1994年考研数学三真题及答案.doc

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1、1994年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) _.(2) 已知,则_.(3) 设方程确定为的函数,则_.(4) 设其中则_.(5) 设随机变量的概率密度为以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数,则_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条(2) 设常数,而级数收敛,则级数 ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关

2、(3) 设是矩阵,是阶可逆矩阵,矩阵的秩为,矩阵的秩为,则( )(A) (B) (C) (D) 与的关系由而定(4) 设,则 ( ) (A) 事件和互不相容 (B) 事件和相互对立(C) 事件和互不独立 (D) 事件和相互独立(5) 设是来自正态总体的简单随机样本,是样本均值,记则服从自由度为的分布的随机变量是 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分6分)计算二重积分其中.四、(本题满分5分)设函数满足条件求广义积分.五、(本题满分5分)已知,求.六、(本题满分5分)设函数可导,且,求.七、(本题满分8分)已知曲线与曲线在点处有公共切线,求:(1) 常数及切点；(2) 两曲线与

3、轴围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.八、(本题满分6分)假设在上连续,在内存在且大于零,记,证明在内单调增加.九、(本题满分11分)设线性方程组(1) 证明:若两两不相等,则此线性方程组无解；(2) 设,且已知是该方程组的两个解,其中写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设有三个线性无关的特征向量,求和应满足的条件.十一、(本题满分8分)假设随机变量相互独立,且同分布,求行列式的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润(单位:元)与销售零

4、件的内径有如下关系: 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(2)【答案】(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) (2)【答案】(C)(3)【答案】(C)(4)【答案】(D)(5)【答案】(B)三、(本题满分6分)方法1：由,配完全方得.令,引入极坐标系,则区域为.故 .方法2：由,配完全方得.引入坐标轴平移变换：则在新的直角坐标系中区域变为圆域.而,则有,代入即得.由于区域关于轴对称,被积函数是奇函数,从而.同理可得 , 又 ,故 .四、

5、(本题满分5分)先解出,此方程为常系数二阶线性齐次方程,用特征方程法求解.方程的特征方程为,解得.故原方程的通解为.由初始条件得因此,微分方程的特解为.再求积分即得 .五、(本题满分5分)由复合函数求导法,首先求,由题设可得.再对求偏导数即得.六、(本题满分5分)运用换元法,令,则由于为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,运用洛必达法则,可得 ,由导数的定义,有 原式.七、(本题满分8分)利用在两条曲线上及两曲线在处切线斜率相等列出三个方程,由此,可求出,然后利用旋转体体积公式求出. (1) 过曲线上已知点的切线方程为,其中,当存在时,.由知.由知.由于两曲线在处有公共切线,可见,

6、得.将分别代入两曲线方程,有.于是 ,从而切点为.(2) 将曲线表成是的函数,是两个旋转体的体积之差,套用旋转体体积公式,可得旋转体体积为 .八、(本题满分6分)方法1: ,令 由 知 在上单调上升,于是.故 .所以在内单调增加.方法2: .由拉格朗日中值定理知 ,.于是有 .由知在上单调增,从而,故.于是在内单调增加.九、(本题满分11分)(1)因为增广矩阵的行列式是范德蒙行列式,两两不相等, 则有,故 .而系数矩阵的秩,所以方程组无解.(2)当 时,方程组同解于因为,知.由,知导出组的基础解系含有1个解向量,即解空间的维数为1.由解的结构和解的性质,是的基础解系.于是方程组的通解为,其中为

7、任意常数.十、(本题满分8分)由的特征方程,按照第二列展开,有,得到的特征值为.由题设有三个线性无关的特征向量,因此,必有两个线性无关的特征向量,从而.这样才能保证方程组解空间的维数是2,即有两个线性无关的解向量.由初等行变换,将第一行加到第三行上,第一行乘以后加到第二行上有,由,得 和必须满足条件.十一、(本题满分8分)记则随机变量和相互独立且同分布,由与独立可得出,故.由行列式的计算公式,随机变量有三个可能取值：所求的行列式的概率分布列于下表: 0 10.1344 0.7312 0.1344十二、(本题满分8分)依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法,有 此时数学期望依赖于参数,为使其达到最大值,令其一阶导数为0,有令 ,得,即 .解上面的方程得 得到唯一驻点,因为此问题是实际问题,所以平均利润函数必然有最大值,而且这个最大值是唯一的.由题意知,当毫米时,平均利润最大.