2022年概率论核心概念及公式.pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料概率论与数理统计核心公式第 1章随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmPnm从 m个人中挑出n个人进行排列的可能数。)!( !nmnmCnm从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由m n 种

2、方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由中的部

3、分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B ，C ，表示事件，它们是的子集。为必然事件， ? 为不可能事件。不可能事件 （? ）的概率为零， 而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生） ：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于 B ：A=B 。A、B中至少有一个发生的事件： AB，或者A +B 。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与 B的差，记为A-B ，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B

4、不发生的事件。A、B同时发生： AB ，或者 AB 。AB= ? ，则表示A与 B不可能同时发生， 称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A (BC)=(A B)C 分配率：(AB)C=(A C)(BC) (AB)C=(AC) (BC) 德摩根率：11iiiiAABABA，BABA（7）概设为样本空间，A为事件， 对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

5、- - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料率的公理化定义三个条件：1 0P(A)1，2 P() =1 3 对于两两互不相容的事件1A，2A，有11)(iiiiAPAP常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件A的概率。（8）古典概型1n21,，2nPPPn1)()()(21。设任一事件A，它是由m21,组成的，则有P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPPnm基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的

6、可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，)()()(LALAP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) 0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= 时，P(B)=1- P(B) （12）条件概率定义 设 A 、B是两个事件， 且 P(A)0 ，则称)()(APABP为事件A发生条件下， 事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件

7、概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A) （13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可

8、能事件? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料那么A、B 、C相互独立。对于n 个事件类似。（15）全概公式设事件

9、nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，),2, 1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足11B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（

10、17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用 p 表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk, 2, 1 ,0。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2, )且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,

11、2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2 ,1k，（2）11kkp。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（2）连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连

12、续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：10)(xf。21)(dxxf。（3）离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设 X 为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1, 1)(0 xFx；2)(xF是单

13、调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5）八大分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n重贝努里试验中， 设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为n,2, 1 ,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2, 1 ,0, 10,1，则称随机变量X 服从参数为n，p的二项分布。 记为),(p

14、nBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1 .0k，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X 的分布律为ekkXPk!)(，0，2, 1 ,0k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（ np= ，n） 。超几何分布),min(,2, 1 ,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布, 3,2, 1,)(1kpqkXPk，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

15、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b 上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他，则称随机变量X在a，b上服从均匀分布，记为XU(a ，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当ax1x2b时，X落在区间（21,xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：!0nd

16、xexxn0，xb。axb)(xf,xe0 x, 0, 0 x, )(xF,1xe0 x, ,0 x0。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（ Gauss ）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1)(xf的图形是关于x对称的；2当x时，

17、21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为dtexFxt222)(21)(。 。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为) 1 ,0( NX，其密度函数记为2221)(xex，x，分布函数为xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1-(x) 且(0) 21。如果 X ),(2N，则X)1 ,0(N。1221)(xxxXxP。（6）分位数下分位表：)(XP；上分位表：)(XP。（7）函数分布离散型已知X的分布列为,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：,),(,),(),()(212

18、1nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x) 写出Y的分布函数FY(y) P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y) 。第三章 二维随机变量及其分布精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（1）联合分布离散型如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列

19、个有序对（x,y） ，则称 为离散型随机量。设=（X ，Y ）的所有可能取值为), 2, 1,)(,(jiyxji，且事件=),(jiyx 的概率为pij, 称),2, 1,(),(),(jipyxYXPijji为=（X ，Y ）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y Xy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1ijp这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）.1ijijp连续型对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf， 使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D ，即 D

20、=(X,Y)|axb,cyx1时，有F（x2,y ）F(x1,y); 当 y2y1时，有F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y）分别对x和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxx0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF，. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考

21、,如有侵权，请联系网站删除学习资料（4）离散型与连续型的关系dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，（5）边缘分布离散型X的边缘分布为), 2, 1,()(jipxXPPijjii；Y的边缘分布为),2, 1,()(jipyYPPijijj。连续型X的边缘分布密度为；dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为.),()(dxyxfyfY（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为；iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为)(),()|(yfyxf

22、yxfY；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型jiijppp有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y) 直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf0 随机变量的函数若 X1,X2, Xm,Xm+1,Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：h（X1，X2, Xm）和g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若X与 Y独立，则： h（X）和g（Y）独立。例如：若X与 Y独立，则： 3X+1和 5Y-2独立。

23、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为其他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域D的面积，则称（ X ，Y）服从D上的均匀分布，记为（ X，Y）U（D ） 。例如图3.1、图3.2 和图3.3。y 1 D1O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3

24、（9）二维正态分布设随机向量（X，Y ）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212yyxxeyxf其中1| , 0,0,21,21是 5个参数，则称 （X ，Y）服从二维正态分布，记为（X ，Y）N （).,2221, 21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN （).(),22,2211NY但是若X N （)(),22, 2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。D21 D3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，

25、共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（10）函数分布Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ对于连续型， fZ(z) dxxzxf),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,） 。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。iiiC，iiiC222Z=max,min(X1,X2, Xn) 若nXXX21,相互独立，其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx，则Z=max,min(X1,X2, Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)

26、(1)(1)(11)(21minxFxFxFxFnxxx2分布设 n 个随机变量nXXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和niiXW12的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn我们称随机变量W服从自由度为n的2分布，记为W )(2n，其中.2012dxexnxn所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性：设),(2iinY则).(2112kkiinnnYZt 分布设 X ，Y是两个相互独立的随机变量，且),(),1 , 0(2nYNX可以证明函数nYXT/的概率密度为2121221)(nntnnntf).

27、(t我们称随机变量T服从自由度为n的 t 分布，记为Tt(n) 。)()(1ntnt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料F分布设)(),(2212nYnX， 且 X与Y独立， 可以证明21/nYnXF的概率密度函数为0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的

28、 F分布，记为Ff(n1, n2). ),(1),(12211nnFnnF第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设 X是离散型随机变量，其分布律为P(kxX)pk，k=1,2,n，nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X是连续型随机变量，其概率密度为f(x) ，dxxxfXE)()(（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X) nkkkpxgYE1)()(Y=g(X) dxxfxgYE)()()(方差D(X)=EX-E(X)2，标准差)()(XDX，kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2矩对于正整数k，称随机变量X的 k 次幂的

29、数学期望为X的 k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk)= iikipx, k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X与 E （X ）差的k 次幂的数学期望为X的k 阶中心矩， 记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X的 k 次幂的数学期望为X的 k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk)=,)(dxxfxkk=1,2, . 对于正整数k，称随机变量X与 E （X ）差的k 次幂的数学期望为X的k 阶中心矩， 记为k，即.)(kkXEXE=,)()(dxxfXExkk=1,2, . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

30、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X ）=，方差D （X ）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式22)( XP切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率)( XP的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质E(C)=C ）E(CX)=CE(X) ）E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，niniiiiiXECXCE11)()(）E(XY)=E(X) E(Y) ，充

31、分条件： X和 Y独立；充要条件：X和 Y不相关。（3）方差的性质D(C)=0 ；E(C)=C ）D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X) ）D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b ）D(X)=E(X2)-E2(X) ）D(X Y)=D(X)+D(Y) ，充分条件： X和 Y独立；充要条件：X和 Y不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y) ，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1 分布), 1(pBp )1 (pp二项分布),(pnBnp )1(pnp泊松分布)

32、(P几何分布)( pGp121pp超几何分布),(NMnHNnM11NnNNMNnM均匀分布),(baU2ba12)(2ab指数分布)(e121正态分布),(2N2分布2n 2n t 分布0 2nn(n2) （5）二维随机变量的数字特征期望niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGEijijjipyxG),(),(YXGEdxdyyxfyxG),(),(精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 20 页 - - -

33、 - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料方差iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2dyyfYEyYDY)()()(2协方差对于随机变量X与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X与 Y的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY与记号XY相对应，X与Y的方差D （X ）与 D （Y）也可分别记为XX与YY。相关系数对于随机变量X与 Y，如果D （X）0, D(Y)0，则称)()(YDXDXY为 X与 Y的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。| 1，当

34、|=1 时， 称X与 Y完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵YYYXXYXX混合矩对于随机变量X与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为X与 Y的 k+l 阶混合原点矩，记为kl；k+l 阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu（6）协方差的性质cov (X, Y)=cov (Y, X); )cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); i)

35、cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); )cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （7）独立和不相关若随机变量X与 Y相互独立，则0XY；反之不真。若（X，Y）N（,222121） ，则 X与 Y相互独立的充要条件是X和 Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（1）大数定律X切比雪夫大数

36、定律设随机变量X1，X2，相互独立， 均具有有限方差， 且被同一常数C所界：D （Xi）C(i=1,2, ), 则对于任意的正数，有.1)(11lim11niiniinXEnXnP特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为. 11lim1niinXnP伯努利大数定律设是n 次独立试验中事件A发生的次数， p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有. 1limpnPn伯努利大数定律说明， 当试验次数n 很大时， 事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即. 0limpnPn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1，X2， Xn，是相互独

37、立同分布的随机变量序列， 且 E （Xn）=，则对于任意的正数有. 11lim1niinXnP（2） 中心极限定理),(2nNX列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2, 1(0)(,)(2kXDXEkk， 则随机变量nnXYnkkn1的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212此定理也称为 独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量nX为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有xtnndtexpnpnpXP.21)1(lim22（3）二项定理若当),

38、(,不变时knpNMN，则knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N超几何分布的极限分布为二项分布。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料（4）泊松定理若当0,npn时，则ekppCkknkkn!)1().(n其中 k=0 ，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中， 常把被考察对象的某一个

39、 （或多个） 指标的全体称为总体（或母体） 。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量） 。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,21称为样本。 样本中所含的样品数称为样本容量， 一般用n 表示。 在一般情况下， 总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,21表示 n个随机变量 （样本） ；在具体的一次抽取之后，nxxx,21表示 n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设nxxx,21为总体的一个样本，称（nxxx,21）为样本

40、函数， 其中为一个连续函数。 如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,21）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本k 阶原点矩nikikkxnM1.,2, 1,1样本k 阶中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE, 其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布正态分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1 , 0(/Nnxudef精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

41、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料t 分布设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(/ntnsxtdef其中t(n-1) 表示自由度为n-1 的 t 分布。分布2设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1() 1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1 的2分布。F分布设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,2

42、1为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1, 1(/2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS) 1, 1(21nnF表示第一自由度为11n， 第二自由度为12n的F分布。（3）正态总体下分布的性质X与2S独立。第七章 参数估计（1） 点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数m,21，则其分布函数可以表成).,;(21mxF它的k阶原点矩),2, 1)(mkXEvkk中也包含了未知参数m,21，即),(21mkkvv。又设nxxx,21为总体X的n个样本值，其样本的k 阶原点矩为nikixn11).,2, 1

43、(mk这样， 我们按照 “当参数等于其估计量时， 总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的m个方程中， 解出的m个未知参数),(21m即为参数（m,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)?(g为)(g的矩估计。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删

44、除学习资料极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为),;(21mxf，其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本，称),;(),(11122nimimxfL为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为),;(21mxpxXP，则称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值，则称m,21分别为m,21的最大似然估计值， 相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2, 1,0ln若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)?(g为)(g的极大似然

45、估计。（2） 估计量的评选标准无偏性设),(21nxxx为未知参数 的估计量。若E （）=，则称为的无偏估计量。E（X）=E （X） ， E（S2）=D （X）有效性设),(2111nxxx和),(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。一致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有,0)|(|limnnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)?(nD则为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3） 区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数 。

46、 如果我们从样本nxxx,21出发，找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21，使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数 ，即,121P那么称区间,21为的置信区间， 1为该区间的置信度 （或置信水平） 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料单正态总体的期望和方差的区间估计设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本，在置信度为1

47、下，我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下：（i ）选择样本函数；（ii ）由置信度1，查表找分位数；（iii ）导出置信区间,21。已知方差，估计均值（i ）选择样本函数).1 , 0(/0Nnxu(ii) 查表找分位数.1/0nxP（iii）导出置信区间nxnx00,未知方差，估计均值（i ）选择样本函数).1(/ntnSxt(ii)查表找分位数.1/nSxP（iii）导出置信区间nSxnSx,方差的区间估计（i ）选择样本函数).1()1(222nSnw（ii ）查表找分位数.1)1(2221SnP（iii）导出的置信区间SnSn121,1第八章 假设检验基本思想假设检验的统计思想

48、是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用 H1表示。这里所说的小概率事件就是事件RK，其概率就是检验水平， 通常我们取=0.05，有时也取0.01 或 0.10。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共

49、 20 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除学习资料基本步骤假设检验的基本步骤如下：提出零假设H0；)选择统计量K ；i)对于检验水平查表找分位数；)由样本值nxxx,21计算统计量之值K ；将与K进行比较， 作出判断： 当)(|KK或时否定H0，否则认为H0相容。两类错误第一类错误当 H0为真时， 而样本值却落入了否定域， 按照我们规定的检验法则， 应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立 （即否定了真实的假设），称这种错误为 “以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P否定H0|H0为真=；

50、此处的恰好为检验水平。第二类错误当 H1为真时， 而样本值却落入了相容域， 按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立 （即接受了不真实的假设）， 称这种错误为 “以假当真” 的错误或第二类错误， 记为犯此类错误的概率，即P接受H0|H1为真=。两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地， 变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。在实际使用时， 通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平。 大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可 “以假为真” 、而不愿“以真当假” 时，则应把取得很