1997年考研数学三真题及答案.doc

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1、1997年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 设,其中可微,则_.(2) 若,则_.(3) 差分方程的通解为_.(4) 若二次型是正定的,则的取值范围是_.(5) 设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从_分布(2分),参数为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设,则当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若,在内

2、,且,则在内有 ( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(3) 设向量组,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) , (B) ,(C) ,(D) ,一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 设,其中可微,则_.(2) 若,则_.(3) 差分方程的通解为_.(4) 若二次型是正定的,则的取值范围是_.(5) 设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从_分布(2分),参数为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的

3、括号内)(1) 设,则当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若,在内,且,则在内有 ( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(3) 设向量组,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) , (B) ,(C) ,(D) ,(4) 设为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) (B) 存在可逆矩阵,使(C) 存在可逆矩阵,使 (D) 存在可逆矩阵和,使(5) 设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替代弹性生产函数,

4、而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称CD生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为CD生产函数,即有. 四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2) 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,试证函数在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛

5、物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1) 求；(2) 求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1) 计算并化简；(2) 证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3；矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是.(1) 求的属于特征值3的特征向量；(2) 求矩阵.十一、(本题满分7分)假设随机变量的绝对值不大于1；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成

6、正比.试求的分布函数.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第分钟到达底层候梯处,且在上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、数学期望和方差.答案一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】(2)【答案】 (3)【答案】 (4)【答案】(5)【答案】分布,参数为9二、选择题(本

7、题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)(2)【答案】(C) (3)【答案】(C) (4)【答案】(D)(5)【答案】(A)三、(本题满分6分.)化简有,即.三、(本题满分6分.)【分析】要证明,只须证明即可,因为为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算.【解析】因为,而且 所以, ,于是, .四、(本题满分5分.)【解析】由题设有. (*)在中,将视为的函数,两边对求导,得. (1)在中,将视为的函数,两边对求导,得. (2)将(1)、(2)两式代入()式,得.五、(本题满分6分)【分析】要求获得

8、最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出后,满足的即为利润最大时的销售量,此时,是的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值.【解析】(1)设为总税额,则.商品销售总收入为.利润函数为 .令,即,得.由于,因此,即为利润最大时的销售量.(2)将代入,得.由,得惟一驻点；由于,可见当时有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当时,显然连续,故只要证,且当时,即可.【解析】方法1：显然时,连续,又由洛必达法则知,所以在上连续.当时,

9、.由于单调不减,故,又,从而.于是有.故在上单调不减.化简有,即.七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线在任一点上的切线方程及其与轴的交点,然后依此类推,得出一系列与轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.O 1【解析】(1)由,得.对于任意,抛物线在点处的切线方程为.且该切线与轴的交点为,故由可见 (2)由于,可见.化简有,即. 八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于,可得.在积分中作换元,又有.于是,满足积分关系式.在上式中令得.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对求导,得.上述方程为关于的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得,其中常数待定.由可确定

10、常数,因此,.九、(本题满分6分)【解析】(1)由及,有(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有,又因是非奇异矩阵,所以,故.由此可知可逆的充要条件是,即,亦即.评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清是1阶矩阵,是一个数.十、(本题满分10分)【解析】(1)设的属于的特征向量为,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故解上述方程组,设方程组的系数矩阵为,对进行初等行变换：,系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 ,即的对应于的特征向量为其中为非零常数.(2)方法1：令,则有即,其中计算如下：得 ,.方法2：因是对称矩阵,不同

11、特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵(对单位化),使,其中.方法3：由于矩阵的特征值是1,2,3,特征向量依次为,利用分块矩阵有.因为是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵可逆.故【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出,另一个难点就是反求矩阵.十一、(本题满分7分)【分析】求分布函数实质上是求的概率.【解析】由的绝对值不大于1,可得当时,；当时,；又,则；由题意在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当的值属于的条件下,事件的条件概率为：(其中为比例正常数),又 ,而 ,所以,故；当时,所以.由条件概率公式,有,而 ,所

12、以 ,故所求的的分布函数为.十二、(本题满分6分)【解析】已知在上均匀分布,则其密度函数为： 设表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟起行,则当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间；当时,游客需等候时间(这个时间段到达,就需要等下个整点的第分钟,所以是).故是关于到达时刻的函数：由随机变量函数期望的定义,有十三、(本题满分6分)【解析】设表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为.由于每台无故障工作的时间都服从参数为的指数分布,则的概率密度函数为.因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当时,的概率密度为.当时,即由指数分布的期望和方差的结论,有,由期望的性质,有,由独立随机变量方差的性质,有.