(2) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少00856.0)9.0()1.0(9 .0)1 .0()9.0()1.0(305554452335CCCxP(3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少99954.0)1.0(9 .0)1.0(131)355544

9、5CCxPxP(4) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少40951.0)9 .0()1 .0(1 15005CxP8、设事件A在每一次试验中发生的概率为，当A发生不少于3 次时，指示灯发出信号，(1) 进行了 5 次独立试验，求指示灯发出信号的概率.(2) 进行 7 次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解：(1)P5 次独立试验 , 指示灯发出信号=163.0)3.0(7 .0)3.0()7 .0()3.0(5554452335CCC(2)P7 次独立试验 , 指示灯发出信号精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

10、 - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 353.0)7.0()3.0()6 .0(3 .0)7.0()3 .0(152276177007CCC9、设某批电子管正品率为43，次品率为41，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x，则随机变量x的可能取值为：, 3 ,2 , 1， 当kx时，相当于 前1k次测得的都是次品管子，而第k次测得的是正品管子 的事件，43)41(1kkXP，),2, 1(k10、每次射击命中率为，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1) 不小于 (

11、2)不小于解：已知n次独立射击中至少击中一次的概率为nnP)8.0(1)2 .01(1；(1) 要使9.0)8.0(1nP，必须3.108.0lg1 .0lgn，即射击次数必须不小于11n次.(2) 要使99.0)8 .0(1nP，必须64.208 .0lg01.0lgn，即射击次数必须不小于21n次11、电话站为300 个用户服务， 在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4 个用户使用电话的概率.解：由二项分布得knkknqpCkxP29644300)99.0()01.0(4CxP现用泊松定理近似计算，301.0,300nppn,故168. 0! 43

12、434exP12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为，在某天的该段时间内有1000 辆汽车通过，问出事故的次数不小于2 的概率是多少 ( 利用泊松定理计算)解：设x为发生事故的次数，则kkkCkxP10001000)9999.0()0001.0(用泊松定理计算，1.00001.01000np00468.01.01 10121. 01 . 0eexPxPxP13 设X服从泊松分布，且已知2 1XPXP，求4 XP解：!kekxPk，由21xPxP，得! 2! 12ee，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

13、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - )0,0(0,2因为舍去0903. 0!42 424exP14、. 求离 散 型 随 机 变 量的 分 布 律 为kbkP， ( k = 1， 2，)，的充 分 必 要 条 件。解：由1kbkP0且1kP1kb1b1bbb0kk1kkbb11111b且b 015 设服从参数 = 1 的指数分布，求方程 4x2 + 4x + + 2 = 0无实根的概率。解：0)2(16162知21故220 xe1dxe 21P16.已 知 连续 型 随 机 变 量的 概 率 密度 为xBAxx0

14、31)(且 知在 区 间 ( 2，3 ) 内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1 ，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二倍 ，试确 定 常 数 A ，B 。解：由 条 件21232pp即3221dxBAx2dxBAx知 有120AB又 由1dxx即311B2A4dxBAx解124021BABA得 A = 13，B = 1617、设有函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 其它,00,sin)(xxxF试说明)(xF能否是某

15、随机变量的分布函数.解：不 能因 为 当x32时 ， ( x ) = sin x 0 故 在23,0上 ， ( x ) = sin x 不 是 非 负 。18、设某人计算一连续型随机变量x的分布函数为：1,114,40,sin0,0)(xxxxxxxF试问他的计算结果是否正确答：不正确19、在区间,0a上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标，这个质点落在,0a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的分布函数 .解：P 0 0 )解 : 正 方 体 体 积 = 3 函 数y = x 3 在( 0 ， a ) 上 的 反 函 数xh yy( )13hyy( ),1323ayh1

16、的 概 率 密 度 为ayyay)(003133231. 设 随 机 变 量的 概 率 密 度 为0,00,122xxxx求 随 机 变 量 = l n 的 概 率 密 度 。解：函数y = l n x 的 反 函 数x = h ( y ) = e y ，当x 在( 0 ， + )上 变 化 时 ，y在(， + ) 上 变 化 ，1e2yh,e)y(hy2y于 是的 概 率 密 度 为yeeyyy12)(232.已 知 某 种 产 品 的 质 量 指 标服 从N( , 2)， 并 规 定 | | m时 产 品 合 格 ， 问m取 多 大 时 ， 才 能 使 产 品 的 合 格 率 达 到95%

17、。 已 知 标准 正 态 分 布 函 数 (x)的 值 ： = , = , = , = .解：P | | m = ，此式等价于Pm + m = 因 为服 从 N( , 2 )， 故Pm + m = )()(mm95012.)()()(mmm查 表m1 96.得 m = 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 故m 取时 才 能 使 产 品 合 格 率 达 到95%。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -