2022年概率论与数理统计统计课后习题答案-总主编-邹庭荣-主编-程述汉-舒兴明.pdf

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1、第一章习题解答1解： （1） = 0，1， 10 ；（2） =ini|0，1， 100n ，其中n为小班人数；（3） =, , , , , 其中表示击中，表示未击中；（4） = （yx,）|22yx1 。2解： （1）事件CAB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A=B 成立。3解： （1）ABC ； （2）ABC； （3）CBA； （4）CBA)(； （5）CBA；（6）CBCABA;(7)CBA;(8)BCACBACAB4解：因

2、 ABCAB ，则 P （ABC ）P（ AB ）可知 P（ ABC ）=0所以 A、B 、C至少有一个发生的概率为P（ABC） =P（A ）+P（B）+P（ C）-P（AB ）-P（AC ）-P（BC ）+P（ABC ）=31/4-1/8+0=5/85解： （1）P（AB） = P （A）+P（B）-P（AB ）=0.3+0.8-0.2=0.9)(BAP=P（A）-P（AB ）=0.3-0.2=0.1（2）因为 P（AB） = P （A）+P（B）-P（AB ）P（ A）+P（B）=+,所以最大值maxP （AB）=min(+,1) ；又 P（A）P（AB），P（B）P（AB） , 故最小值

3、min P （AB）=max(, )6解：设 A表示事件“最小号码为5”， B表示事件“最大号码为5”。由题设可知样本点总数310Cn，2425,CkCkA。所以31025CCAP121；31024CCBP2017解：设 A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为! n，! 2!.1nkA，nnnAP2! 2!.1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 若n个人随机排成一圈. 可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的

4、位置。i表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，1,.,2, 1ni。则样本空间=121,.,n，事件 A=11,n所以12nAP8解：设 A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8 以外的其他9 个数中取，因此A包含的基本事件数为449119，样本点总数为410。故4410911APAP9 解：设 A、 B、 C分别表示事件“恰有2 件次品”、 “全部为正品”、 “至少有 1 件次品”。由题设知样本点总数410Cn，472723,CkCCkBA,61,103nkBPnkAPBA, 而CB，所以651BPC

5、P10解：设 A、B、C、D分别表示事件“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2 张牌也同点数”、“5张牌中有 2 个不同的对（没有3 张同点）”、“4张牌同点数”。样本点总数552Cn，各事件包含的基本事件数为241123411351314,CCCCkCCkBA148441131442424213,CCCkCCCCkDC故所求各事件的概率为：151312413134124555252,ABC CC C C CkkP AP BnCnC2221134444552,CkC C C CP CnC14113448552DC C CkP DnC11解：2.05.07.0,4 .01BAPAPABPBPB

6、P（1）972 .04 .07.07 .0|BAPABAPBAAP（2）929 .02 .0|BAPABPBAABP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 39 页 - - - - - - - - - - （3）852 .015 .0|BAPBAPBAAP12解：令 A= 两件产品中有一件是废品，B=两件产品均为废品 ，C=两件产品中有一件为合格品 ，D=两件产品中一件是合格品，另一件是废品。则2112112222112,MmmMMmmMmMMmMmMmmCCCCDPCCCCCPCCA

7、BPCCCCAP所求概率为：（1）121|mMmAPABPABP（2）12|mMmCPCDPCDP13 解 ： 设 A 、 B 、 C 分 别 表 示 事 件 甲 、 乙 、 丙 得 病 ， 由 已 知 有 ： P（ A ） =0.05 P（B|A ）=0.4 P（C|AB）=0.8 则甲、乙、丙均得病的概率为：P（ABC ）=P（A）P（B|A ）P（ C|AB）=0.016 14解：令2, 1 ,0,ii，Ai名中国旅游者有从甲团中任选两人B= 从乙团中随机选一人是中国人，则：2|,22baiaABPCCCAPimnimini由全概率公式有：2020222|iimniminiibaiaCC

8、CABPAPBP15解：令 A= 天下雨，B= 外出购物则：P（ A） =0.3 ， P（B|A ）=0.2 ，P（B|A）=0.9 （1）P（B）=P（A）P（B|A ）+P（A）P（B|A） =0.69 （2）P（A|B ）=232|BPABPAP16解：令 A= 学生知道答案 ，B=学生不知道答案 ，C=学生答对P（A）=0.5 PB=0.5 P（C|A）=1 P（C|B）=0.25 由全概率公式：P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）=0.5+0.50.25=0.625 所求概率为： P（A|C）=8.0625.05.017解：令事件2, 1,iiAi次取到的零件是一等品

9、第2, 1,iiBi箱取到第则5. 021BPBP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 39 页 - - - - - - - - - - （1）4.030185.050105.0|2121111BAPBPBAPBPAP（2）4.0|2212121112112BAAPBPBAAPBPAPAAPAAP4856.04.0293017185 .049509105.018证明：因BAPBAP|则BPABPAPBPBAPBPABP1经整理得：BPAPABP即事件 A 与 B 相互独立。19解：由

10、已知有41BAPBAP，又 A、B 相互独立，所以A 与B相互独立；A与B 相互独立。则可从上式解得：P（A）=P（B）=1/2 20解：设A“ 密码被译出 ” ，iA“ 第 i 个人能译出密码” ，i =1,2,3 则41)(,31)(,51)(321APAPAP)()(321AAAPAP又321,AAA相互独立，因此)(1)(321AAAPAP)()()(1321APAPAP6.0)411)(311)(511(121解：设iA“ 第i次试验中 A 出现” ，4, 3, 2, 1i则此 4 个事件相互独立。由题设有：59.0111443214321APAAAAPAAAAP解得 P（A）=0.

11、2 22解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三门大炮命中敌机，D 表示敌机被击落。于是有D=BCACBACABABC故敌机被击落的概率为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 9.08 .03 .09 .02.07 .01 .08.07 .09.08.07.0CPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAPBCAPCBAPCABPABCPDP=0.902 23解：设 A、B、C 分别表示事件：甲、乙、丙三人钓到鱼，则P（A）=

12、0.4，P（B）=0.6，P（C）=0.9 （1）三人中恰有一人钓到鱼的概率为：CBAPCBAPCBAPCBACBACBAP=0.4 0.4 0.1+0.60.6 0.1+0.60.4 0.9 =0.268 （2）三人中至少有一人钓到鱼的概率为：CPBPAPCBAPCBAP11=1-0.6 0.4 0.1 =0.976 24解：设 D=“甲最终获胜 ” ，A=“ 第一、二回合甲取胜” ；B=“ 第一、二回合乙取胜” ；C=“ 第一、二回合甲、乙各取胜一次” 。则：2,22CPBPAP.|, 0|, 1|DPCDPBDPADP由全概率公式得：CDPCPBDPBPADPAPDP|2202P D所以

13、 P（D）=21225解：由题设500 个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500 个错字是否出现在上面， 相当于做 500 次独立重复试验。 因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为：P=5002500500491115005005050505030110.9974kkkkkkkkCC26解：设 A=“厂长作出正确决策” 。每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此5 个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5 次重复试验，则所求概率为：P（A）=53554.06.0kkkkC0.3174 附综合练习题解答精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

14、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 一、填空题10.3;3/7;0.6 20.829;0.988 30.2;0.2 40 52/3 67/12 71/4 82/3 9765361310C103/64 二、选择题1.C; 2.D; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7.B; 8.C; 9.C; 10.D 三、 1. （1）假；（2）假；（3）假；（4）真；（5）真2.解：设 A=所取两球颜色相同样本点总数为541619CCn，若 A发生， 意味着都取到黑球或白球，故 A包含的基本事

15、件数为1221213CCk，所以 P（ A）=2/9 3.解：设 A=“第三次才取得合格品”3 ,2,1,iiAi次取得合格品第则321AAAA213121|AAAPAAPAPAP=120787921034.解：从 0，1， 9 中不放回地依次选取3 个数，组成一个数码。若0 在首位，该数码为两位数，否则为三位数，于是可组成的数有1098=720 个。（1）设 A=“此数个位为5” ，7289Ak，P（ A）=1/10 （2）设 B=“此数能被5 整除”，892Bk，P （B）=1/5 5.解：设 A=“系统可靠” ，5,.,1,iiAi工作正常元件，由全概率公式有：3333|AAPAPAAP

16、APAP当第 3 号元件工作不正常时，系统变为如下：1 2 4 5 图 1 2232|PPAAP精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 当第 3 号元件工作正常时，系统变为如下：12 45 图 2 2232|PPAAP从而2222212.PPPPPPAP54322522PPPP6.解：设 A=“某人买到此书” ，iA=“能从第i个新华书店买到此书” ，3,2, 1i由题设412121321APAPAP1614141313221AAPAA

17、PAAP641414141321AAAP故所求概率为：6437321AAAPAP第二章习题解答1. 设)(1xF与)(2xF分别是随机变量X 与 Y 的分布函数 ,为使)()(21xbFxaF是某个随机变量的分布函数, 则ba,的值可取为 ( A). A. 52,53baB. 32,32baC. 23,21baD. 23,21ba2. 一批产品 20 个, 其中有 5 个次品 , 从这批产品中随意抽取4 个, 求这 4 个产品中的次品数X的分布律 . 解：因为随机变量X这 4 个产品中的次品数 X的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且401554209100.2817323C CP XC

18、；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 3115542045510.4696969C CP XC；221554207020.2167323C CP XC；131554201030.0310323C CP XC；04155420140.0010969C CP XC. 因此所求X的分布律为：X0 1 2 3 4 P0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010 3 如果X服从 0-1 分布 , 又知X取 1 的概率为

19、它取0 的概率的两倍 , 写出X的分布律和分布函数 . 解：设1P xp，则01P xp. 由已知，2(1)pp，所以23pX的分布律为：X0 1 P1/3 2/3 当0 x时，( )0F xP Xx；当01x时，1( )03F xP XxP X；当1x时，( )011F xP XxP XP X. X的分布函数为：00( )1/ 30111xF xxx. 4. 一批零件中有7 个合格品， 3 个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布. 解：设 X= 在取出合格品以前，已取出不合格品数

20、. 则 X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 7010P x；377110 930P x；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 32 77210 9 8120P x；32 1 71310 9 8 7120P x. 所以 X 的概率分布为：X0 1 2 3 P7/10 7/30 7/120 1/120 5.从一副扑克牌（52 张）中发出5 张，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设 X其中黑桃张数 . 则 X 的所有可能的取值为0，1，2

21、，3，4，5. 051339552210900.22159520C CP xC；1413395522741710.411466640C CP xC；2313395522741720.274399960C CP xC；3213395521630230.0815199920C CP xC；41133955242940.010739984C CP xC；5013395523350.000566640C CP xC. 所以 X 的概率分布为：X0 1 2 3 4 5 P0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 当

22、在生产过程中出现废品时立即重新进行调整 , 求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数 . 解：由已知，()XG p所以()(1) ,0,1,2iP Xippi. 7. 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的， 且红、绿两种信号显示时间相同. 以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数 . 求 X 的概率分布 . 解：X的所有可能的取值为0，1，2，3. 且102P X；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 39 页 - - - -

23、 - - - - - - 1111224P X；111122228P X；111132228P X；所以 X 的概率分布为X 0 1 2 3 P 1/2 1/4 1/8 1/8 8. 一家大型工厂聘用了100 名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求：（1）恰有 6 个人不能完成培训的概率；（2）不多于 4 个的概率 . 解：设 X不能完成培训的人数.则(100,0.04)XB，（1）669410060.040.960.1052P XC; （2）4100100040.040.960.629kkkkP XC. 9. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风

24、险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率 . 假设你是使用方，允许次品率不超过05. 0p，你方的验收标准为从这批产品中任取 100 个进行检验，若次品不超过3 个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06） . 解：设 X100 个产品中的次品数，则(100,0.06)XB，所求概率为10010033(0.06) (0.94)0.1430kkkkP XC. 10. 甲、乙两人各有赌本30 元和 20 元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢 10 元，乙输 10 元；如果出现反面， 则甲输 10 元，乙赢 10 元. 分别求投掷

25、一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数. 解：设甲X投掷一次后甲的赌本，乙X投掷一次后乙的赌本. 则甲X的取值为 20，40，且120402P XP X甲甲，110302P XP X乙乙，所以甲X与乙X的分布律分别为：甲X20 40 乙X10 30 p1/2 1/2 p1/2 1/2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 0,201,204021,40XxFxxx甲（ ）, 0,101,103021,30XxFxxx乙（

26、 ）11. 设离散型随机变量X的概率分布为： （1）2 ,1,2,100kP Xkak；（2）2,1,2,kP Xkak，分别求（ 1） 、 （2）中常数a的值 . 解： （1）因为1001001121,kkkP Xka即1002(1 2)112a，所以) 12(21100a. (2) 因为1121,kkkP Xka即121112a，所以1a. 12. 已知一电话交换台服从4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8 次传唤的概率； （2）每分钟传唤次数大于8 次的概率 . 解：设 X每分钟接到的传唤次数，则( )XP，查泊松分布表得（1）8890.05110.02140.0297P XP XP X

27、；（2）80.02136P X. 13. 一口袋中有5 个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3 个，以示 3 个球中最小号码，写出X的概率分布 . 解：X的所有可能的取值为1，2，3. 2435631 105CP xC；23353210CP xC；22351310CP xC. 所以 X 的概率分布为：X1 2 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 39 页 - - - - - - - - - - P6/10 3/10 1/10 14. 已知每天去图书馆的人数服从参数

28、为(0)的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)pp，且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布 . 解：设Y 每天去图书馆的人数,则( )YP，,0,1,2,!iP Yieii当Yi时，( ,)XB i p，(1)kkikiikP XkP YiC pp!(1)(1)! ()!iikkikkikii kikieC ppeppiikik!(1)(1)! ()!()!ikkikki kiki kikipeppepikikkik(1)()(1)e!()!kki kkkkikppikpppepeekikkk即 X 的概率分布为()e,0,1,2,!kppP Xkkk

29、. 15. 设随机变量X的密度函数为,010,xb axf(x)其它，且3131XPXP，试求常数a和b. 解：1301()3183abPXaxb dx；113142()393abPXaxb dx，由421183932abab得，71.5,.4ab16. 服从柯西分布的随机变量的分布函数是F(x)=A+Bxarctan, 求常数 A, B; 1P X精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 以及概率密度f(x). 解：由()lim (a

30、rctan )02()lim (arctan )12xxFABxABFABxAB得121AB. 所以11( )arctan2F xx；1 11 (1)( 1)0.5P XPxFF；211( )( )1f xFxx. 17. 设连续型随机变量X的分布函数为20 ,0( ),011 ,1xF xAxxx求： （1）常数A的值；（2）X的概率密度函数)(xf； （3）2XP. 解： （1）由( )F x的连续性得(10)(10)(1)1FFF即21lim1xAx，所以1A，20,0( ),011,1xF xxxx；（2）2 ,01( )( )0 ,xxf xFx其他；（3）2(2)1P XF. 18

31、. 设随机变量X的分布密度函数为,01,1)(2其它当 xxAxf试求：（1）系数A； （2）221XP； （3）X的分布函数)(xF. 解： （1）因为111211( )arcsin1Af x dxdxAxAx所以1A，21 , 1( )10 , xf xx其它；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 39 页 - - - - - - - - - - （2）121112122211112( )arcsin231PXf x dxdxxx；(3) 当1x时，( )0f xP Xx，当0

32、1x时，21111( )arcsin21xf xP Xxdtxt，当1x时，1211( )11f xP Xxdtt，所以1,111,arcsin1211,0 xxxxxF）（19. 假设你要参加在11 层召开的会议，在会议开始前5 min 你正好到达10 层电梯口，已知在任意一层等待电梯的时间服从0 到 10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s，从 11 层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯，则你能准时到达会场的概率是多少？解：设X= 在任意一层等待电梯的时间,则(0,10)XU，由题意，若能准时到达会场，则在10 等电梯的时间不能超过4.5 m

33、in，所求概率为4.504.50.45100P X. 20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X（min）服从51的指数分布 . 某顾客在窗口等待服务，若超过10 min，他就离开 . 若他一个月到银行5 次，求：(1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y的分布；(2) 求1YP. 解： （1）由已知，1( ),(5,)5XEYBp其中10101101( )pP XP Xfx dx110250115edxe所以Y的分布为55(1)kkkP YkC pp2255() (1),(0,1,2,3,4,5)kkkCeek；（2）0202551101() (1)0.5167P YP YCee. 21

34、. 设随机变量)4, 5( NX，求使：（1）903. 0XP； （2）01.05XP. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 解：由)4,5( NX得5(0,1)2XN（1）555()0.903222XPXP查标准正态分布表得：51.32，所以6. 7；（2）由01.05XP得，50.99PX所以55PXPX5()()2()10.99222222XP即()0.9952，查标准正态分布表得2.582，所以16.522. 设)2,10

35、(2NX，求210,1310XPXP. 解：由)2,10(2NX得10(0 ,1)2XN101013 =P 01.5(1.5)(0)0.99320.50.49322XPX；102 2102PXPX1011(1)( 1)2(1)120.841310.68262XP. 23. 某地 8 月份的降水量服从185 mm,28 mm的正态分布，求该地区8 月份降水量超过 250 mm的概率 . 解：设随机变量X 该地 8 月份的降水量 ，则2(185,28 )XN，从而185(0,1)28XN所求概率为1852501852501(2.32)10.98980.01022828XP XP24. 测量某一目标

36、的距离时，产生的随机误差(cm)X服从正态分布)400,0(N，求在3 次测量中至少有1 次误差的绝对值不超过30 cm的概率 . 解：由(0,400)XN得(0,1)20XN设Y在 3 次测量中误差的绝对值不超过30 cm的次数 ，则(3,)YBp其中30 3030 1.51.5pP XPXPX精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 39 页 - - - - - - - - - - (1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664所以 P3 次测量中至少有1 次误差

37、的绝对值不超过30 cm=1P Y00331010.86640.13320.9976P YC25. 已知测量误差2(7.5 , 10 )XN，X 的单位是 mm，问必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于0. 9. 解：设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于0. 9. 由已知2(7.5 , 10 )XN，7.5(0 ,1)10XN设Yn 次测量中，绝对误差不超过10 mm的次数 ，则( ,)YB n p其中7.5100.25(0.25)0.598710XpP XP所求概率为1 0.9P Y，即00.1P Y000.598

38、70.40130.1nnC，解之得，3n必须进行 3 次测量，才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10 mm的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380 名学生均有机会获得该测试的满分500 分 . 设学生的得分)(2，NX，某教授根据得分X将学生分成五个等级：A 级：得分)(X；B级：)(X；C 级：X)(；D 级：)()2(X；F 级：)2(X. 已知 A 级和 C 级的最低得分分别为448 分和 352 分，则：（1）和是多少？（ 2）多少个学生得B 级？解： （1）由已知，448352，解之得40048（2）01XPXP(1)(0)0.84130.50.3413由于 0.34

39、13 380=129.66，故应有130 名学生得 B 级。27. 已知随机变量X的概率分布如下，X-1 0 1 2 P0. 2 0. 25 0. 30 0. 25求13XY及12XZ的概率分布 . 解：13XY的所有可能的取值为4，1，-2，-5. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 且410.2P YP X；100.25P YP X；210.3P YP X；520.25P YP X. 所以13XY的分布律为13XY-5 -2

40、1 4 P0.25 0.3 0.25 0.2 12XZ的所有可能的取值为1，2，5 且100.25P ZP X；21 1 0.5P ZP XP X；520.25P ZP X. 所以12XZ的分布律为12XZ1 2 5 P0.25 0.5 0.25 28. 设随机变量)1,0( NX，求XY21的密度函数 . 解：由 XN(0,1)，得2221)(xXexp，设XY21的分布函数为FY(y)，则.2121)(yXPyXPyYPyFY当 y1时，121)(PyXPyYPyFY；当 y0 时 Z 的密度函数为()0( )()( )zz yyZXYfzfzy fy dyeedy()0()zzyzzee

41、dyee当0z时( )0Zfz，所以(),0( )0,0zzZeezfzz第四章习题解答1设随机变量XB（30，61） ，则 E（X）( D ). A.61；B.65；C.625；D.5. 1()3056E Xnp2已知随机变量X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间-1，3和2，4上服从均匀分布，则E(XY)=（A ）. A. 3；B. 6；C. 10；D. 12. ()1()3E XE Y因为随机变量X 和 Y 相互独立所以()()( )3E XYE X E Y3设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则 X2的数学精品资料 - - - 欢迎下载 - -

42、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 期望 E(X 2)_18.4_(10,0.4)()4()2.4XBE XD X22()()()18.4E XE XD X4某射手有3 发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽设表示X 耗用的子弹数求E（X）. 解：X 1 2 3 P2/3 2/9 1/9 22113()233999E X5设 X 的概率密度函数为,01( )2,120,xxf xxx其它求2() ,().E XE X解：12201(

43、)( )(2)1E Xxf x dxx dxxx dx, 122232017()( )(2)6E Xx f x dxx dxxx dx. 6设随机向量 (X，Y)的联合分布律为：YX- 1 1 2 - 1 0.25 0.1 0.3 2 0.15 0.15 0.05 求() ,( ),().E XE YE XY解：X -1 2 P0.65 0.35 ()0.650.3520.05E X. Y -1 1 2 P0.4 0.25 0.35 ()0.40.2510.3520.55E Y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

44、 - - - -第 26 页，共 39 页 - - - - - - - - - - ()( 1)( 1)0.25( 1) 10.1( 1)20.32( 1)0.152 1 0.15220.050.25E XY7设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为e0( , )0yxyf x y，其它求（ 1）()E XY; (2) ()E XY. 解：()() ( , )E XYxy f x y dxdy0()3yxxy e dy dx0()() ( , )()3yxE XYxy f x y dxdyxy e dy dx8设随机变量X 与 Y 相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则 D(X-Y)= 3

45、 . ()()( )3D XYD XD Y9 设正方形的边长在区间 0， 2 服从均匀分布， 则正方形面积A=X2的方差为 _64/45_. 41()1,(),123E XD XX 的密度函数1/ 2,02( )0 xf x，其他2214()()()1.33E XE XD X24440116()( )dd25E Xx f xxxx2422216464()()()( )5345D XE XE X10设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2 P1/5 1/2 1/5 1/10 求 D(X). 解：22()()()D XE XE X，1111()101255105E X, 22221114()(

46、 1)01255105E X, 224119()()()52525D XE XE X. 11设随机变量X 的概率密度函数为| |1( )e2xf x，求 D(X )解：1()( )02xE Xxf x dxxedx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 22201()( )222xE Xx f x dxx e dx，22()()()2D XE XE X. 12设随机变量X，Y 相互独立，其概率密度函数分别为,01( )2,120,X

47、xxfxxx其它e ,0( )0,yYyfy其它求 D(X )，D(Y )，D(X-Y )解：由本章习题5 知()1E X，27()6E X，于是有221()()()6D XE XE X. 由(1)YE知()()1E XD X. 由于随机变量X，Y 相互独立，所以7()()( )6D XYD XD Y. 13设 D(X)=1,D(Y)=4,相关系数0.5XY，则 cov(X,Y)=_1_. cov(X,Y)=()( )1XYD X D Y14设二维随机变量(X, Y )的联合密度函数为1sin()0,0( ,)2220 xyxyf x y，其它求 cov(X,Y )，XY解：()( , )E

48、Xx f x y dxdy22001sin()24xxy dxdy, 22()( , )E Xx fx y dxdy222001sin()2xxy dxdy22011(cos +sin)2282xx dx, 2221()()()2162D XE XE X. 由对称性( )()4E YE X, 21()()2162D YD X. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 39 页 - - - - - - - - - - 2200()() ( , )12()sin()22E XYxy f

49、x y dxdyxyxy dxdy，cov(X,Y )=22()()( )().24E XYE X E Y=-0 0461，22cov( , )21() (2) =-0.2454.24162()( )XYx yD X D Y15设二维随机变量(X, Y )有联合概率密度函数1(),02, 02( , )80,xyxyf x y其它试求 E(X)，E(Y)，cov(X, Y)，XY解：()( , )E Xx f x y dxdy220017()86x xy dxdy, 由对称性7( )6E Y. 220014()() ( ,)()()83E XYxy f x y dxdyxyxy dxdy, c

50、ov(X,Y )= 1()()( )36E XYE X E Y. 222220015()() ( , )()()83E Xxfx y dxdyxxy dxdy, 2211()()()36D XE XE X. 由对称性11( )36D Y. cov( , )111()( )XYx yD X D Y16设 X, Y 相互独立， X N(0，1)，YN(1，2)，Z = X+2Y，试求 X 与 Z 的相关系数解：cov(,)cov(,2 )()2cov(, )101X ZX XYD XX Y, ()(2 )()4( )9D ZD XYD XD Y, cov( , )13()()xzx zD X D