2022年概率习题答案.pdf

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1、1 随机事件样本空间事件的关系与运算一、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 )【C 】1. 在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t，电炉就断电，以 E 表示“电炉断电”，而)4()3()2()1(TTTT为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于)(A0)1(tT)(B0)2(tT)(C0)3(tT)(D0)4(tT【D】2. 设事件 A表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销” ，则事件A表示)(A“甲种产品滞销而乙种产品畅销” )(B“甲、乙两种产品均畅销” )(C“甲种产

2、品滞销”)(D“甲种产品滞销或乙种产品畅销” 【B】3. 设CBA,是某随机试验中的三个事件，D 表示“只有 A发生” ，则)(AAD)(BCBAD)(CBCAD)(D)(CBAD【D】4. 对于任意二事件 A和 B ，与关系式BBA不等价的是)(ABA)(BAB)(C)(D二、任意抛掷一颗骰子， 观察出现的点数 设事件 A表示“出现偶数点”，事件 B表示“出现的点数能被3 整除” (1) 写出试验的样本点及样本空间； (2) 把事件 A 及 B 分别表示为样本点的集合； (3) 事件BAABBABA,分别表示什么事件并把它们表示为样本点的集合【解】 （1）设i表示“出现 i 点”)6,2,1

3、(i，则样本点为BABA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 654321,，样本空间为.,654321（2）,642A, ,63B;（3）,531A，表示“出现奇数点” ；,5421B，表示“出现的点数不能被3 整除” ；,6432BA，表示“出现的点数能被2 或 3 整除” ；6AB，表示“出现的点数能被2 和 3 整除” ；,BA51，表示“出现的点数既不能被2 整除也不能被 3 整除”.三、一盒中有 5只外形完全相同的电子元件

4、（分别标有号码5,4, 3,2, 1） ，一次从中任取 3只，记录所取元件的号码 (1) 写出随机试验的样本点及样本空间； (2) 用样本空间的子集表示下列事件：A“最小号码为 1” ； B“号码之和为10” 【解】(1) 设ijk表示“出现号码为kji,”);5,2,1,(kjikji，则,345245235234145135134125124123(2).,145135134125124123A.,145235B四、设CBA,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：(1) A发生, B 与 C 都不发生；【解】CBA；）（或)(CBA (2) CBA,都发生；【解】ABC(3) CBA,

5、中至少有两个发生；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 【解】ABCCABCBABCA或CABCAB(4) CBA,中至多有两个发生【解】BCACBACABCBACBACBACBA或CBA或.ABC 2 概率的古典定义概率加法定理一、填空题 ( 将你认为正确的答案填在题中的横线上)1. 电话号码由七个数字组成，每个数字可以是9,2, 1,0中的任一个数（但第一个数不能为0 ） ，则电话号码是由完全不同的数字组成的概率为06048.01

6、06196919AAA2. 把10本书任意地放在书架上，则其中指定的3本书放在一起的概率为0667. 015110108833AAA3. 将20个球队任意分成两组 （每组 10个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为5263.01910102012918CCC4. 一盒中有 20张奖票（其中只有2张有奖） ，现有两人依次从盒中各抽一张奖票第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为1.01015. 一批产品共有 200件, 其中有 6件次品任取 3件产品恰有 1件是次品的概率为0856.03200162194CCC; 任取 3件产品没有次品的概率为9122.032003

7、194CC; 任取 3件产品中次品不少于 2 件的概率为0022.01320031943200162194CCCCC6. 在区间)1,0(内随机地取两个数，则所取两数之和不超过5 . 0概率为81精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 二、一批产品共有 20件，其中一等品 8件，二等品 12件现从这批产品中任取3件，求取出的产品中恰有2件等级相同的概率【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】 设取出的产品中恰有 2 件等级相同的概率为

8、),(AP则7579. 0)(3202121811228CCCCCAP三、在 1到100共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被3或7 整除的概率【解】 设这个数能被 3或 7整除的概率为),(AP则43.0)(11001411001141100133CCCCCCAP四 、设41)(,0)()(,31)()()(BCPACPABPCPBPAP， 求 三 事 件CBA,中至少有一个发生的概率【解】 因为0P(AC)P(AB),所以ACAB,，从而CAB)(, 可推出0)(ABCP,所求为)(CBAP)()()()()()()(ABCPCAPBCPABPCPBPAP75.04341313131.

9、3 条件概率概率乘法定理全概率公式与贝叶斯公式一、填空题 ( 将你认为正确的答案填在题中的横线上)1 设BA ,是随机 事件 ，7.0)(AP，6 .0)(BP，4.0)|(ABP，则)(ABP48.02设BA ,是随机事件，已知( )0.6P A，5 .0)(BP，8 .0)(BAP，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 43 页 - - - - - - - - - - )(ABP5.03 设BA ,是 随 机 事 件 ，5.0)(AP，6.0)(BP，8. 0)(BAP， 则)

10、(BAP62. 0二、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 )【D】 1 已知事件 A发生必导致事件 B的发生，且1)(0BP， 则)|(BAP)(A1)(B5 .0)(C25. 0)(D0【B】2已知21)|(,31)|(,41)(BAPABPAP，则)(BAP)(A21)(B31)(C41)(D51【A】 3已知事件 A与 B 满足条件2.0)(BAP， 且6.0)(AP，则)|(ABP)(A5 .0)(B6 .0)(C7 .0)(D8.0三、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号， 求此人拨号不超过两次而接通所需电话的概率【解】 设 A=

11、“拨通电话”，,2, 1）（次才拨通电话第iiBi则211BBBA,，101)(1BP，10191109)()()(11221BPBBPBBP故2. 0101101)()()(211BBPBPAP；四、试卷中的一道选择题共有4个答案可供选择， 其中只有 1个答案是正确的 某考生如果会做这道题， 则一定能选出正确答案； 若该考生不会做这道题， 则不妨随机选取一个答案设该考生会做这道题的概率为8.0 （1）求该考生选出此题正确答案的概率（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率【解】 设 A: 该考生选出此题正确答案 ,B:该生会做此题 ，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

12、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 41)|(, 1)|(,8 . 0)(BAPBAPBP（1）85.0412. 018. 0)|()()|()()()(.)(BAPBPBAPBPBAPABPAP（2）9412.085.08 .0)()()|()|()()(APABPABPABPAPABP五、盒中放有 10个乒乓球，其中有 6 个是新的第一次比赛时从盒中任取2个来用，比赛结束后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取2个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率【解】 设A: 第二次比赛

13、时取出的都是新球,iB: 第一次比赛时取出 i 个新球 ，)|()()|()()|()()()()(.)(221100210BAPBPBAPBPBAPBPABPABPABPAP2074.021024210262102521016142102621024CCCCCCCCCCCCC 4 随机事件的独立性独立试验序列一、填空题 ( 将你认为正确的答案填在题中的横线上)1 两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为9.0和8 .0，则目标被击中的概率为98.02. 设事件 A与 B 独立，7.0)(,4 .0)(BAPAP，则)(BP5 .03. 一射手对同一目标独立地进行4 次射击，

14、假设每次射击命中率相同，若至少命中 1次的概率为8180，则该射手的命中率p32二、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 )【C】1已知 A与 B相互独立，且0)(,0)(BPAP，则下面命题不正确的是)()()(BPABPA)()()(APBAPB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 43 页 - - - - - - - - - - )(1)()(BPAPC)()()()(BPAPABPD【D】2一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废

15、品率为p ，第二道工序的废品率为q ，则该零件加工的成品率为)(Aqp1)(Bpq1)(Cpqqp)(Dpqqp1【D】3某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为)10(pp，则此人 4次射击恰好命中 2次的概率为)(A2)1(3pp)(B2)1(6pp)(C22)1(3pp)(D22)1 (6pp三、一个工人看管三台车床， 在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于1 .0，第二台等于2 .0，第三台等于3. 0求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率【解】 设 A: 一小时内第一台车床需要工人照管, B : 一小时内第二台车床需要工人照管 C : 一小时内第三台车床需要工人

16、照管， D : 一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管，则,3.0)(,2.0)(, 1.0)(CPBPAP)()()()()(CBAPCBAPCBAPCBAPDP)()()()()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAP7. 08.09. 03.08.09. 07.02.09. 07.08. 01. 0902. 0四、电路由电池a与两个并联的电池 b 及c串联而成 设电池cba,损坏的概率分别是2.0,2 .0,3.0，求电路发生间断的概率【解】设1A: 电池 a 损坏 ，2A: 电池 b 损坏 ，3A: 电池 c 损坏 ，B: 电路发生间断 ，则)(

17、)()()()(321321321AAAPAAPAPAAAPBP)()()()()()(321321APAPAPAPAPAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 328.02.02 .03. 02 .02.03 .0五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是7 .0现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率【解】 设 A: 任何一人贡献正确意见 ，则,7.0

18、)(AP于是所求概率为)9()8()7()6()5()5(99999PPPPPmP5 离散随机变量三个重要的离散分布一、填空题 ( 将你认为正确的答案填在题中的横线上)1设离散随机变量X 的概率分布为, 2, 1,25)(kakXPk，则常数a512某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为3的泊松分布， 则该段高速公路每周发生4 次交通事故的概率为168075.0 （取0498.0e3）3自动生产线在调整以后出现废品的概率为)10(pp生产过程中出现废品时立即进行调整则在两次调整之间生产的合格品数X 的概率分布为：二、已知一批产品共 20 个，其中有 4个次品ppq2pqnpq精品资料 -

19、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （）不放回抽样：抽取6 个产品，求样品中次品数的概率分布（）放回抽样：抽取6 个产品，求样品中次品数的概率分布【解】 （1）设随机变量 X 为取出的样本中的次品数， 则)20,4,6( HX，即 X 的概率函数为)4 ,3 ,2, 1 ,0()(6206164xCCCxXPxx从而X的概率分布为X01234)(ixp2066. 04508.02817.00578.00031.0（2）设随机变量 Y 为取出的样

20、本中的次品数, 则)2.0,6( BY, Y 的概率函数为)6,5,4,3,2, 1 ,0()2.01()2 .0()(66yCyYPyyy从而Y的概率分布为Y0123456)(jyp2621.03932.02458.00819. 00154.00015.00001. 0三、一批零件中有 9个合格品与 3个废品安装机器时从这批零件中任取1个如果每次取出的废品不再放回去，设X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，求 X 的概率分布【解】 设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为0,1,2,3 ，43129)0(XP，449119123)1(XP，2209109112123)2

21、(XP，220199101112123)3(XP即X0123)(ixp4344922092201精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 四、电话总机为 300个电话用户服务在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于01.0，求在一小时内有 4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）【解】 （1）设随机变量 X 为一小时内使用电话的用户数，则)01.0,300( BX,168877.0)01.01()01.0()4(2

22、9644300CXP（2）用泊松分布计算)301.0300(np168075.0! 43)4(34eXP相对误差为.5168877.0168075.0168877.00006 随机变量的分布函数连续随机变量的概率密度一、选择填空题 (在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中 )【C】1. 若函数IxIxxxF, 1;,11)(2是某个连续随机变量X的分布函数，则 I)(A)1,()(B), 1()(C)0,()(D),0(【B】2. 若函数IxIxxxf,0;,sin21)(是某个连续随机变量X 的概率密度，则 I)(A2,0)(B,0)(C23,0)(D2,0【A 】3.

23、 设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，若函数)()()(21xbFxaFxF是某随机变量的分布函数，则必有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 43 页 - - - - - - - - - - )(A52,53ba)(B52,53ba)(C23,21ba)(D23,21ba【B 】 4. 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为.,0, 10,3)(2其它xxxf已 知)()(aXPaXP，则a)(A21)(B321)(C31)(D331二、一批零件中

24、有 9个合格品与 3个废品安装机器时从这批零件中任取1个如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数X 的分布函数)(xF，并作出分布函数)(xFy的图形【解】 设随机变量X为在取得合格品以前已取出的废品数，则X可能取值为0,1,2,3 ，43129)0(XP，449119123)1(XP，2209109112123)2(XP，220199101112123)3(XP即X0123)(ixp4344922092201故 X 的分布函数为3, 132,22021921,222110, 430,0)(xxxxxxF其图形见下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

25、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 三、设连续随机变量X 的分布函数为xxBAxF,arctan)(（1）求系数 A及 B （2）求 X 落在区间)1, 1(内的概率 （）求 X 的概率密度【解】 (1) 由0)2()(limBAxFx，12)(limBAxFx，解得.1,21BA即.arctan121)(xxF(2) )1arctan2121()1() 1() 11(FFXP.21)1arctan(2121(3) X 的概率密度为)1(1)()(2xxFxf，),(x四、设随机变量 X

26、 的概率密度为xAexfx,)(（1）求系数 A （2）求 X 落在区间)1,0(内的概率（3）求随机变量 X 的分布函数【解】 (1) 由1)(dxxf，得1220AdxeAdxAexx，解得21A，即有xy12O13精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 43 页 - - - - - - - - - - ).(,21)(xexfx(2) ).11(21)(2121)() 10(101010eedxedxxfXPxx(3) xdxxfxXPxF)()()(，0,210,21)(xe

27、xexfxx，时，0 x;212121)()(xxxxxxedxedxedxxfxF时，0 x.211)(2121)()(00 xxxxxxxedxedxedxedxxfxF 7 均匀分布指数分布随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔 5分钟有一辆汽车通过乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的求乘客候车时间不超过3分钟的概率【解】 设随机变量 X 表示乘客的候车时间，则)5,0( UX，其密度函数为5,0, 05,0, 51)(xxxf于是有.6.053)()30(30dxxfXP二、已知某种电子元件的使用寿命X （单位： h）服从指数分布，概率密度为.0, 0, 0,8001)(800 xxe

28、xfx任取 3个这种电子元件，求至少有1个能使用 1000 h 以上的概率【解】 设A“至少有个电子元件能使用1000h 以上” ；321A、A、A分别表示甲、乙、丙元件能使用1000h以上则,8001)1000()()()(4510008001000800321eedxeXPAPAPAPxx由加法公式及321,AAA的独立性有)()(321AAAPAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 43 页 - - - - - - - - - - )()()()()()()(3213132

29、21321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP638.0334152545eee【另解】 设A“3 个电子元件中至少有个能使用1000h以上” ，A“3 个电子元件中每个都不能使用1000h以上” ，任一元件不能使用1000 以上的概率为，45100008001000080018001)1000(eedxeXPxx故.638.0)1 (1)1000(1)(3453eXPAP三. 设随机变量 X 服从二项分布)4.0, 3(B，求下列随机变量函数的概率分布：（1）XY211；（2）2)3(2XXY【解】)4.0 ,3( BX, 其概率函数为)3,2, 1 ,0()4.01 ()4.0()(33

30、xCxXPxxxX的概率分布为X0123)(ixp216.0432. 0288. 0064. 0（1）XY211的概率分布为1Y1135)(iyp216.0432. 0288. 0064. 0即1Y5311)(iyp064.0288. 0432. 0216. 0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （2）2)3(2XXY的概率分布为2Y0110)(jyp216.0432. 0288. 0064. 0即2Y01)(jyp28. 072

31、.0四、设随机变量 X 的概率密度为. 0, 0; 0,e)(xxxfxX求随机变量XYe的概率密度)(yfY【解】 对任意实数 y ，Y 的分布函数)(ln)ln()()()(yFyXPyePyYPyFXxY所以随机变量函数XYln的概率密度为yyfyFdydyfXXY1)(ln)(ln()(，即)(1)(2yyyfY. 8 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量 Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(YX的联合概率分布及Y 的边缘概率发布【解】 X 的可能取值，6,2 ,1iY 的可能取值，6,2, 1j精

32、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 43 页 - - - - - - - - - - ji时，0),(),(jYiXPjip；1x时，)6,2, 1( ,3616161), 1(), 1(jjYXPjp；2x时，,3626261)2,2()2, 2(YXPp)6 ,5 ,4, 3( ,3616161), 2(), 2(jjYXPjp；3x时，,3636361)3, 3()3 , 3(YXPp)6, 5, 4( ,3616161), 3(), 3(jjYXPjp；6x时，；36666

33、61)6, 6()6 ,6(YXPp二维随机变量),(YX的联合概率分布为YX123456136136136136136136120362361361361361300363361361361400036436136150000365361600000366Y的边缘概率分布为Y123456)(jYyP3613633653673693611精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 二、设二维随机变量),(YX的联合分布函数)3arctan

34、)(2arctan(),(yCxBAyxF（1）求系数CBA, （2）求),(YX的联合概率密度（3）求YX ,的边缘分布函数及边缘概率密度【解】 （1）由0)0,(,0),0(,1),(FFF，得0)2(0)2)(0(1)2)(2(BACCBACBA解得2CB，.12A（2）因为)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF，所以（X，Y）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222yxyxFyxfxy（3） X 及 Y 的边缘分布函数分别为dyyxfdxxFxFxX),(),()(xdxx)4(22xx2arctan12arctan121x，)22(2arctan21)

35、,()(2xxFxFX）（或yxyYydyydxyxfdyyFyF3arctan1)9(3),(),()(23arctan121y，),()(yFyFY或)3arctan2)(2212）（yX 及 Y 的边缘概率密度分别为0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dyyxdyyxdyyxfxfX)4(2)3arctan31()4(1122022xyx（或)()(xFdxdxfXX）022222241)9(12)9)(4(6),()(dxxydxyxdxyxfyfY精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

36、- - - - -第 17 页，共 43 页 - - - - - - - - - - )9(3)2arctan21()9(122022yxy（或)()(xFdydxfYY）三、设),(YX的联合概率密度为.,00;0,e),()32(其它yxAyxfyx（1）求系数 A （2）求),(YX的联合分布函数（3）求YX,的边缘概率密度【解】 （1）由1),(dydxyxf，有1610032AdyedxeAyx，解得. 6A（2）),(YX的联合分布函数为其它00,06),(),(0032yxdyedxedyyxfdxyxFxyyxxy其它00,0)1)(1(32yxeeyx（3） X 及 Y 的边

37、缘概率密度分别为，00020006),()(2032xxexxdyeedyyxfxfxyxX，00030006),()(3032yyexxdxeedxyxfyfyyxY四、设二维随机变量),(YX在抛物线2xy与直线2xy所围成的区域 R上服从均匀分布（1）求),(YX的联合概率密度（2）求概率)2(YXP【解】 (1) 设),(YX的联合概率密度为.),(,0;),(,),(RyxRyxCyxf则由212221)2(2dxxxCdydxCCdxdyxxR129)322(2132CxxxC解得92C故有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

38、纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 43 页 - - - - - - - - - - .),(,0;),(,92),(RyxRyxyxf(2) xxxxyxdydxdydxdxdyyxfYXP2212210229292),()2(21210)2(92292dxxxxdx2713)322(92922132102xxxx 9 随机变量的独立性二维随机变量函数的分布一、已知二维随机变量),(YX的联合概率密度为.,0;0,0,e3),(3其它yxyxfyx试问随机变量 X 和Y 是否独立请说明理由【解】，0000003),()(03xxexxdyeedyyxfxfxyxX，0

39、0030003),()(303yyexxdxeedxyxfyfyyxY)()(),(yfxfyxfYX, 故随机变量 X 和Y 独立.二、设 X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在 1,0上服从均匀分布， Y 的概率密度为0.,0,0,e21)(2yyyfyY(1) 求),(YX的联合概率密度（2）求概率)(XYP【解】(1) X 的概率密度为 1,0,0 1,0, 1)(xxxfX，),(YX的联合概率密度为 （注意YX ,相互独立）其它,00,10,21)()(),(2yxeyfxfyxfyYX精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

40、纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 43 页 - - - - - - - - - - （2）dxedxedyedxdxdyyxfXYPxxyxyxy1021022102)(21),()(7869.0)1(22211022eex三、设随机变量 X 与Y 独立，且YX ,的概率密度分别为，.0,0;0,e)(xxxfxX.0,0;0,2e)(2yyyfyY求随机变量YXZ的概率密度【解】 X 的概率密度为 1 ,0,0 1 ,0, 1)(xxyfX，由YX,独立，故YXZ的概率密度dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY，令txz， 则zzYZdttfzf1

41、)()(1)0z时, 0)(zfZ；(2)10z时，)0110(zz且即01)()(zYZdttfzfzYdttf0)(010zdtztdt0221z；(3) 21z时，)11021(zz且即11)()(zYZdttfzfzYdttf1)(11ztdtzdtt0)2(2332zz；(4) 32z时，)2112(zz且即21)()(zYZdttfzfzYdttf2)(21)2(zdttzdt00293212zz；(5) 3z时，)21(z即,0)(zfZ.综上有 Z 的密度函数为其它,032,2932121,233, 10,21)(222zzzzzzzzzfZ.精品资料 - - - 欢迎下载 -

42、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 四、假设一电路装有三个相同的电子元件，各元件工作状态相互独立且它们无故障工作时间都服从参数为0的指数分布已知三个元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作 试求该电路正常工作时间T 的概率分布【解】 由题设，知ijX的分布函数为0,00,1xxeFxXij先求各个并联组的使用寿命)3 ,2, 1(iYi的分布函数 . 因为当并联的两个部件都损坏时 , 第i个并联组才停止工作 , 所以有)3,2, 1(),max (21

43、iXXYiii从而有)3, 2, 1(iYi的分布函数为0,00,)1()(221yyeFFyFyXXYiii设随机变量 Z 表示仪器使用寿命，因为当三个并联组中任一个损坏时, 仪器停止工作 . 所以有),min(321YYYZ. 从而有 Z 的分布函数为0, 00,)1(110, 00),(1)(1)(11)(32321zzezzzFzFzFzFzYYYZ故 Z 的概率密度为.0,00,)2)(1 (6)(23zzeeezfzzzZ 10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有 9个合格品与 3个废品安装机器时从这批零件中任取一个 如果取出的废品不再放回去， 求在取得合格品以前已取出的废品

44、数的数学期望、方差与标准差【解】 设随机变量X 为取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为3 ,2 ,1 ,0，11L21L12L22L13L23L精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 43 页 - - - - - - - - - - ，43129)0(XP，449119123)1(XP，2209109112123)2(XP，220199101112123)3(XP即有X0123)(ixp4344922092201故3.022013220924491430)(XE2X 的分

45、布为2X0149p4344922092201故,4091.022922019220944491430)(2XE从而有,3191. 03. 0229)()()(222）（XEXEXD.565.03191.0)()(XDX二、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年为单位）服从参数为25.0的指数分布工厂规定， 出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换若工厂售出一台设备赢利 1000元，调换一台设备厂方需花费3000元试求厂方出售一台设备的平均净赢利【解】 由题设，概率密度为.0,0;0,41)(4 xxexfx则104110441141)() 1(eedxedxxfXPxx进而有.)1(1)1(41

46、eXPXP设Y 表示厂方出售一台设备获得的净赢利，则Y 的概率分布为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 43 页 - - - - - - - - - - Y20001000p411e41e从而有4 .336200030001000)1(2000)(414141eeeYE厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为4 .336元三、设随机变量 X 的概率密度为.1,0; 1,11)(2xxxxf求 X 的数学期望)(XE与方差)(XD【解】011)()(112dxxxdxxxfXEdxxx

47、dxxxdxxfxXD1022112221211)()(.21arcsin21122102xxx四、设随机变量 X 的概率密度为,21)(xexfx，求 X 的数学期望)(XE与方差)(XD【解】021)()(dxxedxxxfXEx2! 2)3(21)()(0222dxexdxexdxxfxXDxx（亦可分部积分计算） 11 随机变量函数的数学期望关于数学期望与方差的定理精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 一、设随机变量 X 服

48、从二项分布)4.0,3(B，求2)3(XXY的数学期望与方差【解】 X 的概率分布为X0123p216.0432. 0288. 0064. 0Y 的概率分布为Y0110p216.0432. 0288. 0064. 0即Y01p28. 072. 02Y 的分布为2Y01p28. 072. 0于是有72.072.0128.00)(YE72.072.0128.00)(2YE2016.0)72.0(72.0)()()(222YEYEYD二、设随机变量 X 的概率密度为,0,0;0,21)(2xxexfx求随机变量XY的数学期望与方差【解】22)()()(22YEYEYD22)21(212)23(222

49、1)()(0202dueudxexdxxfxYEuxux2)2(2221)()(02022dueudxexdxxxfYEuxux三、游客乘电梯从电视塔底层到电视塔顶层观光电梯于每个整点的第20分钟精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 43 页 - - - - - - - - - - 从底层起行假设一游客在上午八点的第X 分钟到达底层候梯处， 且 X 在60,0上均匀分布，记 Y 为该游客的等候时间（1）写出 Y 与 X 的函数关系（2）不求Y 的概率分布，直接利用（1）的结果求游客

50、的等候时间的期望【解】 （1）其他,0600,601)(xxf，6020,80200,20YxXxX（2）dxxdxxdxxfxgYE6020200601)80(601)20()()()(dxxdxdx60060206006016016060120=30四、设随机变量nXXX,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为，方差为2求这些随机变量的算术平均值niiXnX11的数学期望与方差【解】因为)(iXE，2)(iXD，且随机变量nXXX,21相互独立所以有nXEnXEnXnEXEniniiniinii11111)(1)(1)1()(，nnXDnXDnXnDXDniniiniinii21221