2022年概率论与数理统计第3章复习题.pdf

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1、概率论与数理统计第三章复习题解答1. 设YX ,的分布律分别为X11kp4143Y101kp218181且已知0)(YXP，41) 1(YXP.（ 1）求),(YX的联合分布律；（2）判定YX,独立否； （ 3）求),min(),max(,321YXZYXZYXZ的分布律 .解：(1) 由0)(YXP知0) 1, 1() 0, 1(YXPYXP， 故0) 1, 1()0, 1(YXPYXP；由41) 1(YXP知41) 1, 1(YXP.于是可以填写出如下不完整的联合分布律、边缘分布律表格：XY101)(ixXP1004114143)(jyYP2181811再由联合分布律、边缘分布律的关系可填

2、出所余的3 个空 , 得到(2) 41) 1, 1(YXP，而2141) 1() 1(YPXP，故YX,不独立 .(3) 在联合分布律中增加0X的一行，该行ijp均取为 0，分别沿路径 : 对ijp相加 , 得XY1011410014181831Z21012kp4104181832Z11kp41433Z101kp218183精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2. 设平面区域G由曲线xy1, 直线2, 1, 0exxy所围成 . ),

3、(YX在G上服从均匀分布, 求)2(Xf.解： 区域G的面积.2ln12211eeGxdxxS故),(YX的联合概率密度为其它, 010,1,21),(2xyexyxf.其它,01,2121),()(210exxdydyyxfxfxX, .41)2(Xf3. 一个电子仪器由两个部件构成，YX ,分别表示两个部件的寿命（单位：千小时），已知),(YX的联合分布函数为其它0,00,1),()(5.05. 05.0y,xeeeyxFyxyx(1) 问YX,是否独立；（2）求两个部件的寿命都超过千小时的概率. 解： (1) 其它0,0,1),()(5.0 xexFxFxX, 其它0,0,1),()(5

4、.0yeyFyFyY, 从而有)()(),(yFxFyxFYX, 所以YX ,相互独立 .(2) 由YX,相互独立知)1 . 0(1)1 .0(1 ) 1 . 0()1. 0() 1 . 0,1 . 0(YPXPYPXPYXP.)1 .0(1)1. 0(1 1. 005.005. 0eeeFFYX4. 设),(YX的联合概率密度其它, 00,1,2),(22yyxyxf，YXYXU, 1,0，YXYXV3, 13, 0，G2e10yxxy1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页

5、 - - - - - - - - - - 求： (1) ),(VU的联合分布律； （2）)0(UVP.解： (1) 0)()3,()0,0(00PYXYXPVUPp；432),()3,()1,0(01OCDOCDSdxdyyxfYXYXPVUPp扇形扇形；612),()3,()0, 1(10OABOABSdxdyyxfYXYXPVUPp扇形扇形；1212),()3,()1, 1(11OBCOBCSdxdyyxfYXYXPVUPp扇形扇形. 于是有联合分布律: VU010061143121(2) 121)0(11pUVP.5. 设),(YX的联合概率密度为其它,010, 10, 1),(yxyx

6、f求： (1)21,21(YXP； （2）)21(YXP； （3）)31(YP； （4）)21(YYXP.1DCAByx3yx0yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 解： （1）4121211),()21,21(21,21GGyxSdxdydxdyyxfYXP；（2）)21(YXP8721212111),(21GGyxSdxdydxdyyxf；（3）)31(YP32)311(11),(31GGySdxdydxdyyxf；（4）412

7、11212121)21()21,()21(YPYYXPYYXP.6. 设),(YX的联合概率密度为其它,02,2010,20),(xyxxxxcyxf求： (1) 常数c；(2) )(xfX；(3) )(xyfXY；(4) )128(XYP. 1xy2/10y02/12/10yx112/12/1x1题 5(2) 图题 5(3) 图题 5(4) 题 5(4) 图13/1yx1题 5(1) 图012/1yx1GGG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - -

8、- - - 解： (1) ,25)210(20),(1201020102cdxxcdyxxcdxdxdyyxfxx.251c(2) elsexxdyxxdyyxfxfxxX0,2010,50202520),()(2.(3) 2010 x时，0)(xfX，)( xyfXY有定义，且elsexyxxxxxxfyxfxyfXXY0,2,250202520)(),()(4) )20,10(12x，elseyXyfXY0,126,61)12(，从而3261)12()128(1288dydyXyfXYPXY.7. 设YX,相互独立且都服从 1,0上的均匀分布 , 求YXZ的概率密度 . 解：dxxzfxf

9、zfYXZ)()()(, 其中其它xxfX,010, 1)(, 其它xzxzfY,010, 1)(.zxzxxzxxzfxfYX11010100)()(. (区域见图示 )(1) 10z时, zdxzfzZ011)(；(2) 21z时, zdxzfzZ211)(11；2xyzx20 xyx0100yx21z1题 7 图题 6 图1zxG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - (3) )2,0(z时, 0)(zfZ.综上知其它zzzzzfZ

10、,021,210,)(.8*.设),(YX的 联 合 概 率 密 度其它, 00,),(yxxeyxfy， 求 (1) )21(YXP,)21(YXP； (2) YXZ的概率密度； (3) ) 1),(min(YXP.解：(1) 102142512121)()()2()2,1() 21(22221202102202102eeeeeedxeexdxeexdyxedxdyxedxYPYXPYXPxxxyxy；00,0,21),()(20yyeydxxedxyxfyfyyyY，02)2(2efY，于是elsexxexefxfYxfYYX0,20,22)2()2,()2(22，从而412)2()21(

11、101dyxdxYxfYXPYX.(2) dxxzxfzfZ),()(, 其中2000),(zxxxzxxzxfX. (区域见图示 )(1) 0z时, 2020)()(zxzzxzZdxxeedxxezf2)12(zzeze；(2) 0z时, 0)(zfZ.220y2xy210yx题 8（1）图题 8（1）图1xyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 综上知0,00,) 12()(2zzezezfzzZ. （3）) 1,1(1) 1)

12、,(min(1)1),(min(YXPYXPYXP1111, 12111),(1edxxedyxedxdxdyyxfxxyyx.9*. 设),(YX的联合概率密度其它, 00,0,),()(yxeyxfyx，求YXZ的概率密度 . 解：)()()(zYXPzZPzFZ(1) 0z时, 0)()(PzFZ；(2) 0z时, 0),()()(0 xyZdxdyyxfXYPzF(3) 0z时, 如图zzxzxyxzzxyxzxyzxZdyeedxdyeedxdxdyyxfzF00),()(zzxzxxzzxxdxeeedxee)()1(0zzxzzzxzxedxeeedxeee1)()(202x2z

13、x0z题 8（2） 图yzz0y题 9 图zxyxzxy110题 8（3）图xyx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 综上知0,00,1)(zzezFzZ, 求导得0,00,)(zzezfzZ.10. 设BA,是两个随机事件, 且,41)(,21)(,41)(BAPABPAP引进随机变量不发生当发生当不发生当发生当BBYAAX,0, 1,0, 1.判断下列结论的正误, 并给予分析：（1）BA,互不相容； （2）BA,相互独立； （3）

14、YX ,相互独立； （4）1)(YXP；（5）41) 1(22YXP. 解： （1）检验0)(ABP是否成立 . 事实上0812141)()()(ABPAPABP, 故BA,相容 , 原结论错 .（2）检验)()()(BPAPABP是否成立 . 事实上由于41)(,41)(BAPAP,. )()()()()(APBPBAPBPABP即)()()(BPAPABP成立 , 故BA,独立 , 原结论对 .（3）检验YX ,的联合分布律与边缘分布律之积是否都相等. 事实上81)(11ABPp；838121)()()()(01ABPBPABBPBAPp；818141)()()()(10ABPAPABAP

15、BAPp；83818381100p. 于是有YX01)(jyYP08/38/12/118/38/12/1)(ixXP4/34/11经检验 , YX ,的联合分布律与边缘分布律之积都相等, 故原结论对 .（4）只需正确求出)(YXP的值 . 事实上0218183)(1100ppYXP, 故原结论错 .（5）只需正确求出) 1(22YXP的值 . 事实上41218183) 1(100122ppYXP, 故原结论错 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -