2022年复变函数第二章习题答案.pdf

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1、1-6 题中：（1）只要不满足 C-R条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导yxyxvvuu,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足C-R条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点及其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导， 而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守C-R条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和 C-R条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者 C-R条件则肯定不是解析函数。解

2、析函数求导：xxivuzf)(4、若函数)(zf在区域 D上解析，并满足下列的条件，证明)(zf必为常数。（1）证明：因为)(zf在区域上解析，所以。令),(),()(yxivyxuzf，即xvyuyvxu,0yvixuzf)(。由复数相等的定义得：00 xvyuyvxu,。所以，1Cyxu),(常数 )，2Cyxv),( 常数)，即21iCCzf)(为常数。5、证明函数在平面上解析，并求出其导数。（1）证明：设 =则，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - -

3、 - - - - - ；满足xvyuyvxu,。即函数在平面上),(yx可微且满足C-R 条件，故函数在平面上解析。8、（1） 由已知条件求解析函数ivuzf)(，xyyxu22，iif1)(。解：由于函数解析，根据C-R条件得yxvuyx2于是)(xyxyv222其中)(x是x的待定函数，再由CR条件的另一个方程得xyuxyvyx22)(，所以xx)(，即cxx22)(。于是cxyxyv22222又因为iif1)(，所以当10 yx,，时1u，121cv得21c所以)()(212222222xyxyixyyxzf。9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为

4、解析函数的实部或虚部。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - 10、提示：求出实部和虚部对x，y 的一阶偏导，若不满足C-R条件则肯定不是解析函数， 若满足 C-R条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。14. 若iyxz，试证：（1）xshyixchyzcossinsin。证：=18、解方程（1）31iez解：)(kizeie23231其中,.,210k则)(ln)(kieLnzki232223（2）2izln。解：即设，得，即。

5、20、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - （2）)sin(ln)cos(lnln33333ieeiiLni试求iiiieii231,)(及)(iLn 1。解： （1）)()()(iiLniLnieeii111因为)(ln)()(kieLniLnki2422124所以)(ln)(ln)()(kkiiiLnieeeei242224211,.,210k（3）iLniiei)()(kiLneLniki2222)(kiLniieei22,.,210k（4）)sin(cos11222ieeeeii（5）)(ln)()(kieLniLnki242212422，求证10zzzsinlim证: (x,y,均为实数 ) ，所以当则极限趋近于 z 轴，有当时，则极限趋于z 轴，有10 xxxsinlim，故10zzzsinlim。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -