2022年武汉市届高三2月调研测试数学理试题含答案.pdf

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1、武汉市 2014届高三 2 月调研测试数学（理科）2014.2.20 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 m(3i)(2i)（mR，i 为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）甲组乙组9 0 9 x 2 1 5 y 8 7 4 2 4 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则 x， y 的值分别为A2，6 B2，7 C3，6 D3，7 3已知 e1，e2是夹角为60 的两个单位向量，若a

2、e1e2，b 4e12e2，则 a 与 b 的夹角为A30B60C120D1504 张丘建算经卷上第22 题“ 女子织布 ” 问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同已知第一天织布5 尺， 30 天共织布390 尺，则该女子织布每天增加A47尺B1629尺C815尺D1631尺5阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序若输入某个正整数n 后，输出的 S(31，72)，则 n 的值为A5 B6 C7 D8 6若 (9x13x)n（nN*）的展开式的第3 项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A252 B 252 C84 D 84 7设 a，bR，则 “ a1b2b1a2

3、1” 是“ a2b2 1” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H 分别是棱A1B1，D1C1上的点（点 E 与 B1不重合）， 且 EHA1D1， 过 EH 的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G设AB2AA1 2a在长方体ABCD-A1B1C1D1内 随 机 选 取 一 点 ， 记 该 点 取 自 于 几 何 体A1ABFE-D1DCGH 内的概率为P，当点 E，F 分别在棱A1B1，BB1上运动且满足EFa 时，则 P 的最小值为D1 C1 B1 A1 ABCDEGFH精品资料 - - - 欢迎下

4、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - A1116B34C1316D789若 S1121xdx，S212(ln x1)dx，S312xdx，则 S1，S2，S3的大小关系为AS1S2S3BS2S1S3CS1S3S2DS3S1S210如图，半径为2 的半圆有一内接梯形ABCD，它的下底AB 是 O 的直径，上底CD 的端点在圆周上 若双曲线以A，B 为焦点， 且过 C，D 两点， 则当梯形 ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为A31 B2 32 C31 D2 3

5、2 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5 小题，每小题5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分（一）必考题（1114 题）11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为12曲线 ysinxx在点 M( ，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三角形内部与边界）若点P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则x4y 的最大值为13如下图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小正方形个数为 f(n)，则（） f(5)；（） f(n)14已知函数f(x)3sin2x2cos2xm 在区间

6、 0，2上的最大值为3，则（） m；（）对任意aR，f(x)在a，a20 上的零点个数为（二）选考题（请考生在第15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑如果全选，则按第15 题作答结果计分 ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 15 （选修 4-1：几何证明选讲 ）如图， O 的直径 AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点 P， E 为O 上一点，AEAC， DE 交 AB 于

7、点 F 若AB4，BP3，则 PF16 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 (2cos sin )a0 与曲线xsin cos ，y1sin2 （为参数）有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围为三、解答题：本大题共6 小题，共75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分12 分）在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知 sin(AB)cosC（）若 a3 2，b10，求 c；（）求acosCccosAb的取值范围18 （本小题满分12 分）已知数列 an满足 a10，

8、an12|an|，nN*（）若 a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（）是否存在a1，使数列 an 为等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由19 （本小题满分12 分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C 是边长为4 的正方形， 平面 ABC平面 AA1C1C，AB3，BC5（）求直线B1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值；（）在线段BC1上确定一点D，使得 ADA1B，并求BDBC1的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - -

9、 - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 20 （本小题满分12 分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判（）求第4 局甲当裁判的概率；（）用 X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求X 的分布列和数学期望21 （本小题满分13 分）如图，矩形ABCD 中， |AB| 2 2，|B

10、C|2E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，分别以 HF ，EG 所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，已知OROF，CRCF，其中 0 1（）求证：直线ER 与 GR 的交点 M 在椭圆 ：x22y21 上；（）若点N 是直线 l：yx2 上且不在坐标轴上的任意一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，直线NF1和 NF2与椭圆 的交点分别为P、Q 和 S、T是否存在点N，使得直线 OP、OQ、OS、OT 的斜率 kOP、kOQ、kOS、kOT满足 kOP kOQkOSkOT 0？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由22 （本小题满分14 分）（）已知函数f(x)ex1

11、tx，? x0R，使 f(x0) 0，求实数 t 的取值范围；（）证明：bablnbabaa，其中 0ab；（）设x表示不超过x 的最大整数， 证明：ln(1 n) 112 1n1 lnn（nN*） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 武汉市 2014届高三 2 月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1B 2D 3C 4B 5B 6C 7A 8D 9A 10D 二、填空题11323 124 13 （） 41； （）

12、2n2 2n1 14 （） 0； （） 40 或 41 15215160，12) 三、解答题17 （本小题满分12 分）解： （）由 sin(AB)cosC，得 sin(AB)sin(2C)ABC 是锐角三角形，AB2C，即 ABC2，又 ABC ，由，得B4由余弦定理b2c2a22cacosB，得 (10)2 c2(3 2)22c 3 2cos4，即 c26c80，解得 c2，或 c4当 c2 时， b2c2a2(10)222(32)2 40，b2c2a2，此时 A 为钝角，与已知矛盾，c2 故 c46分（）由（） ，知 B4，AC34，即 C34AacosCccosAbsinAcosCco

13、sAsinCsinBsin(A C)222sin(2A34)ABC 是锐角三角形，4A2，42A344，22sin(2A34)22， 1acosCccosAb1故acosCccosAb的取值范围为 (1，1)12分18 （本小题满分12 分）解： （） a10，a22|a1|2a1，a32|a2| 2|2a1|当 0a12 时， a32 (2a1)a1， a21 (2a1)2，解得 a11当 a12 时，a32(a1 2)4a1，a1(4a1)(2a1)2，解得 a122 （舍去）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

14、 - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 或 a122综上可得 a11 或 a1226分（）假设这样的等差数列存在，则由 2a2a1a3，得 2(2a1)a1(2|2a1|)，即 |2a1|3a12当 a12 时， a123a12，解得 a10，与 a12 矛盾；当 0a12 时， 2a1 3a12，解得 a11，从而 an1（nN*） ，此时 an 是一个等差数列；综上可知，当且仅当a1 1 时，数列 an为等差数列 12 分19 （本小题满分12 分）解： （） AA1C1C 为正方形， AA1AC平面 ABC平面 AA1C1C，AA1平面 AB

15、C，AA1AC，AA1AB由已知 AB3，BC5，AC4， ABAC如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz，则 B(0，3，0)， A1(0，0， 4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)，A1B(0，3，4)，A1C1(4，0，0)，B1C1(4， 3，0)设平面 A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则nA1B0，nA1C10即3y4z0，4x0令 z3，则 x0，y4， n(0，4，3)设直线 B1C1与平面 A1BC1所成的角为 ，则sin |cosB1C1，n|B1C1 n|B1C1|n|3 45 51225故直线 B1C1与平面 A1BC1所成角的正弦值为12256分

16、（）设 D(x，y，z)是线段 BC1上一点，且BDBC1（ 0，1） ，(x，y3，z) (4， 3，4)，x4 ，y33 ，z4 ，AD(4 ，33 ，4 )又A1B(0，3，4)，由ADA1B0，得 3(33 )4 4 0，即 925 0，解得 9250，1故在线段 BC1上存在点D，使得 ADA1B精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 此时BDBC1 92512分20 （本小题满分12 分）解： （）记 A1表示事件 “ 第

17、2 局结果为甲胜 ” ，A2表示事件 “ 第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负” ，A 表示事件 “ 第 4 局甲当裁判 ” 则 AA1 A2P(A)P(A1 A2)P(A1)P(A2)144分（） X 的可能取值为0，1，2记 A3表示事件 “ 第 3 局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙” ，B1表示事件 “ 第 1 局结果为乙胜丙” ，B2表示事件 “ 第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲” ，B3表示事件 “ 第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负” 则 P(X0)P(B1 B2 A3)P(B1)P(B2)P(A3)18，P(X2)P(B1- B3)P(B1-)P(B3)14，P(X1)1P(X0)

18、P(X2)1181458X 的分布列为X0 1 2 P185814E(X)0181582149812分21 （本小题满分13 分）解： （）由已知，得F( 2，0)，C(2，1)由OROF ，CR CF，得 R( 2 ，0)， R (2，1 )又 E(0，1)，G(0，1)，则直线 ER 的方程为 y12x1，直线 GR 的方程为 y2x1由，得M(2212，1212)(2 212)22(1212)242(12)2(12)2(12)2(12)21，直线 ER 与 GR 的交点 M 在椭圆 ：x22y21 上 5分（）假设满足条件的点N(x0， y0)存在，则精品资料 - - - 欢迎下载 -

19、- - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 直线 NF1的方程为 yk1(x1)，其中 k1y0 x01，直线 NF2的方程为 yk2(x1)，其中 k2y0 x01由yk1(x1)，x22y21消去 y 并化简，得 (2k211)x24k21x2k2120设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x24k212k211， x1x22k2122k211OP，OQ 的斜率存在，x1 0，x2 0， k21 1kOPkOQy1x1y2x2k1(x11)x1k1(x21)x2

20、2k1k1x1x2x1x2k1(24k212k212)2k1k211同理可得 kOSkOT2k2k221kOPkOQkOSkOT 2(k1k211k2k221) 2k1k22k1k21k2k2(k211)(k22 1)2(k1k2)(k1k21)(k211)(k221)kOPkOQkOSkOT0，2(k1k2)(k1k21)(k211)(k221)0，即 (k1k2)(k1k21)0由点 N 不在坐标轴上，知k1k2 0，k1k21，即y0 x01y0 x011又 y0 x02，解，得x054，y034故满足条件的点N 存在，其坐标为（54，34） 13分22 （本小题满分14 分）解： （）

21、若 t0，令 x1t，则 f(1t) et1110；若 t0，f (x)ex10，不合题意；若 t0，只需 f(x)min0 求导数，得f (x)ex1t令 f (x) 0，解得 xlnt1当 xlnt1 时， f (x)0， f(x)在(，lnt1)上是减函数；当 xlnt1 时， f (x)0， f(x)在(ln t1， )上是增函数故 f(x)在 xlnt1 处取得最小值f(lnt1) tt(ln t1)tlnttlnt0 ，由 t0，得 lnt 0， t 1综上可知，实数t 的取值范围为 (，0)1，+) 4分（）由（） ，知 f(x) f(lnt1)，即 ex1txtlnt精品资料

22、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 取 t1，ex1x 0，即 xex1当 x0 时， lnx x1，当且仅当x1 时，等号成立，故当 x0 且 x1时，有 lnxx1令 xba，得 lnbaba1（0ab） ，即 lnbabaa令 xab，得 lnabab1（0ab） ，即 lnbaa bb，亦即 lnbabab综上，得bablnbabaa9分（）由（） ，得bablnbabaa令 ak，bk1（kN*） ，得1k1lnk1k1k对于 ln

23、k1k1k，分别取k1，2， n，将上述 n 个不等式依次相加，得ln21 ln32lnn1n1121n，ln(1n)1121n对于1k1lnk1k，分别取 k1，2，n1，将上述 n1 个不等式依次相加，得12131nln21ln32 lnnn1，即12131nlnn（n 2） ，1121n 1lnn（nN*） 综合，得ln(1n)1121n 1lnn易知，当 pq 时， p q，ln(1 n) 1121n 1lnn（nN*） 又 1lnn1ln n，ln(1 n) 1121n1 lnn（nN*） 14分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -