2022年概率论与数理统计第四章自测题.pdf

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1、概率论与数理统计第四单元自测题时间： 120分钟，卷面分值：100分一、填空题 ： （每空 2 分，共 12 分）得分1设随机变量X与 Y，方差 D(X)=4，D(Y)=9，相关系数XY=，则 D(3X-2Y)= 。2已知随机变量XN(0, 2)(0)，Y在区间0,3上服从均匀分布，如果D(X-Y )=2，则 X 与 Y的相关系数XY= 。3二维随机变量(X, Y )服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X 与 Y的相关系数XY=-1/2，则当 a= 时，随机变量aX+Y与 Y相互独立。4设随机变量XN(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为1210( )200

2、 xexf xx，如果 Cov(X, Y)=-1，Z=X-aY ，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则 a= ，此时 X 与 Z 的相关系数为XZ= 。5设随机变量X在区间 (-1, 2)上服从均匀分布，随机变量-100010XYXX，则方差 D(Y)= 。6设随机变量X服从参数为2 的泊松分布，用切比雪夫不等式估计PX-24 。二、单选题 ： （每题 2 分，共 12 分）得分1随机变量X, Y和 X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y) ，该条件是X与 Y( )。(A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条

3、件；(D)独立的充分必要条件。2若随机变量X与 Y的方差 D(X), D(Y) 都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y) ，则有 ( )。(A) X 与 Y一定相互独立；(B) X与 Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y) ；(D) D(X-Y)=D(X)-D(Y) 。3设随机变量X与 Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y ，且协方差Cov 存在，则 U 和V 必然 ( )。(A) 不相关； (B) 相互独立； (C) 不独立； (D) 无法判断。4若随机变量X与 Y不相关，则与之等价的条件是( )。(A) D(XY)=D(X)D(Y) ；(B) D(X+Y)=D(X-

4、Y) ；(C) D(XY)D(X)D(Y) ；(D) D(X+Y)D(X-Y) 。5现有 10 张奖券，其中8 张为 2 元，2 张为 5 元，某人从中随机地无放回地抽取3 张，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 此人所得奖金的数学期望为( )。(A) 6 元；(B) 12 元；(C) 元；(D) 9 元。6. 将长度为 1 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。(A)1；(B)12；(C)12；(D)1。三、判断题：

5、 （每题 2 分，共 12 分）得分1.( )设随机变量X和 Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有 D(5X-2Y)=4 。2.( )设随机变量X，Y ，且 E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差D(2X-3Y)=35。3. ( )设随机变量X 和 Y的联合分布律为可知 X与 Y不相互独立，因此X与 Y不相关。4. ( )设随机变量X的概率密度为1,0,2( )1,0,2xxexf xex则X的数学期望为0011,0,22()11,0,22xxxe dxxE Xxe dxx5. ( )设二维随机变量X与 Y的联合概率密度为sinsin

6、 ,0,( , )20,xyx yf x y其他，则数学期望0/2()sinsinsinE Xxxydxy。6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为01, 01( , )0,xyxyf x y，其他，则随机变量X 与 Y不是不相关，因而X与 Y不相互独立。四、计算题 （共 34 分）1(8 分)设随机变量 , 是相互独立且服从同一分布，已知的分布律为P=i=1 /3，i=1, 2, 3，又设 X=max(, )，Y=min(, )，求(1)随机变量 X的数学期望E(X) ， (2) X与 Y的相关系数XY。得分2(10 分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为XY-1 1 2-

7、111/4 1/4 01/4 0 1/4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 201, 01( , )0 xyxyf x y，其他，(1)判别 X与 Y是否相互独立是否相关(2)求 D(X+Y) 。得分3(8 分)设二维随机变量(X, Y) 的联合概率密度为1, 0 2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记n11X=Xnii，Yi=Xi-X，i=1, 2, , n，(1)求 Yi的方差 D(Yi)，i=1, 2, , n；(2)求 Y

8、1与 Yn的协方差 Cov(Y1, Yn)；(3)求 PY1+Yn0；(4)证明 Y1与 Yn的相关系数为111nYYn。得分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 概率论与数理统计第四单元自测题参考答案一、填空题 ：1 ；2. 1/4；3. 2；4. -1, 6 /4；5. 8/9；6. 1/8。二、选择题 ：1C；2. B；3. A；4. B；5. C ；6. D。三、判断题：1错； 2. 错； 3. 错；4. 错； 5. 错；6.

9、对。四、计算题1 【答】 E(X)=22 /9，XY=8/19。【解 】X与 Y的联合分布律为：E(X)=22 /9，E(Y)=14 /9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，E(XY)=4 。2 【 答】(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5 /36。【解】1X03,01,( )( , )(2)20,xxfxf x y dyxy dy其他 ,，同理Y3,01,( )( , )20,yyfyf x y dx其他,在 0 x1, 0y1 内， f(x, y)fX (x)fY(y)，所以 X与 Y不相互独立。1035E(X)( , )()212xf x y dxdyxx dx，由

10、x 与 y 的对称性知E(Y)=512，11100021E(XY)( , )(2)()336xxyf x y dxdyxdxyxy dyxdx，12222X031E(X )( )()E(Y )24x fx dxxx dx，D(X)=E(X2)-(E(X)2=11/144=D(Y)， Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，XYCov(X,Y)1011D(X)D(X)，故 X与 Y相关。YX1 2 3PX=i1231/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93 /95/9PY=j5/9 3/9 1/91XY1 2 3 4 6 9P1/9 2/9 2 /9

11、1/9 2/9 1/9精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。3 【答】 E(X)=2 /3，E(Y)=0( 由奇偶性及对称性)，D(X)=1 /18，D(Y)=1 /6，XY=0。方法同上例，略。4.【答】 E(Z)=1 /n，D(Z)=1 /n2。【解】随机变量X1, X2, , Xn的分布函数为1,0,( )0,0,zXezFzz则1,0,( )1 (1( )0,0,

12、nznZXezFzFzz即 Z 服从参数为1/n 的指数分布，故E(Z)=1 /n ，D(Z)=1 /n2。五、应用题1.【答 】E(X)=1 ，D(X)=1。【解】设随机变量1,X1, 2,0,iiiinL若第 名学生拿到自己的学生证,若第 名学生没拿到自己的学生证,，1E(X )in，211D(X )inn，1, 2,inL，又1X=X +XnL，注意 X1, X2, , Xn不相互独立，1n1nE(X)=E(X+X)=E(X )+E(X)=1LL，又11P X X1P X1 P X1 X11ijijinn，于是1E(X X )(1)ijn n，21(X ,X )E(X X )E(X )E

13、(X )(1)ijijijCovnn，)(ji111D(X)=D(X +X )=D(X )+D(X )2(X ,X )nnijijnCovLL222111()21(1)nnCnnnn。2.【答 】 约 23 单位商品。【解】 (1)由题设， X的概率密度为1,1030,( )200,xf x其他，设进货量为 a，则利润为500X(X)100,10X,M(X)500(X)300,X30,aaagaaaXi Xj0 1P11(1)n n1(1)n n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共

14、6 页 - - - - - - - - - - 600X100 ,10X,300X200 ,X30,aaaa30101E(M )( )20ag xdx30101( (600100 )(300200 )20aaxa dxxa dx= -7.5a2+350a+5250，求最优进货量，即求使E(Ma)达到最大值的a，E(Ma)= (a-(350/15)2+ ，从而a=350/15=，即进 23单位该种商品为最佳。六、综合题【答】 (1)1nn；(2)1n；(3)1/2。【解】 (1)由题设， X1, X2, , Xn相互独立，所以11111111Y =XXXX(1X )XXiiiiinnnnnnLL

15、， i=1, 2, , n,nn2iiijj2j=1j=1j ij i1111D(Y )=D(X -X)=D(1-)X -X )=(1-) D(X )D(X )nnnni22111=(1-)(1)nnnnn，i=1, 2, , n。(2)利用协方差的性质Cov(Y1, Yn)1212111111Cov(X -X -X , -X -X -X )nnnnnnnnnnLL因为 X1, X2, , Xn相互独立，1212221-11-D(X )(D(X)D(X)D(X )nnnnnnnL2221-21-nnnnnn1n。(3)111n12222Y +YX -X+X-XXXXnnininnnnn。因为 X1, X2, , Xn相互独立，因此Y1+Yn服从正态分布，又E(Y1+Yn)= E(Y1)+E(Yn)=0，所以 PY1+Yn0=1/2。(4)由(1), (2)结论知， Y1与 Yn的相关系数为1111(,)11( )()11nnYYnCov Y YnnD YD Ynnnn。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -