2019年高考数学试卷答案解析合集.docx

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1、目录2019年全国理科高考数学试卷答案解析2019年全国文科高考数学试卷答案解析2019年全国理科高考数学试卷答案解析2019年全国文科高考数学试卷答案解析2019年全国理科高考数学试卷答案解析2019年全国文科高考数学试卷答案解析2019年北京理科高考数学试卷答案解析2019年北京文科高考数学试卷答案解析2019年天津理科高考数学试卷答案解析2019年天津文科高考数学试卷答案解析2019年江苏省高考数学试卷答案解析2019年浙江省高考数学试卷答案解析2019年上海春季高考数学试卷答案解析2019年上海秋季高考数学试卷答案解析第 55 页 共 296 页2019年普通高等学校招生全国统一考试（

2、全国 I卷）理科数学1.已知集合，则（ ）A. B.C. D. 答案：C解答：由题意可知,又因为,则，故选.2.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）A. B.C. D.答案：C解答：复数在复平面内对应的点为， 3.已知，则（ ）A. B.C.D.答案：B解答：由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，于是可得到：.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（

3、 ）A.B.C.D.答案：B解答：方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，根据题意可知,故；又，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，将代入可得所以，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长

4、度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近且身高应略小于，故选B.5. 函数在的图像大致为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：，为奇函数，排除A，又，排除C，排除B，故选D.6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有个阳爻的概率是（ ） A. B. C. D. 答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有种，在个位置上恰有个是阳爻的情况有种，所以.7. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.答案：B解答：设与的夹角为，.8.右图是

5、求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.B.C.D.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得，满足条件，选项B代入运算可得,不符合条件，选项C代入运算可得,不符合条件，选项D代入运算可得,不符合条件.9.记为等差数列的前项和.已知，则（ ） A. B. C. D. 答案：A解析：依题意有，可得，.10.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点.若，则的方程为（ ）A. B. C. D.答案：B解答：由椭圆的焦点为，可知，又，可设，则，根据椭圆的定义可知，得，所以，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，椭圆的方程为.11. 关于函数有下述四个结论：是偶函数 在区间单调

6、递增在有4个零点 的最大值为其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D.答案：C解答：因为，所以是偶函数，正确，因为，而，所以错误，画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以错误，结合函数图像，可知的最大值为，正确，故答案选C.12. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为的正三角形，分别是，的中点，则球的体积为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：设，则，,即，解得，又易知两两相互垂直，故三棱锥的外接球的半径为，三棱锥的外接球的体积为，故选D.13.曲线在点处的切线方程为 .答案：解答：，结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，切线方程为.14.记为等比数列的前项和，若，则

7、.答案：解答：，设等比数列公比为15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队以获胜的概率是 .答案：解答：甲队要以，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：.16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为 .答案：解答：由知是的中点，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，所以，.17. 的内角的对边分别

8、为.设.（1） 求；（2） 若，求.答案：略解答：（1） 由得结合正弦定理得又，.（2） 由得,又又，.18.如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点.（1） 证明：平面；（2） 求二面角的正弦值.答案：（1） 见解析；（2） .解答：（1） 连结和，分别是和的中点，且，又是，且，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2） 以为原点建立如图坐标系，由题，设平面的法向量为，平面的法向量为，由得，令得，由得，令得，二面角的正弦值为.19.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.（1） 若，求的方程；（2） 若，求.答案：（1）；（2）.解答：（1）设直线的方程为，设，联立直线

9、与抛物线的方程：消去化简整理得，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，可知，则，得，故可知满足，.20.已知函数,为的导函数.证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有个零点.答案：略解答：(1)对进行求导可得，取，则,在内为单调递减函数，且，所以在内存在一个，使得，所以在内，为增函数；在内，为减函数，所以在在区间存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当时，单调增，且，可得则在此区间单调减；当时，单调增，且，则在此区间单调增；又则在上有唯一零点.当时，单调减，且，则存在唯一的，使得，在时，单调增；当时，单调减，且，所以在上无零点；当时，单调减，

10、单调减，则在上单调减, ,所以在上存在一个零点.当时，恒成立，则在上无零点.综上可得，有且仅有个零点.21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则

11、两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中，假设，（i）证明：为等比数列；（ii）求，并根据的值解释这种实验方案的合理性答案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：、得分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则；得分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则；得分时是都治愈或都未治愈，则则的分布列为：（2）（i）因为，则，可得，则，则，则，所以为等比数列（ii）的首项为，那么可得：，以上7个式子相加，得

12、到，则，则，再把后面三个式子相加，得，则表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而的确非常小，说明这种实验方案是合理的22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1） 求和的直角坐标方程；（2） 求上的点到距离的最小值.答案：略解答：(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到而直线：将代入即可得到（2） 将曲线化成参数方程形式为则所以当时，最小值为23. 已知为正数，且满足，证明：（1）（2）答

13、案：见解析：解答：（1） ，.由基本不等式可得：，于是得到.（2） 由基本不等式得到：，.于是得到2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 I卷）文科数学1. 设，则（ ）A.B.C.D.答案：C解析：因为所以2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 答案：C解析：，则，又，则，故选C.3.已知，则（ ）A. B.C.D.答案：B解答：由对数函数的图像可知：；再有指数函数的图像可知：，于是可得到：.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .

14、若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）A.B.C.D.答案：B解析：方法一：设头顶处为点，咽喉处为点，脖子下端处为点，肚脐处为点，腿根处为点，足底处为，根据题意可知,故；又，故；所以身高，将代入可得.根据腿长为，头顶至脖子下端的长度为可得，；即，将代入可得所以，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是（称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为，头顶

15、至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为，与答案更为接近，故选B.6. 函数在的图像大致为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：，为奇函数，排除A.又，排除C，排除B，故选D.6.某学校为了解名新生的身体素质，将这些学生编号为，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取名学生进行体质测验，若号学生被抽到，则下面名学生中被抽到的是（ ）. A.号学生 B.号学生 C.号学生 D.号学生答案：C解答：从名学生中抽取名，每人抽一个，号学生被抽到，则抽取的号数就为，可得出号学生被抽到.7. （ ）A.B.C.D.答案：D解析：因为

16、化简可得8. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C.D.答案：B解答：，且，有，设与的夹角为，则有，即，故与的夹角为，选.9. 右图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.B.C.D.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A代入运算可得，满足条件，选项B代入运算可得,不符合条件，选项C代入运算可得,不符合条件，选项D代入运算可得,不符合条件.10.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）A.B.C.D.答案：D解答：根据题意可知，所以，离心率.11. 的内角的对边分别为，已知，则（ ）A.B.C.D.答案：A解答：由正弦定理可得到：，即，又由余弦定理

17、可得到：，于是可得到12. 已知椭圆的焦点坐标为，过的直线与交于，两点，若，则的方程为（ ）A.B.C.D.答案：B解答：由，设，则，根据椭圆的定义，所以，因此点即为椭圆的下顶点，因为，所以点坐标为，将坐标代入椭圆方程得，解得，故答案选B.13.曲线在点处的切线方程为 .答案：解答：，结合导数的几何意义曲线在点处的切线方程的斜率，切线方程为.14. 记为等比数列的前项和，若，则 .答案：解析：，设等比数列公比为所以15函数的最小值为_答案：解答：，因为，知当时取最小值，则的最小值为16.已知，为平面外一点，点到两边的距离均为，那么到平面的距离为 .答案：解答：如图，过点做平面的垂线段，垂足为，

18、则的长度即为所求，再做，由线面的垂直判定及性质定理可得出，在中，由，可得出，同理在中可得出，结合，可得出，17.某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满 意不 满 意 男 顾 客女 顾 客（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2） 能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：答案：(1)男顾客的的满意概率为女顾客的的满意概率为(2) 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.解答：（1） 男顾客的的满意概率为女顾客的的满意概率为. (2) 有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异

19、.18.记为等差数列的前项和，已知；（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围.答案：（1）（2）解答：（1）由结合可得，联立得，所以（2）由可得，故，.由知，故等价于，解得，所以的取值范围是19. 如图直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点.（1）证明：平面（2）求点到平面的距离.答案：见解析解答：（1）连结相交于点，再过点作交于点，再连结，.分别是的中点.于是可得到，于是得到平面平面，由平面，于是得到平面（2）为中点，为菱形且，又为直四棱柱，又，设点到平面的距离为由得解得所以点到平面的距离为20. 已知函数，是的导数.（1） 证明：在区间存在唯一零点；（2） 若时，求的取值范围.答案

20、：略解答：（1） 由题意得令，当时，单调递增，当时，单调递减，的最大值为，又，即，在区间存在唯一零点.（2） 令，由（1）知在上先增后减，存在，使得，且，在上先增后减，当时，在上小于，单调递减，又，则不合题意，当时，即，时，若，在上单调递增，在上单调递减，则解得，而解得，故，若，在上单调递增，且，故只需解得；若，在上单调递增，且，故存在时，不合题意，综上所述，的取值范围为.21. 已知点关于坐标原点对称，过点且与直线相切.（1） 若在直线上，求的半径；（2） 是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由.答案：（1） 或；（2） 见解析.解答：（1） 过点，圆心在的中垂线上即直线上，设圆的方

21、程为，又，根据得；与直线相切，联解方程得或.（2） 设的坐标为，根据条件即化简得，即的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，所以存在定点，使.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（3） 求和的直角坐标方程；（4） 求上的点到距离的最小值.答案：略解答：(1)曲线:由题意得即，则，然后代入即可得到而直线：将代入即可得到（3） 将曲线化成参数方程形式为则所以当时，最小值为23.已知，为正数，且满足，证明：（1） ；（2） .答案：（1）见解析；（2）见解析.解析：（1），即，当且仅当时取等号.且，都为正数，故.（2），当且仅当时等

22、号成立，即时等号成立.又，当且仅当时等号成立，故，即得.2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷）理科数学一、选择题1. 设集合，则( )A.B.C.D.答案：A解答：或，.2. 设,则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：C解析：，对应的点坐标为,故选C.3已知， ， ，则（ ）A.B.C.D.答案：C解答：，解得，.42019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥

23、沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程。设。由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ ）ABCD答案：D解答：所以有化简可得，可得。5. 演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A 中位数B 平均数C 方差D极差答案：A解答：由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高

24、分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。6. 若，则（ ）A. B.C. D. 答案：C解答：由函数在上是增函数，且，可得，即.7. 设为两个平面，则的充要条件是( )A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. 平行于同一条直线D. 垂直于同一平面答案：B解析：根据面面平行的判定定理易得答案.选B.8. 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）A.2B.3C.4D.8答案：D解答：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，.9. 下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（ ）A.B.C.D.答案：A解答：对于A,函数的周期,在区间单调递增,符合题意；对于B,

25、函数的周期,在区间单调递减,不符合题意；对于C，函数，周期,不符合题意；对于D,函数的周期,不符合题意.10. 已知，则（ ）A. B. C. D. 答案：B解析：，则，所以，所以.11. 设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于 两点，若 ，则的离心率为（ ）A.B.C.D.答案:A解答：，,又，解得，即. 12. 已知函数的定义域为，且当时，若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）ABCD答案：B解答：由当，且当时，可知当时，当时，当时，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是。二、填空题13. 我国高铁发展迅速，技术先进。经统计，在经停某站的高铁列车中，

26、有10个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .答案：0.98解答：经停该站的列出共有40个车次，所有车次的平均正点率的估计值为。14. 已知是奇函数，且当时, .若，则_.答案：解答：，. 15. 的内角的对边分别为，若则的面积为_.答案：解析：,16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱

27、数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 答案：26解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题17. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面;（2）若，求二面角的正弦值.答案：（1）见解析（2）解析：（1）证明：平面，平面，又，平面.（2）设底面边长为，高为，平面，即，解得.平面，又，平面，故为平面的一个法向量.平面与平面为同一平面，故为平面的一个法向量，在中，故与成角，二面角的正弦值为.18.

28、11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束.（1） 求；（2） 求事件“且甲获胜”的概率.答案：（1）；（2） 解析：（1） 时，有两种可能：甲连赢两局结束比赛，此时；乙连赢两局结束比赛，此时，；（2） 且甲获胜，即只有第二局乙获胜，其他都是甲获胜，此时.19. 已知数列和满足，.（1）证明： 是等比数列，是等差数列；（2）求和的通项公式.答案：（1）见解析（2），.解析：(1)将，

29、相加可得，整理可得，又，故是首项为，公比为的等比数列.将，作差可得，整理可得，又，故是首项为，公差为的等差数列.（2）由是首项为，公比为的等比数列可得；由是首项为，公差为的等差数列可得；相加化简得，相减化简得。20. 已知函数(1) 讨论函数的单调性，并证明函数有且只有两个零点；(2) 设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线。答案：略解答：（1）函数的定义域为，又，所以函数在上单调递增，又，所以在区间存在一个零点，且，所以在区间上也存在一个零点，所以函数有且只有2个零点；（2）因为是函数的一个零点，所以有。曲线在处的切线方程为，曲线曲线当切线斜率为时，切点坐标为，切线方程为，化简为

30、，所以曲线在处的切线也是曲线的切线。21. 已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结 并延长交于点.证明：是直角三角形；求的面积的最大值. 答案：见解析解答：(1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）.(2) 依题意设，直线的斜率为 ，则，又，即是直角三角形.直线的方程为，联立 ，得 ，则直线，联立直线和椭圆，可得，则， ，令，则，.四、选做题（2选1）22.选修4-4（极坐标与参数方程）在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.（1） 当时，求

31、及的极坐标方程；（2） 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.答案：（1） ，的极坐标方程：；（2） 点轨迹的极坐标方程为.解答：（1） 当时，以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；（2） ，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，点轨迹的极坐标方程为.23.选修4-5（不等式选讲）已知。（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，求的取值范围。答案：略解答：（1）当时，所以不等式等价于或或解得不等式的解集为。（2）当时，由，可知恒成立，当时根据条件可知不恒成立。所以的取值范围

32、是。2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国 卷）文科数学1.设集合，则( )E.F.G.H.答案：C解析：，.2. 设，则 ( )A. B. C. D. 答案：D解析：因为，所以.3. 已知向量， ，则（ ）A. B. C. D. 答案：A解答：由题意知，所以.4. 生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标.若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为（ ）A.B.C.D.答案：B解答：计测量过的3只兔子为、，设测量过的只兔子为、则3只兔子的种类有,则恰好有两只测量过的有种，所以其概率为.5. 在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲：我的成绩比乙高.乙：

33、丙的成绩比我和甲的都高.丙：我的成绩比乙高.成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙答案：A解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果.6. 设为奇函数，且当时，则当时，（ ）A. B. C. D. 答案：D解答：当时，又为奇函数，有.7. 设为两个平面，则的充要条件是( )A. 内有无数条直线与平行B. 内有两条相交直线与平行C. 平行于同一条直线D. 垂直于同一平面答案：B解析:根据面面平行的判定定理易得答案.8. 若是函数两个相邻的极值点，则=A B. C. D

34、.答案：A解答：由题意可知即,所以.9.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（ ）A.2B.3C.4D.8答案：D解析：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，.10. 曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 答案：C解析：因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为.11. 已知，则（ ）A. B. C. D. 答案：B解答：，则，所以，所以.12.设F为双曲线的右焦点，0为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，若,则的离心率为A.B.C.D.答案：A解析：设点坐标为，则以为直径的圆的方程为-，圆的方程-，则-，化简得到，代入式，求得，则设点坐标为，点坐标为，故，又,则化简得到，

35、故.故选A.二、填空题13. 若变量满足约束条件则的最大值是 .答案：解答：根据不等式组约束条件可知目标函数在处取得最大值为.14. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，有个车次的正点率为，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .答案：解答：平均正点率的估计值.15. 的内角的对边分别为.已知，则 .答案：解析：根据正弦定理可得,即，显然，所以，故.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种

36、或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.)答案：26解析：由图2结合空间想象即可得到该正多面体有26个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列方程求解.三、解答题17.如图，长方体的底面是正方形，点E在棱上，.（1） 证明：平面 （2） 若,求四棱锥的体积.答案：（1） 看解析（2） 看解析解答：（1） 证明：因为面，面 又，平面；（2） 设则 ，因为 ，18.已知是各项均为正数的等比数列，.(1)求的通项

37、公式：(2)设，求数列的前n项和.答案：（1）；（2）解答：(1)已知，故，求得或，又，故，则.(2)把代入，求得，故数列的前项和为.19. 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率的频数分布表.的分组企业数（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）附：.答案：详见解析解答:（1）这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例是，这类企业中产值负增长的企业比例是.（2）这

38、类企业产值增长率的平均数是这类企业产值增长率的方差是所以这类企业产值增长率的标准差是.20. 已知是椭圆：的两个焦点，为上的点，为坐标原点.（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于，求的值和的取值范围.答案：详见解析解答:（1）若为等边三角形，则的坐标为，代入方程，可得，解得，所以.（2）由题意可得，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得.因为，即，即，所以，所以.21. 已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.答案：见解析解答：（1），设，则在上递增，所以存在唯一，使得，当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以存在唯

39、一的极值点.（2）由（1）知存在唯一，使得，即，所以函数在上，上分别有一个零点.设，则，有，设，当时，恒有，则时，有.四、选做题（2选1）22.在极坐标系中，为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为.（3） 当时，求及的极坐标方程；（4） 当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.答案：（3） ，的极坐标方程：；（4） 点轨迹的极坐标方程为.解析：（3） 当时，以为原点，极轴为轴建立直角坐标系，在直角坐标系中有，则直线的斜率，由点斜式可得直线：，化成极坐标方程为；（4） ，则点的轨迹为以为直径的圆，此时圆的直角坐标方程为，化成极坐标方程为，又在线段上，由可得，点轨迹的极坐标方程为.23. 选修4-5：不等式选讲 已知 （1） 当时，求不等式的解集：（2）