2022年概率论与数理统计复习要点知识点doc.pdf

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1、第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一 . 随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C, 表示；必然事件就等于样本空间；不可能事件()是不包含任何样本点的空集；基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系：AB，事件 A发生必有事件 B发生；等价关系：AB， 事件 A发生必有事件 B发生，且事件 B发生必有事件 A 发生；互不相容（互斥）：AB，事件 A与事件 B一定不会同时发生。互逆关系（对立）：A，事件A发生事件 A 必不发生，反之也

2、成立；互逆满足AAAA注：互不相容和对立的关系 （对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3. 事件的三大运算事件的并：AB，事件A 与事件B 至少有一个发生。若AB，则ABAB；事件的交：ABAB或，事件 A与事件 B都发生；事件的差：-A B，事件 A发生且事件 B不发生。4. 事件的运算规律交换律：,ABBA ABBA结合律：()(), ()()ABCABCABCABC分配律：()()(),()()()ABCABACABCABAC德摩根（ De Morgan）定律：,ABABABAB对于 n 个事件，有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

3、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1111,nniiiinniiiiAAAA二、随机事件的概率定义和性质1公理化定义 ：设试验的样本空间为，对于任一随机事件),( AA都有确定的实值 P(A)，满足下列性质：(1) 非负性：; 0)( AP(2) 规范性：; 1)(P(3) 有限可加性 ( 概率加法公式 ) ：对于 k 个互不相容事件kAAA,21，有kiikiiAPAP11)()(. 则称 P(A)为随机事件 A的概率 . 2概率的性质()1,()0PP()1()P AP A若AB，则()(

4、),()( )( )P AP BP BAP BP A且()( )( )()P ABP AP BP AB()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC注：性质的逆命题不一定成立的. 如若),()(BPAP则BA。 （）若0)(AP，则A。 （）三、古典概型的概率计算古典概型 ：若随机试验满足两个条件： 只有有限个样本点 , 每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,()kP An。典型例题： 设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1) 在放回抽样的方式下 , 取出的 n 件样品中恰好有 m件次品（不妨设事件A

5、1）的概率为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - .)()(1nmnmmnNMNMCAP(2) 在不放回抽样的方式下 , 取出的 n 件样品中恰好有 m件次品（不妨设事件 A2）的概率为nNmnMNmMmnAAACAP)(2.nNmnMNmMCCC四、条件概率及其三大公式1. 条件概率：()()(|),(|)()()P ABP ABP B AP A BP AP B2. 乘法公式：1212131211()( )(|)()(|)()()(

6、|)(|)(|)nnnP ABP A P BAP B P A BP A AAP A P AA P AA AP AAA4. 全概率公式：若12,nniijiBBBBB Bij满足，则1()()(|)niiiP AP BP A B。5. 贝 叶 斯 公 式 ： 若 事 件12,nB BBA和如 全 概 率 公 式 所 述 ， 且( A )0P，1()(|)(|)() (|)iiiniiiP B P A BP BAP BP A B则 . 五、事件的独立1. 定义：()() ( ),P ABP A P B若则称A,B独立 . 推广：若12,nA AA 相互独立，11()()()nnP AAP AP A

7、2. 在,A BA BA BA B四对事件中， 只要有一对独立， 则其余三对也独立。3. 三个事件 A, B, C两两独立：()( ) ( )()( ) ( )()() ( )P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C注：n 个事件的两两独立与相互独立的区别。 （相互独立两两独立，反之不成立。 ）4. 伯努利概型：( ),0,1,2, ,1.kkn knnP kC p qkn qp练习：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - -

8、 - - - 一、判断正误1. 事件的对立与互不相容是等价的。 （X）2. 若()0,P A则A。 （X）3.( )0.1,( )0.5,()0.05P AP BP AB若则。 (X) 4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABCABCABC。( ) 5. n 个事件若满足, ,()()()ijijij P A AP A P A，则 n 个事件相互独立。 (X) 6. 当AB时，有 P(B-A)=P(B)-P(A) 。 （）二、选择题1设 A, B 为两事件，则 P(A-B) 等于 ( C ) A. P(A)-P(B) B. P(A)-P(B)+P(AB) C. P(A)-P(AB) D

9、. P(A)+P(B)-P(AB) 2以 A表示事件“甲种产品畅销， 乙种产品滞销”， 则其对立事件A为 ( D ) A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销” D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”3若 A, B 为两随机事件，且BA，则下列式子正确的是 ( A ) A. P(AB)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) 4设(),( ),()P ABa P Ab P Bc，则()P AB 等于 ( B ) A. ()ac c B. 1ac C. abc D. (1)b c三、解答

10、题1.;,)2(;,)1 (,8 .0)(,5 .0)(相互独立不相容在下列情况下已知BABABAPAP.)3(BA).(BP求解：(1) 因为A，B不相容，有)()()(BPAPBAP所以3 .05 .08.0)()()(APBAPBP(2) 因为 A，B独立，所以)(5.05.08.0)()()()()(BPBPAPAPBAPBP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - .6.0)(BPBBABA所以因为,) 3(,8.0)()(BA

11、PBP2. 已知()0.1,()0.4,P AP B且(|)0.2,P A B求()P AB的值. 解：由概率乘法公式得()()(|)0.40.20.08,P ABP B P A B()( )( )()0.1 0.40.080.42P ABP AP BP AB3. 设有来自三个地区的各10 名,15 名和 25 名考生的报名表 , 其中女生的报名表分别为 3 份,7 份和 5 份随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. 求先抽到的一份是女生表的概率p。解: 设iA 表示“ 第 i 次取出的报名表是女生表” , i =1,2 jB 表示“ 报名表是取自第 j 区的考生 ” , j =1,2,

12、3.根据题意得31)()()(321BPBPBP.255)|(,157)|(,103)|(312111BAPBAPBAP9029)255157103(31)|()()(31111ijBAPAPAPp第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义设样本空间为，变量)(XX为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1. 定义：设随机变量X，对于任意实数xR，函数( )F xP Xx称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF(1) X是离散随机变量，并有概率函数,2, 1),(ixp

13、i则有. )()(xxiixpxF(2) X 连续随机变量，并有概率密度f (x)，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - dttfxXPxFx)()()(. 2. 分布函数性质：（1）F( x) 是单调非减函数，即对于任意x1 x2，有);()(21xFxF；（2）1)(0 xF；且1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，；（3）离散随机变量X，F ( x)是右连续函数 , 即)0()(xFxF；连续随机变量X，F ( x

14、)在（ - ， +）上处处连续。注：一个函数若满足上述3 个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定义. 设随机变量 X只能取得有限个数值nxxx,21， 或可列无穷多个数值,21nxxx且),2, 1()(ipxXPii，则称 X为离散随机变量 ,pi( i =1,2, )为 X的概率分布，或概率函数 ( 分布律 ). 注：概率函数 pi的性质 : ;,2, 1,0) 1(ipi1)2(iip2. 几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布， XH(N,M,n)，0,1,2,knkMNMnNCCP XkknC（2）二项分布， XB(n.,p) ，()(1)0

15、,1,kkn knP XkC ppkn当 n=1 时称 X 服从参数为 p 的两点分布（或 01 分布） 。若 Xi(i=1,2,n) 服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。（3）泊松(Poisson) 分布，( )XP，(0),0, 1, 2, . !keP Xkkk四、连续随机变量及其分布1. 定义. 若随机变量 X的取值范围是某个实数区间I ，且存在非负函数 f(x) ，使得对于任意区间Iba,(，有,)()(badxxfbXaP则称 X 为连续随机变量 ; 函数f (x)称为连续随机变量 X的概率密度函数， 简称概率密度 。注 1：连续随机变量 X任取某一确定值的0 x

16、概率等于 0, 即; 0)(0 xXP注 2：)()()(212121xXxPxXxPxXxP21)()(21xxdxxfxXxP2. 概率密度 f (x)的性质：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 性质 1：;0)(xf性质 2：.1)(dxxf注 1： 一个函数若满足上述2 个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注 2：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf且在 f(x) 的连续点 x 处，

17、有).()(xfxF3. 几种常见的连续随机变量的分布：(1) 均匀分布( , )XU a b，., 1;,;,0)(01)(bxbxaabaxaxxFbxaabxf其它，(2) 指数分布 ()Xe,0. 0, 0, 0,1)(000)(xxexFxxexfxx，(3) 正态分布),(2NX，0 xdtexFexfxtx,21)(21)(22222)(2)(，第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）1定义：,EX1,( ),kkkx pEXxf x dx离散型连续型2期望的性质：(1)( ), (E CCC为常数 )(2)E(CX)=CE(X)(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4) 若X与

18、Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y), 反之结论不成立 .3. 随机变量函数的数学期望精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1(), ( )kkkg xpXE g xX+-离散型g(x)f(x)dx， 连续型4. 计算数学期望的方法(1) 利用数学期望的定义；(2) 利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X 拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和, 再利用期望性质求得X的期望 . (3) 利用常见分布的期

19、望；二、方差1方差连续型离散型,)()(,)()()(222dxxfXExpXExXEXEXDii注：D(X)=E X- E(X)20；它反映了随机变量X 取值分散的程度 ,如果 D( X) 值越大(小)，表示 X 取值越分散 ( 集中) 。2方差的性质(1)()0, (D CC2为常数 )(2)D(CX)=CD(X)(3) 若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(Y)(4) 对于任意实数 CR，有E ( X-C )2D( X ) 当且仅当 C = E(X)时, E ( X-C )2取得最小值 D(X). (5) (切比雪夫不等式 ) :设 X的数学期望E( X) 与方差 D ( X)

20、存在, 对于任意的正数 ， 有()P | X - E X| 2().D X或()P | X - E X | .2()1-D X3. 计算(1) 利用方差定义；(2) 常用计算公式.)()()(22XEXEXD(3) 方差的性质；(4) 常见分布的方差 . 注：常见分布的期望与方差1. 若 XB(n, p), 则 E( X)=np, D ( X) = npq; 2. 若;)()(),(XDXEPX则3. 若 XU(a, b), 则;12)()(,2)(E2abXDbaX精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

21、- -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 4. 若;1)(,1)(),(2XDXEeX则5. 若.)(,)(),(22XDXENX则三、原点矩与中心矩（总体） X的 k 阶原点矩：)()(kkXEXv（总体） X的 k 阶中心矩：kkXEXEXu)()(练习一、判断正误：1. 只要是随机变量，都能计算期望和方差。( X ) 2. 期望反映的是随机变量取值的中心位置，方差反映的是随机变量取值的分散程度。 ( ) 3. 方差越小，随机变量取值越分散，方差越大越集中。( X ) 4. 方差的实质是随机变量函数的期望。( ) 5. 对于任意的 X,Y，都有()D XYDX

22、DY成立。 ( X ) 二、选择题1.( ,),2.4,1.44,XB n pEXDX则,n p的值为（ B ） A. 4, 0.6； B. 6, 0.4； C. 8, 0.3； D. 24, 0.1 2. 随机变量 X的数字期望为 2， 方差等于 4， 则 E D(X), D E(X) 的值分别为 ( D ) A. X, X； B. 2, 4； C. 4, 2； D. 4, 0. 3. 两个独立的随机变量X, Y的方差分别为 4 和 2，则随机变量 X-2Y的方差等于:( C ) A. 0； B. 8； C. 12； D. 无法计算 . 4.,)(,)(,2XDXEX是随机变量设则对于任意的

23、常数c, 有（D ）222)()(.cXEcXEA；22)()(.XEcXEB22)()(.XEcXEC；22)()(.XEcXED5.)3 ,2, 1( , 1)(, 1)(,321iXDXEXXXii，相互独立设， 则 对 于 任 意 给 定 的，0有（ D ）2311)|1(|.iiXPA2311)|131(|.iiXPB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2311)|3(|.iiXPC23131)|3(|.iiXPD三、填空

24、题1. 设),( PX则1232XXY的数学期望为 _1532_ 。四、计算题1. 设 X的概率密度为其他,0;20,cos)(xxxf试求)(),(EXDX. 解：12sinsinsincos)()(20202020|xdxxxxxdxdxxdxxxfXE24cos)()(220222xdxxdxxfxXE故3)()()(22XEXEXD2游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5 分钟、 25分钟和 55 分钟，从底层起行。 一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处， 且X在0,60 上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望 . 解：因),60, 0( UX故其概率密度为其

25、它, 0600,601)(xxf由题意得;6055, 560;5525,55;255,25; 50,5)(XXXXXXXXXgY所以600)(601)()()()(dxxgdxxfxgXgEYE)65()55()25()5(6016055552525550dxxdxxdxxdxx)(67.1165552556016006055552525550分钟xdxdxdxdxdx第四章正态分布一、正态分布的定义精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - -

26、 - 1. 正态分布),(2NX，其概率密度 为,21)(222)(xexfx其分布函数 为xtdtexF222)(21)(注：21)(F. 正态密度函数的几何特性：；对称曲线关于 x) 1(；）（21)(2取得最大值时，当xfx；，轴为渐近线以时当xxfx0)()3(;2121) 4(22222)(2)(dxedxexx轴作平移变化.图形不变，只是沿着的大小时， f(x) 的改变，当固定y）（5越大,图形越高越瘦；越小,变，对称轴不变而形状在改的大小时改变，当固定（6）xf)(，图形越矮越胖.2. 标准正态分布当1,0时，),1,0( NX其密度函数为.,21)(22xexx且其分布函数为.

27、21)(22xtdtex)(x的性质：)0()1(;21).(1)()3(xx3. 正态分布与标准正态分布的关系2121)()2(2222dxedxexx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 定理：若),(2NX则) 1,0( NXY. 定理：设),(2NX则).()()(1221xxxXxP二、正态分布的数字特征设),(2NX则1. 期望 E(X) dxexXEx222)(21)(2. 方差 D( X) 222)(222)(21)

28、(dxexXDx3. 标准差)(X三、正态分布的性质1线性性 . 设),(2NX则)0(),(22bbbaNbXaY，；2可加性 . 设),(),(22yyxxNYNX且 X和 Y相互独立，则);,(22yxyxNYXZ3 线 性 组 合 性设niNXiii, 2, 1),(2， 且 相 互 独 立 ， 则).,(12211niiiniiiniiiccNXc四、中心极限定理1. 独立同分布的中心极限定理设随机变量,21nXXX相互独立，服从相同的分布，且;,2, 1,)(,)(2niXDXEii则对于任何实数 x，有xtdte222)(21xnnXPniin1lim定理解释：若nXXX,21满

29、足上述条件，充分大 时当n有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - （1）)1 ,0(*ANYnnnXnii1；),()2(21*nnANXYniin；（3）),(121nANXnXnii2. 棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理设),(pnBYn则xtdte222)(21xpnpnpYPnn)-(1lim定理解释：若),(pnBYn当 n 充分大时，有（1）) 1 , 0()1(ANpnpnpYn；（2）)1(,(pnpnpANYn练习

30、：一、判断题1. 若),1,2(),1,0(NYNX则).2,2( NYX（ X ）2. 若),(2NX则.21)0(XP（ ）二、选择题1. 若),5, 1( NX则)(2XE（ B ）A1 B. 6 C. 5 D. 无法计算2. 若),1,2(),1,0(NYNX且相互独立，则YX32服从（ C ）分布 . A. N(0,1) B. N(-6,-1) C. N(-6,13) D. N(-6, -5) 3. 设随机变量 X与 Y均服从正态分布：)5,(),4,(22NYNX).C(),5();4(21则而YPpXPp.;21212121ppD.ppC.ppB.ppA.都有对任何实数才有的个别

31、值只对都有对任何实数都有对任何实数，三、填空题1. 已知连续随机变量 X的概率密度函数为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1221)(xxexf则 X的数学期望为 _1_; X的方差为 _1/2_. 四、计算题1. ,100, 1),20, 0(,1001iUXXXi且相互独立设，,1001iiXX令)9582.0)3().1100(查表求XP解：),20,0(,1001UXXXi且相互独立由，得310012)020()(,10

32、)(2iiXDXE3100)(,3100)(,1000)(1001210011001iiiiiiXXDXE由独立同分布的中心极限定理，)1100(XP)1100(1XP)31001000110031001000(1XP)331001000(1XP)3(1.0418.0第五章数理统计的基本知识一、总体个体 样本1. 总体：把研究对象的全体称为总体 ( 或母体 ). 它是一个随机变量，记X. 2. 个体：总体中每个研究对象称为个体. 即每一个可能的观察值 . 3. 样本：从总体 X中，随机地抽取 n 个个体nXXX,21, 称为总体 X的容量为n 的样本。注： 样本),(21nXXX是一个 n 维

33、的随机变量； 本书中提到的样本都是指简单随机样本，其满足2 个特性： 代表性：nXXX,21中每一个与总体X有相同的分布 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 独立性：nXXX,21是相互独立的随机变量 . 4. 样本),(21nXXX的联合分布设总体 X的分布函数为 F( x)，则样本),(21nXXX的联合分布函数为),(21nxxxF; )(1niixF(1) 设总体 X的概率密度函数为f ( x), 则样本的联合密度函数为

34、),(21nxxxf; )(1niixf(2) 设总体 X的概率函数为),2, 1, 0(),(xxp, 则样本的联合概率函数为; )(),(121niinxpxxxp二、统计量1. 定义 不含总体分布中任何未知参数的样本函数)(n21,X,XXg称为统计量 , ),(21nxxxg是)(n21,X,XXg的观测值 . 注： （1）统计量)(n21,X,XXg是随机变量；（2）统计量)(n21,X,XXg不含总体分布中任何未知参数；（3）统计量的分布称为 抽样分布 . 2. 常用统计量（1）样本矩样本均值niiXnX11； 其观测值niixnx11. 可用于推断：总体均值E( X). 样本方差

35、)(11)(11122122niniiXnXnXXnSi; 其观测值niixxns122)(11.11122niixnxn可用于推断：总体方差D (X). 样本标准差精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2SSniiXXn12)(11.11122niiXnXn其观测值2ssniixxn12)(11.11122niixnxn样本 k 阶原点矩),2, 1( ,11kXnVnikik其观测值nikikxnv11样本 k 阶中心矩), 2

36、, 1(,)(11kXXnUnikik其观测值nikikxxnu1)(1注：比较样本矩与总体矩，如样本均值X和总体均值E(X) ；样本方差2S与总体方差 D( X) ；样本 k 阶原点矩),2, 1( ,11kXnVnikik与总体 k 阶原点矩), 2, 1(),(kXEk；样 本k阶 中 心 矩),2, 1( ,)(11kXXnUnikik与 总 体k阶 原 点 矩),2 , 1(,)(kXEXEk. 前者是随机变量，后者是常数. (2) 样本矩的性质 : 设总体 X的数学期望和方差分别为2, DXEX，2,SX为样本均值、样本方差，则)(1oXE;)(2oXD;12n.)(322oSE3

37、. 抽样分布：统计量的分布称为抽样分布. 三、3 大抽样分布分布2.1(1) 定义. 设kXXX,21相互独立，且kiNXi, 2, 1),1 ,0(，则)(2222212kXXXk精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 注：若),1 ,0( NX则).1(22X（2）性质（可加性）设2221和相互独立，且),(),(22221221kk则).(2122221kk2. t 分布设 X 与 Y 相互独立 , 且),(),1 ,0(2kY

38、NX则).(ktkYXt/注：t 分布的密度图像关于t =0对称；当 n 充分大时， t 分布趋向于标准正态分布 N(0,1). 3. F分布（1）定义 . 设 X与 Y相互独立，且),(),(2212kYkX则).,(/2121kkFkYkXF(2) 性质. 设),(21k,kXF则)(/112,kkFX. 四、分位点定义：对于总体 X和给定的),10(若存在 x ，使得)(xXP则称 x 为 X分布的分位点。注：常见分布的分位点表示方法（1）)(2k 分布的分位点);(2k（2）)(kt分布的分位点),(kt其性质：);()(1ktkt（3）),(21kkF分布的分位点),(21kkF其性

39、质;),(1),(12211kkFkkF（4）N(0,1) 分布的分位点,u有),(1)(1)(uuXPuXP第六章参数估计一、点估计1. 定义设),(21nXXX为来自总体X 的样本，为 X 中的未知参数，),(21nxxx为样本值，构造某个统计量),(?21nXXX作为参数的估计，则称),(?21nXXX为的点估计量，),(?21nxxx为的估计值 . 2. 常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法. 二、矩估计法1. 基本思想 : 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩. 2. 求总体 X的分布中包含的 m个未知参数m,21的矩估计步骤：精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

40、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 求出总体矩 , 即, 2, 1,)()(kXEXEXEkk或； 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：, 2, 1,)()(1)(111kXEXEXXnXEXnknikikniki或 解上述方程（或方程组）得到m,21的矩估计量为：miXXXnii, 2, 1),(?21m,21的矩估计值为：mixxxnii,2, 1),(?213. 矩估计法的优缺点：优点：直观、简单 ; 只须知道总体的矩 , 不须知道总体的分布形式 . 缺点：没有充分利

41、用总体分布提供的信息；矩估计量不具有唯一性； 可能估计结果的精度比其它估计法的低三、最大似然估计法1. 直观想法：在试验中，事件A的概率 P(A) 最大, 则 A出现的可能性就大；如果事件 A出现了，我们认为事件A的概率最大 . 2. 定义 设总体 X的概率函数或密度函数为),(xp（或),(xf） ，其中参数未知，则 X的样本),(21nXXX的联合概率函数（或联合密度函数）niixpL1),()(（或niixfL1),()(）称为似然函数 . 3. 求最大似然估计的步骤：（1）求似然函数 : X离散：niixpL1),()(X连续：niixfL1),()(（2）求)(ln L和似然方程：m

42、iLi,2, 1,0)(ln（3）解似然方程，得到最大似然估计值：mixxxnii,2, 1),(?21（4）最后得到最大似然估计量：miXXXnii, 2, 1),(?21精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体 X的分布形式 . 四、估计量的评价标准1. 无偏性设)(1nX,X?是未知参数的估计量，若E)(?， 则)(1nX,X?是的无偏估计量，)(x1n

43、x,?是的无偏估计值。1. 有效性设)(111nX,X?和)(122nX,X?是未知参数的无偏估计量，若DD)()(21?，则称1?比2?有效。练习一、判断题(1) 若),(21nXXX是来自总体 X的样本，则nXXX,21相互独立 . （ ）(2) 不含总体 X的任何未知参数的样本函数),(21nXXXg就是统计量 . ( ) (3) 样本矩与总体矩是等价的。 （ X ）(4) 矩估计法的基本思想是用总体矩代替样本矩，故矩估计量不唯一.( X ) (5) 设总体未知，其中22),( NX， 则估计量niiXXnX122)(1?，分别是2，的无偏估计量 .( X ) 二、选择题1. 设X1,X

44、2 , ,Xn是来自总体X的简单随机样本 , 则X1,X2 , ,Xn必然满足（ C ）. A. 独立但分布不同；B. 分布相同但不相互独立 ; C. 独立同分布 ; D . 不能确定 . 2.未知，其中的样本，是来自正态总体设2221,),(,NXXXn，下面不是统计量的是（ D ）;1.);,max(.121niinXnXBXXXA.)(.;)(11.12122niiniiXDXXnSC3. 若),4(),1, 0(2YNX且 X，Y相互独立，则YX24服从（ A ）分布 . A. F(1,4) B. t(2) C. N(0,1) D. F(4, 1) 4. 设总体未知，其中22),( N

45、X, ),(21nXXX是来自 X的样本，则估精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 计量2, SX的)(),(),(2SEXDXE分别为（ D ）A2,X B. 22, C. 1, 1,0 D. 22,n5. 设,96.1)(),1, 0(025.0tNX且则)()(025.0CtXPA1.96 ； B.0.05; C.0.025; D.0.95 三、计算题1. 设总体),(baUX),(21nXXX是来自 X的样本，（1）写出),

46、(21nXXX的联合概率密度函数；（2）求).(),(XDXE解：由总体),(baUX其概率密度为.,0;,1)(其它bxaabxf(1) 样本),(21nXXX的联合概率密度函数为.,0;,2, 1,)(1),(21其它nibxaabxxxfinn(2) 由于nXXX,21相互独立，与总体X同分布，故2)()(baXEXEi，12)()()(2abXDXDi221)(1)1()(11babannXEnXnEXEniiniinababnnXDnXnDXDniinii12)(12)(1)(1)1()(222121. 2. 设总体 X的概率密度为1,010,)1()(，其他xxxf),(21nXX

47、X是来自总体 X的一个样本，分别用矩估计法和最大似然估计法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 求参数的估计量。解：(1) 矩估计法21|21)1()()(102110 xdxxdxxxfXE用样本一阶原点矩代替总体一阶原点矩，)(XEX，即21X解得XX112?所以参数的矩估计量为XX112?. (2) 样本),(21nXXX的似然函数为., 0), 2 , 1( , 10,)() 1(., 0),2, 1( , 10,) 1(),()(111其它其它nixxnixxxfLinniininiiniiniinniinxnxL11ln) 1ln()()1ln()(ln0ln1)(ln1niixndLd解得niixn1ln1?从而的最大似然估计量为niiXn1ln1?精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -