2022年概率论与数理统计习题及答案第七章.pdf

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1、习题 7-1 1. 选择题(1) 设总体X的均值与方差2都存在但未知, 而12,nXXXL为来自X的样本 , 则均值与方差2的矩估计量分别是( ) . (A) X和S2. (B) X和211()niiXn.(C) 和2. (D) X和211()niiXXn.解选(D).(2) 设0,XU:, 其中0为未知参数 , 又12,nXXXL为来自总体X的样本 , 则的矩估计量是( ) . (A) X. (B) 2X. (C) 1maxiinX . (D) 1miniinX .解选(B).2. 设总体X的分布律为X-215P314其中 0为未知参数 , X1, X2, , Xn为来自总体X的样本 , 试

2、求的矩估计量 . 解因为E(X)=(- 2)3+1(1 -4)+5=1-5, 令 15X得到的矩估计量为?15X.3. 设总体X的概率密度为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - (1),01,( ;)0,xxf x其它.其中-1 是未知参数 , X1,X2,Xn 是来自X的容量为n的简单随机样本, 求: (1) 的矩估计量；(2) 的极大似然估计量.解总体X 的数学期望为1101()( )d(1)d2E Xxf xxxx.令()E XX

3、, 即12X, 得参数的矩估计量为21?1XX.设x1, x2, x n是相应于样本X1, X2, , X n的一组观测值, 则似然函数为1(1),01,0,nniiixxL其它 .当 0 xi0且niixnL1ln)1ln(ln,令1dlnlnd1niiLnx=0, 得的极大似然估计值为1?1lnniinx,而的极大似然估计量为1?1lnniinX.4. 设总体X服从参数为的指数分布 , 即X的概率密度为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - -

4、- - e,0,( ,)0,0,xxfxx其中0为未知参数 , X1, X2, , Xn为来自总体X的样本 , 试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量. 解因为E(X)=1 =X, 所以的矩估计量为1?X. 设x1, x2, x n是相应于样本X1, X2, ,X n的一组观测值 , 则似然函数11niiinxxnniLee,取对数1lnln()niiLnx.令1d ln0,dniiLnx得的极大似然估计值为1?x,的极大似然估计量为1?X.5. 设总体X的概率密度为,01( , )1,120,xf xx， ，其它,其中（01）是未知参数 . X1, X2, , Xn为来自总体的简单随机样本,

5、 记N为样本值12,nx xxL中小于 1 的个数 . 求: (1) 的矩估计量 ; (2)的极大似然估计量. 解(1) 12013()d(1)d2XE Xxxxx, 所以32X矩. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - (2) 设样本12,nx xxL按照从小到大为序( 即顺序统计量的观测值) 有如下关系 :x(1) x(2) x(N)1 x(N+1) x(N+2)x(n) .似然函数为(1)(2)()(1)(2)(1),1( )0,

6、Nn NNNNnxxxxxxLLL其它.考虑似然函数非零部分, 得到ln L( ) = N ln + (n -N) ln(1- ),令d ln( )0d1LNnN, 解得的极大似然估计值为?Nn.习题 7-2 1. 选 择 题 : 设 总 体X的 均 值与 方 差2都 存 在 但 未 知 , 而12,nXXXL为X的样本 , 则无论总体X服从什么分布 , ( )是和2的无偏估计量.(A) 11niiXn和211()niiXXn. (B) 111niiXn和211()1niiXXn.(C) 111niiXn和211()1niiXn. (D) 11niiXn和211()niiXn.解选(D).2.

7、若1X,2X,3X为 来 自 总 体2(,)XN:的 样 本 , 且Y1231134XXkX为的无偏估计量 , 问k等于多少解要求1231111()3434EXXkXk, 解之 , k=512.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3. 设总体X的均值为0, 方差2存在但未知 , 又12,XX为来自总体X的样本 , 试证：2121()2XX为2的无偏估计 . 证因为22212112211() (2)22EXXEXX XX22221122

8、12()2()()22E XE X XE X,所以2121()2XX为2的无偏估计 .习题 7-3 1. 选择题(1)总体未知参数的置信水平为的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95% 的值 . (B) 区间平均含样本95% 的值 . (C) 未知参数有 95% 的可靠程度落入此区间. (D) 区间有 95% 的可靠程度含参数的真值 .解选(D).(2) 对于置信水平1-(01), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.(B) 如果越小 , 则可靠程度越高, 精确程度越低 .(C) 如果

9、1-越小 , 则可靠程度越高, 精确程度越低 .(D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而 1-越小 .解选（ C）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 习题 7-4 1. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9 只进行寿命测试, 取得数据如下 ( 单位 : 小时 ):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200设灯泡寿命服从正态分布N(, 902), 取置信度为 , 试求当

10、天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间. 解计算得到1141.11,x2=902. 对于 = , 查表可得/ 20.0251.96zz.所求置信区间为/ 2/ 2(,)9090(1141.111.96,1141.111.96)99(1082.31,1199.91).xxnnzz2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40 名旅游者 , 算得平均消费额为105x元 , 样本标准差28s元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间. 解计算可得105,xs2=282. 对于 = , 查表可得0.0252(1)(39)2.0227tnt.所求的置信区间为2

11、22828(1),(1)(1052.0227, 1052.0227)4040ssxtnxtnnn=, .3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8 支为一组样本 , 测得其尼古丁平均含量为毫克, 样本标准差s=毫克 . 试求此种精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为的置信区间解已知n=8, s2=, = , 查表可得220.0052(1)(7)20.278n, 220.9951

12、2(1)(7)0.989n, 所以方差 2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn22(81)2.4(81)2.4(,)20.2780.989=, .4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X1,X2, ,X12及Y1,Y2, ,Y17, 算出221210.6g,9.5g,2.4,4.7xyss. 假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为12,. 又设两总体方差2212. 求12置信水平为的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义. 解由题设22121210.6,9.5,2.4,4.7,12,17,

13、xyssnn2222112212(1)(1)(121)2.4(171)4.71.94212172wnsnssnn120.0252(2)(27)2.05181,tnnt所求置信区间为121221111()(2)(10.69.5)2.05181 1.94)1217wxytnnsnn=,.结论“21的置信水平为的置信区间是 , ”的实际意义是：在两总体方差相等时 , 第一个正态总体的均值1比第二个正态总体均值2大，此结论的可靠性达到95%.5. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了 100 户, 得出每户月精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

14、名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 平均需求量为10 公斤 , 方差为 9 . 如果这种商品供应10000 户, 取置信水平为.(1) 取置信度为 , 试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计;(2) 问最少要准备多少这种商品才能以99% 的概率满足需要解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为2222(1),(1)()99(102.575,102.575)(9.2275,10.7725).100100,ssssxtnxtnxzxznnnn10000 户居民对此种商品月需求量的置信度为的置信区间为(92275,107725)；（2）最少要准备92275 公斤商品才能以99% 的概率满足需要.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -