2022年概率论与数理统计实验_传染病传播问题.pdf

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1、传染病传播问题传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等， 危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答.注： （1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型；（2） 讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N） .解：假设(1) t 时刻健康者和病

2、人在总人数中所占的比例分别为).(),(tits另外 , 0)0(ii；(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数. 称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人.根据假设，有0)0(1)()()()()(iititstitNsdttdiN故可得0)0()(1)()(iititidttdi（1）得到teiti1111)(0(2) 这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）)(tit曲线表示传染病的传染曲线；dtdit曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线. 20406080100t0.20.40.60.81i20406

3、080100t0.010.020.030.040.050.06di? ?dt图图2) 求)(ti的一阶导数：这里已经把0i代入到)(ti的表达式 . 再输入精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 回到)(ti的表达式 (2), 再求)(ti的二阶导数 , 令022dtid，求出dtdi函数的极大值点, 001Log,aiaitt11ln011it（3）再代入)(ti的表达式，得21即 已求出21*i时 ，dtdi达到最大值 . 即 传染病

4、的上升率达到最大，这个时刻是11ln011it.说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻 .3）从（ 3）式可知1t与成反比 . 日接触率标志着该地区的卫生水平，越小，卫生水平越高 . 而越小，1t越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来.4）由（ 2）式可知，当t时，1)(ti. 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态 . 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数)(ti应该趋于零，即当t时，0)(ti. 由此

5、可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型.感染-治愈假设：(1) 与感染模型 相同；(2) 与感染模型 相同；(3) 病人可以治愈 . 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例， 称为日治愈率 . 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以1是这种传染病的平均传染期.由假设（ 3）可知1)()()()()()(titstititsdttdi0)0(ii故可得0)0()()(1)()(iitititidttdi（4）变换得02)0()()()()(iititidttdi（5）此方程为贝努利方程，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

6、- - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - i t- 0)()(0)(aieeeaietttt得到teiti01)(1当当时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解.020)()(iitidttdi（6）可以利用分离变量法求解. it-010aitai即01)(1itti为当时的解 . 所以方程组的解为：时当时；当101011iteitit（7）分析：定义：（8）从和1的定义可知，是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.1）作出tti曲线图，分析病人数的变化规律.首先求出ti的极限，讨论极端情况. 因为10111lim1，当；，当tit

7、（9）这里有两条tti曲线 , 都是1的情形 . 上面一条是0i=, =时的图形 ; 下面一条是0i=, =时的图形 . 从图可见 , 虽然0i不同 , 但ti在 t 趋于无穷时有相同的极限11.20406080100120140t0.20.40.60.81iai0=0.68ai0=0.0012精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图这是0i=, =时的tti曲线 .20406080100120140t00.10.20.30.40.50

8、.6i图2）接触数1是一个阈值 . 当1时，病人比例ti越来越小，最终趋于零. 说明传染期内， 每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数 . 当1时，病人比例ti的增减性取决于初始病人数0i的大小 . 当t时，11)(ti.从上式分析可知越大，11越大，即：病人比例ti随的增加而增加 . 相反，增大治愈率，减少接触率， （即：降低的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发.3）特殊情况：当0, 1时，相当于)( ,时当t的情况 . 即：随着天数t的无限增大， 接触数无限增大， 将导致所有的人都成为病人. 这也

9、就是模型(一)的情况.感染-治愈-免疫考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力. 所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫的人数不再传染别人，别人也不会传染他们，他们已经退出传染系统. 另外死亡者也看作是退出传染系统 .假设：（1）人群分为健康者、病人和移出者三类. 三类人在总人数N 中占的比例分别记作trtits,，三者之间满足条件：1trtits；（2）病人的日接触率为，病人的日治愈率为，传染期接触数为.由假设（ 2）可知tNititNsdtdiN对移出者应有tNidtdrN，记初始时刻的健康者和病人的比例分别是0),0(00is，移出者的初始值00r.则得精品资料 - - - 欢迎下载 - -

10、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 到：000,0ssiititsdtdstititsdtdi（10）这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解. 结果为图, 图 , 图三个图形 . 这是=, =, )0( i=时的 i(t)t, s(t)t, r(t)t曲线 .50100150200250300t0.050.10.150.2i50100150200250300t0.20.40.60.81s图图50100150200250300t0.20.40.60.8r0.10

11、.20.30.40.50.6s0.10.20.30.40.5i图图图在理论上可以根据方程组的特点，先确定ti与ts之间的关系， 然后再利用si,的关系，确定ti. 将（10）式前两个方程左右两边分别相除得：00111isisdsdi（ 11）利用分离变量容易得到方程（11）的精确解000ln1sissssi（12）分析： 由（ 11）式可知，当1s时，0)(dstdi.容易验证：当1s时，0dsdi；当1s时，0dsdi.图形中箭头表示随时间t的增加ts和ti的变化趋势 . 根据图形分析可知，当t时，rtrtists;0;)(. 由此可得到如下结论：(1) 无论初始条件00,is如何，病人终将

12、消失. 即：当t时，0ti.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - (2)最终未被感染的健康者的比例是ststlim. 在（ 12）式中，令0i可得s满足的方程：0ln1000sssis（13）故s是方程（ 13）式在1,0内的单根 .(3) 若10s， 则ti先 增 加 . 当1s时 ，ti达 到 最 大 值 为000ln11sisim. 然后ti减少且趋于零. ts则单调减少趋于s. （4）若10s，则ti单调减少趋于零，ts则单调减

13、少趋于s. 结果： 由上述分析可以得知：(1)如果仅当病人比例ti有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，这时1是一个阈值 . 当10s时，传染病就会蔓延，而当提高阈值（即：减少传染期内接触数） ，使10s，传染病就不会蔓延.(2) 1ss是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故s称为交换数. 所以当10s时，即有10s时，必有1s. 说明：传染期内交换数不超过1 人，病人比例ti不会增加，传染病不会蔓延.(3)从表达式可知，日接触率越小，日治愈率越大，则接触数越小，此时有助于控制传染病的蔓延. 提高卫生水平和医疗水平是控制和降低传染病蔓延的最有效途径 .(4)在上述模型中，可以由实际数据估计得到：利用（13）式（一般0i很小，可忽略不计），可得ssss00lnln，其中0s和s可在传染病结束时，由统计数据获得. 或者，在医学上对血样作免疫检验也可以根据对检验有无反应，估计出0s和s.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -