2022年概率例题.pdf

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1、第四章41例 1 设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量假如有历史记录可得它们分别有下面的分布律（其中0 表示脱靶）例 2 将 3 个球随机地放入3 个盒子中去，球与盒子均可区分， 以 X 表示空盒子数目， 求 E (X)例 3 分组验血：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血，可以有两种方法进行 （1）将每个人的血分别去验，这就需要N 次 （2）按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明 k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人得血就只需验一次若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验这样，k

2、个人的血总共要化验k+1 次假如每个人化验呈阳性的概率为p 且这些人的试验反应是相互独立的试说明当p 较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数并说明k 取什么值时最适宜例 4 设随机变量X 的密度函数为求 E（X）例 5 如何确定投资决策方向某人有 10 万元现金， 想投资于某项目，预估成功的机会为30%，可得利润8 万元， 失败的机会为 70%，将损失2 万元若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资例 6 设随机变量的分布律为例 7 设随机变量 (X,Y)的联合概率密度例 8例 9 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位：吨） ，它服从Xp1022

3、.03.05.0其它,021,210,)(xxxxxf)1(2XXE求3231,12( , )0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求数学期望。,X Y设二维随机变量的联合分布律为01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求随机变量的数学期望。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 2000,4000 上的均匀分布设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3 千元，但如果销售不出二积压于仓库，则

4、每吨需花费保养及其它各种损失费用1 千元，问需要组织多少货源，才能使国家的收益期望最大例设 ( X , Y ) 的分布律为42例 1 设 X为掷一颗骰子出现的点数，试求D(X)例 2：设随机变量X具有数学期望例 3例 443例 1例 2XY1231012 .01 .01 .01.01.01. 0003. 0.)(,)(),(),(:2YXEXYEYEXE求. ),()(,.10,2010互独立并设各旅客是否下车相可能的下车是等设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以客下车就不停车如到达一个车站没有旅车站可以下车个旅客有位旅客自机场开出一机场班车载有例XEX2*()0XD XX方差，记*()0()

5、1E XD XXX证明：，称为的标准化变量101023)4,60(),1 ,50(ZPYXZYXNYNX求，独立，记与，设.,.,),04.0,50.22(),03.0,40.22()cm(22的概率求活塞能装入气缸任取一只气缸任取一只活塞相互独立气缸的直径计以设活塞的直径YXNYNX|)3(|;|)2() 1()4,2(,5YXDYXEYXNYX的分布，试求：独立同分布设例.),(),(222121相关系数的与试求设YXNYX.23,21),4,0(),3, 1(,22YXZNNYXXY设分别服从已知随机变量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

6、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 3 设随机变量 (X,Y)具有概率密度求第五章51概率论与数理统计我们介绍 均值法， 步骤是1) 产生在 (0,1)上均匀分布的随机数rn,2) 计算 g(rn)， n=1,2,Nn=1,2,N即IrgNINnn1)(13) 用平均值近似积分值求的值10)(dxxgI例 1 设有一大批种子，其中良种占1 /6. 试估计在任选的6000 粒种子中 , 良种所占比例与 1/6 比较上下小于1%的概率 .例 2 设每次试验中，事件A 发生的概率为, 试用Chebyshev 不等式估

7、计 , n 多大时 , 才能在n次独立重复试验中, 事件A 出现的频率在 之间的概率大于52例 1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为 2 , 均方差为 . 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求 100 次轰击(1) 至少命中 180 发炮弹的概率 ;(2) 命中的炮弹数不到200 发的概率 .例 2.105,) 1, 0(, )20, 2, 1(20201的近似值求记上服从均匀分布且都在区间机变量设它们是相互独立的随个噪声电压一加法器同时收到VPVVkVkkk012),(2yyxf其它10 xyXYYXCovYEXE),(),(),(精品资料

8、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 3 某保险公司的老年人寿保险有1 万人参加 ,每人每年交200 元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1 万元 . 设老年人死亡率为,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.例 4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为，. 若学校共有400 名学生 , 设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1)

9、求参加会议的家长数X 超过450 的概率 ; (2) 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于340 的概率 .例 5 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令 X 是出售了100 份报时过路人的数目，求P (280 X 320).例 6检验员逐个检查某产品,每查一个需用10 秒钟 . 但有的产品需重复检查一次，再用去 10 秒钟 . 若产品需重复检查的概率为, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率 .例 7 某车间有 200 台车床，每台独立工作，开工率为. 开工时每台耗电量为r 千瓦 . 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以% 的概率保

10、证这个车间不会因供电不足而影响生产例 8 设有一批种子， 其中良种占1/6. 试估计在任选的6000 粒种子中， 良种比例与1/6 比较上下不超过1%的概率 .例 9第四、五章习题例 1).()(, 2,1,)1(,1XDXEkppkXPXk和求它的分布律为服从几何分布设例 2 从数字 0, 1, 2, , n 中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 例 3.,1,), 2, 1() 1, 1(,1221并指出其分布参数正态分布近似服从随机变量充分大时证当试上服从均匀分布在区间且相互独立设随机变量nininiXnZnniXXXX, 10,) 3(.) 1(),()2().

11、2ln(),(125124123620) 1(1xxXXEXXEXEpXXk的概率密度为设随机变量求设求的分布律为设随机变量精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 4例 5例 6例 7 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数, 设所有误差相互独立且在( , 上服从均匀分布. (1) 将 1500 个数相加 , 问误差总和的绝对值超过15 的概率是多少(2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10 的概率不小于例

12、8 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3. 令 X 是出售了100 份报时过路人的数目，求P (280 X 320).例 9 有一批建筑房屋用的木柱, 其中80% 的长度不小于3m, 现从这批木柱中随机地取100 根, 求其中至少有30 根短于3m 的概率 .例 10.),(,0,20,10),21(76),(),(2数的协方差矩阵及相关系求其他函数为的联合密度设二维连续型随机变量YXyxxyxyxfYX.,22的数学期望求正态分布且都服从标准相互独立和设随机变量YXZYX., 0, 10,2)(., 0, 10,3)(,00:1300:122时间的数学期望求先到达者

13、需要等待的其他其他的概率密度分别为已知立相互独和且设间分别是甲、乙到达的时设会面在甲、乙两人相约于某地yyyfxxxfYXYXYXYX.30)2(;5040)1 (9.,5,的概率人多于人人个月内接受的患者求一年中前相互独立接受破伤风患者的人数各月的泊松分布它服从参数个随机变量风患者的人数是一某医院一个月接受破伤精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 第一章例 3 化简事件例 1 小王参加某智力游戏节目, 他能答出甲、乙二类问题的概率分

14、别为和, 两类问题都能答出的概率为. 求小王(1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率(2) 至少有一类问题能答出的概率(3) 两类问题都答不出的概率例 1 中小王他能答出第一类问题的概率为, 答出第二类问题的概率为, 两类问题都能答出的概率为. 为什么不是 * 例 2设 A , B 满足P ( A ) = , P ( B ) = , 在何条件下， P(AB) 取得最大 (小)值最大 (小)值是多少例 1 （分房模型） 设有k 个不同的球 , 每个球等可能地落入N 个盒子中（ k=N ）, 设每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率（1）某指定的k 个盒子中各有一球；（2）某指定的一个盒子恰有m 个

15、球 ( m=k )（3）某指定的一个盒子没有球；（4）恰有 k 个盒子中各有一球；（5）至少有两个球在同一盒子中；（6）每个盒子至多有一个球.例 5 “ 分房模型 ” 的应用生物系二年级有n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率 .例 2袋中有 a 只白球， b 只红球，从袋中按不放回与放回两种方式取m 个球（ m=a+b),求其中恰有k 个 （k=a,k=2)个数 , 求 n 个数字的乘积能被10 整除的概率 .例 5 在 12000 的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6 整除 , 又不能被 8整除的概率是多少例 6 某接待站在某一周曾接待过12 次来访 ,已知所有这

16、12 次接待都是在周二和周四进行的 ,问是否可以推断接待时间是有规定的ACCBA)(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 8 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率例 9 (会面问题 )甲、乙两人相约在0 到 T 这段时间内 , 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人 , 经过时间t ( tT ) 后离去 .设每人在0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的 , 且两人到

17、达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.例 9 甲 、乙两人相约在0 到T 这段时间内 , 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间t ( tT ) 后离去 .设每人在0 到 T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连. 求甲、乙两人能会面的概率.例 10 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率 .例将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中去,这 15名新生中有3名是优秀生 .问 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多

18、少(2) 3 名优秀生分配在同一个班级的概率是多少例 1 一盒子装有4 只产品 , 其中有 3 只一等品、 1 只二等品 . 从中取产品两次, 每次任取一只 , 作不放回抽样. 设事件 A 为“ 第一次取到的是一等品” 、事件 B 为“ 第二次取到的是一等品 ” 试求条件概率P(B| A).例 1 一盒子装有4 只产品 , 其中有 3 只一等品、 1 只二等品 . 从中取产品两次, 每次任取一只 , 作不放回抽样. 设事件 A 为“ 第一次取到的是一等品” 、事件 B 为“ 第二次取到的是一等品 ” 试求条件概率P(B| A).例 3某厂生产的灯泡能用1000 小时的概率为 , 能用 1500

19、 小时的概率为, 求已用 1000小时的灯泡能用到1500 小时的概率 .例 4从混有 5 张假钞的20 张百元钞票中任意抽出2 张, 将其中 1 张放到验钞机上检验发现是假钞 . 求 2 张都是假钞的概率.例 5盒中装有5 个产品 , 其中 3 个一等品， 2 个二等品 , 从中不放回地取产品, 每次 1 个, 求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率例 6 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打

20、破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 7 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30% ，二厂生产的占50% ，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少例 8 每 100 件产品为一批 , 已知每批产品中次品数不超过4 件, 每批产品中有i 件

21、次品的概率为i 0 1 2 3 4 P 从每批产品中不放回地取10 件进行检验 ,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格,否则就认为这批产品合格. 求(1) 一批产品通过检验的概率;(2) 通过检验的产品中恰有i 件次品的概率 .例 9例 10（选择题的合理性）现在几乎所有的考试试卷中，都会有选择题一般地，每个选择题有 4 个答案， 其中只有1 个是正确的 当学生不会做时可以随机猜测，假如一个学生会做题与不会做题的概率相等现在从卷面上看该题答对了，求此学生确实会做该题的概率例 11例 1 已知袋中有5 只红球 , 3 只白球 .从袋中有放回地取球两次,每次取 1 球 .设第i 次取得白球为事

22、件Ai( i =1, 2 ) .求例 3 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色， 第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，问A，B，C 是否相互独立例4已知事件A, B, C相互独立,证明事件).(,005.0)(,005.0,.95.0)(,95.0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求即的概率为设被试验的人患有癌症进行普查现在对自然人群有则有癌症”表示事件“被诊断者患以为阳性”表示事件“试验反应若以验具有如下的效果某种诊断癌症的试根据以往的临床记录?,.%95,.%55,%98,概率是多少机

23、器调整得良好的品时早上第一件产品是合格试求已知某日机器调整良好的概率为时每天早上机器开动其合格率为种故障时而当机器发生某产品的合格率为良好时当机器调整得明对以往数据分析结果表,)(,)(21APAP, )(12AAP, )(12AAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 5 同时抛掷一对骰子,共抛两次 ,求两次所得点数分别为7 与 11 的概率 .例 7 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为, , , 飞机被一

24、人击中而被击落的概率为,被两人击中而被击落的概率为, 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.例 8 要验收一批 (100 件)乐器 .验收方案如下 :自该批乐器中随机地取3 件测试 (设 3 件乐器的测试是相互独立的),如果 3 件中至少有一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收 .设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为;而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为.如果已知这100 件乐器中恰有4 件是音色不纯的.试问这批乐器被接收的概率是多少例 3 设随机变量X的分布函数为试求常数 A，B例 4 一个靶子是半径为2m 的圆盘 ,设击中靶上任一同心圆盘上的点

25、的概率与该圆盘的面积成正比 ,并设射击都能中靶,以 X表示弹着点与圆心的距离。试求随机变量X 的分布函数第二章例 1 从 110 这 10 个数字中随机取出5 个数字，令 X 表示取出的5 个数字中的最大值 试求 X 的分布律例 2例 3Xkp321412141与CB也相互独立A., )21(,互独立设各局胜负相利还是采用五局三胜制有有利采用三局二胜制问对甲而言概率为每局甲胜的比赛甲、乙两人进行乒乓球pp4例xBarctgxAxF.),(,.,的分布律求相互独立的设各组信号灯的工作是号灯的组数它已通过的信表示汽车首次停下时以车通过的概率禁止汽每组信号灯以组信号灯的道路上需经过四设一汽车在开往目

26、的地XXp的分布律为设随机变量X精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例设某人进行射击，每次的命中率为，现独立射击10 次，问：（1）命中 3 枪的概率是多少（2）至多命中3 枪的概率是多少例 5 一根布条上的疵点数X服从参数为的泊松分布，试求：(1) 此棉条上有2 个疵点的概率是多少(2) 此棉条上至少有2 个疵点的概率是多少例 6 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车 ,在一天的某段时间内出事故的概率为 ,在每天的该

27、段时间内有1000 辆汽车通过 ,问出事故的次数不小于2 的概率是多少例 8 设有 80 台同类型设备 ,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一是由四人维护,每人负责 20 台; 其二是由 3 人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.实例设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查, 直到第一次抽到一只次品为止( 在此之前抽到的全是正品), 那么所抽到的产品数X 是一个随机变量, 求 X 的分布律 .例 1.271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)(XPXkx

28、xxkxxfX求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设例例 3 设电阻值R 是一个随机变量，均匀分布在900 1100 求R 的概率密度及R 落在 950 1050 的概率例 4 设随机变量X 在 2, 5 上服从均匀分布, 现对 X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3 的概率 .例.32,2523,21,XPXPXPX并求的分布函数求5.0.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin,0)(的概率密度随机变量的值系数求的分布函数为设连续型随机变量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX80)2(.89,90) 1().5.0,(,)(,.o2oo的概率不至少为若

29、要求保持液体的温度的概率小于求若且是一个随机变量计以液体的温度调节器整定在容器内贮存着某种液体的将一温度调节器放置在CXddNXCXCd精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例例例例.32.0,e,0, 0)(232的概率密度和求随机变量的概率密度为设随机变量XYXYxxxxfXxX.)3();()2(;) 1(.,e)(2的概率密度求的分布函数求求系数的概率密度为已知随机变量XYxFXAxAxfXx.,21 2.2, 21,32,

30、 11, 1, 0)(的分布律并求试确定常数且的分布函数为设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX.2100,cm182)2(?01.0,) 1()cm:()6,170(2的概率顶碰头的人数不多于个成年男子与车门求若车门高为车门顶碰头的几率小于使男子与车门的高度问应如何设计公共汽车单位高设某城市成年男子的身NX精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -