2022年正弦定理高中数学教学设计.pdf

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1、课题：正弦定理科目数学教学对象高二学生课时一课时提供者申云单位长治市第十七中一、教学目标1知识与技能：让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系， 引导学生通过观察，实验，猜想， 验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理， 掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2过程与方法： 通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3情感态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身

2、体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学内容及模块整体分析本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修5 （人教 A版）第一章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛。根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生

3、对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、 “等积法”、 “外接圆法”、 “ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神三、学情分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修4 中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理的

4、认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一，课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种亲和力与认同感。四、教学策略选择与设计本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

5、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。五、教学重点及难点教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理的猜想提出过程。六、教学过程教师活动学生活动设计意图（一）结合实例，激发动机教师：展示情景图如图1，船从港口 B航行到港口 C ，测得 BC的距离为 600m，船在港口 C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得 CA距离，如果船上有测角仪

6、我们能否计算出 A、B的距离？教师：若已知测得75BAC，45ACB，要计算 A、B两地距离，你有办法解决吗？ （图 1）老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角。直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。教师：引导，ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？解：过 A作ADBC于 D学生：思考提出测量角A，C 学生：思考交流，画一个三角 形A B C， 使 得B C为6cm ，75B A C，45A C B，量 得 A B距离约为4.9cm，利用三角形相似性

7、质可知 AB约为490m 。学生：思考，交流，得出过 A作ADBC于 D 如图 2，把ABC分为两个直角三角形，解题过程，学生阐述，教师板书。兴 趣 是 最 好的老师。如果一 节 课 有 良好的开头，那就 意 味 着 成功的一半。因此， 我通过从学 生 日 常 生活 中 的 实 际问题引入，激发学生思维，激 发 学 生 的求知欲，引导学 生 转 化 为解 直 角 三 角形的问题，在解决问题后，对 特 殊 问 题一般化，得出一 个 猜 测 性的 结 论 猜想， 培养学生 从 特 殊 到一 般 思 想 意识， 培养学生创 造 性 思 维能力。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

8、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 在Rt ACD中， sinADACBAC2sin60030022ADACACBm45ACB，75BAC18060ABCACBACB在Rt ABD中， sinADABCAB300 2200 6sin32ADABmABC教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若ACb，ABc，能否用B 、b、C表示c呢？教师：引导学生再观察刚才解题过程。教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？教师：引导sinsinbCcB，sinsinaCcA

9、，学 生 ： 发 现 sinADCb，sinADBcsinsinADbCcBsinsinbCcB学 生 ： 发 现 即 然 有sinsinbCcB， 那 么 也 有sinsinaCcA，sinsinbAaB。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - sinsinbAaB， 我 们 习 惯 写 成 对 称 形 式sinsincbCB，sinsincaCA，sinsinabAB， 因 此 我 们 可 以 发 现sinsinabABsincC，是

10、否任意三角形都有这种边角关系呢？（二）数学实验，验证猜想教师：给学生指明一个方向，我 们 先 通 过 特 殊 例 子 检 验sinsinabABsincC是否成立，举出特例。（1）在 ABC中， A，B，C分别为 60 ， 60 ， 60 ，对应的边长 a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值分别为23，23，23，引导学生考察Aasin，Bbsin，Ccsin的关系。 （学生回答它们相等）（2） 、在 ABC中， A，B，C分别为 45 ， 45 ， 90 ，对应的边长 a：b：c 为 1：1：2 ，对应角的正弦值分别为22，22，1； （学生回答它们相等）（3） 、在 ABC中， A，B

11、，C分别为 30 ， 60 ， 90 ，对应的边长 a：b：c 为 1：3：2，对应角的正弦值分别为21，23，1。 （学生回答它们相等）（图 3）让 学 生 体 验数学实验，激起 学 生 的 好奇 心 和 求 知欲望。 学生自己进行实验，体 会 到 数 学实 验 的 归 纳和 演 绎 推 理的两个侧面。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （图 3）教师：对于Rt ABC呢？教师：那么任意三角形是否有sinsinsinabcABC呢？

12、学生按事先安排分组，出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。 ）教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，sinaA、sinbB、sincC值仍然保持相等。我们猜想：Aasin=Bbsin=Ccsin学生： 思考交流得出，如图 4，在RtABC 中 ，设BC=a,AC=b,AB=c, 则有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc, 则sinsinsinabccABC从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据计算

13、，比较sinaA、sinbB、sincC的近似值。（三）证明猜想，得出定理教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思学生：思考得出在RtABC中，成立，如前面检验。经 历 证 明 猜想的过程，进一 步 引 导 启发 学 生 利 用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 想方法证明sinsinsinabcABC呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组讨论，每组派一个代表总结。 （以下证明过程，根据学生回答

14、情况进行叙述）在锐角三角形中，如图5设BCa，CAb，ABc作：ADBC，垂足为 D在Rt ABD中， sinADBABsinsinADABBcB在Rt ADC中， sinADCACsinsinADACCbCsinsincBbCsinsincbCB同理， 在ABC中，sinsinacACsinsinsinabcABC在钝角三角形中，如图6设C为 钝 角 ，BCa，CAb，ABc作ADBC交BC的延长线于 D在Rt ADB中，sinADBABsinsinADABBcB在Rt ADC中，sinADACDACsinsinADACACDbACBsinsincBbACBsinsincbACBB同 锐 角

15、 三 角 形 证 明 可 知sinsinacACsinsinsinabcABACB已 有 的 数 学知 识 论 证 猜想， 力图让学生 体 验 数 学的学习过程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。（四）利用定理，解决引例教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。学生：马上得出在ABC中，18060 ,sinsincbBACCBsin600sin45200 6

16、sinsin 60bCcmB利 用 正 弦 定理， 重新解决引例， 让学生体 会 用 新 的知识， 新的定理， 解决问题更方便，更简单， 激发学生不 断 探 索 新知识的欲望。（五）了解解三角形概念教师：一般地，把三角形的三个角A、 B 、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。让 学 生 了 解解 三 角 形 概念， 形成知识的完整性（六）运用定理，解决例题教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如sinsinbAaB；如果

17、已知三角形任意两边自 己 解 决 问题， 提高学生学 习 的 热 情和动力，使学生 体 验 到 成功的愉悦感，变“要我学”为 “我要学”，“我要研究”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 师生：例 1 的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。例 1： 在ABC中， 已知30A，45B，6acm，解三角形。分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为 18

18、0 求出第三个角 C，再由正弦定理求其他两边。例2： 在ABC中 ， 已 知22a，2 3b，45A，解三角形。例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。与其中一边的对角，求另一边与另两角，如sinsinaABb。学生：反馈练习（教科书第 5页的练习）的主动学习。（七）尝试小结教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容（2sinsinsinabcRABC）及其证明思想方法。（2）正弦定理的应用范围：已知三角形中两角及一边，求其他元素；已知

19、三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。（3）分类讨论的数学思想。学生：思考交流，归纳总结。通 过 学 生 的总结， 培养学生 的 归 纳 总结 能 力 和 语言表达能力。（八）作业设计作业： 1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程；为 保 证 学 生有 充 足 的 时间 来 完 成 观察、归纳、猜想、 探究和证精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2、思考：证法五与证法一有何联系？3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正

20、弦定理？4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。明， 小结的时间 花 得 少 且比较简单，这将 在 下 一 节课进行完善，因 此 作 业 的布 置 也 为 下节 课 做 一 些必要的准备。七、教学评价设计1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么利与弊？2、从本课中你学到了哪些知识和方法？八、板书设计1、推导余弦定理及其推论2、例 3、例 4 3、练习指导4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -