2022年求数列通项公式的十种办法.pdf

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1、精心整理1 观 察 法 （ 求 出a 1 、 a 2 、 a 3 ， 然 后 找 规 律 ）即归纳推理， 就是观察数列特征， 找出各项共同的构成规律， 然后利用数学归纳法加以证明即可。例 1. 设11a，)(2221Nnbaaannn，若1b，求32,aa及数列na的通项公式解：由题意可知：11111a，11221221212aaa，113121222223aaa. 因此猜想11nan. 下面用数学归纳法证明上式（1）当 n1 时，结论显然成立（2）假设当 nk 时结论成立，即11kak. (3)则11)1(11) 1(11) 1(122221kkaaaakkkk，即当 nk1 时结论也成立由

2、（1） 、 （2）可知，对于一切正整数n，都有)( 11Nnnan （最后一句总结很重要）2定义法（已知数列为等差或者等比）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例 2.已知等差数列na满足1210aa，432aa，求na的通项公式。解：设等差数列na的公差为 d . 因为432aa，所以2d. 又因为1210aa，所以1210ad，故14a. 所以42(1)22nann(1,2,)n. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页

3、- - - - - - - - - - 精心整理3公式法若已知数列的前 n 项和ns与na的关系 ，求数列na的通项na可用公式求解。（一定要讨论n=1，n2 ）例 3. 设数列 na的前 n项和为nS ，已知 233.nnS（）求数列 na的通项公式。解： （）由 233nnS可得：当1n时，111(33)32aS，当2n时，11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn而1 1133a，所以13,1,3,1.nnnan4累加法当递推公式为)(1nfaann时， 通常解法是把原递推公式转化为1( )nnaaf n。例 4. 数列na满足11a，且11naann（*Nn） ，则数列

4、的前 10 项和为解：由题意得：5累乘法当递推公式为)(1nfaann时，通常解法是把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法 (逐商相乘法 )求解。例 5. 已知数列na满足112,31nnnaaan，求na 的通项公式。解：由条件知11nnanan，在上式中分别令)1( ,3 ,2, 1nn，得1n个等式累乘之，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理即nnaaaaaaaann14332211342312，即naan11

5、又321anan326. 构造法（拼凑法） - 共 5 种题型，第 2、3 种方法不必掌握1、当递推公式为qpaann 1（其中qp,均为常数，且0)1( ppq）时，通常解法是把原递推公式转化为)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例题：已知数列na满足13, 111nnaaa，求na的通项公式。解：由131nnaa得)21(3211nnaa又23211a所以21na是首项为23，公比为 3的等比数列所以23323211nnna因此数列na的通项公式为213nna. 2、当递推公式为)0,(1pkbkpbknpaann均为常数，且其中时，通常解法是把原递推公式转

6、化为)()1(1yxnapynxann，其中yx,的值由方程byxpykxpx给出。（了解即可，不必掌握）例题：在数列na中，1a=2，1na=431nan，求数列na的通项na。解：由1341naann得)(4)1(1nanann又111a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理所以数列nan是首项为 1，公比为 4的等比数列所以14nnna，即nann14. 3、当递推公式为nnncpaa1（其中cp,均为常数，且0pc）时，

7、通常解法是把原递推公式转化为ccacpcannnn111。若cp，则ccacannnn111，此时数列nnca是以ca1为首项，以c1为公差的等差数列，则cncacann1)1(1，即11)1(nncana。若cp，则可化为)1)(11pcttcacptcannnn其中形式求解。（了解即可，不必掌握）例题：已知数列 na中，1a=1，1na=23nna，求数列的通项公式。解：由nnnaa321得)3(2311nnnnaa所以数列3 nna是首项为113a=2，2q的等比数列所以3nna=12 2n，即na=32nn4、当递推公式为1nnnpaaqas（sqp,为常数，且0pqs）时，通常两边同

8、时取倒数，把原递推公式转化为pqpasann 11。若sp，则1na是以11a为首项，以pq为公差的等差数列， 则pqnaan)1(111， 即11)1(panqapan。 若sp，则可转化为)1(11tapstann（其中spqt）形式求解。例 10. 已知数列 na 满足132a， 且11321nnnnaaan（2nnN） ， 求数列 na的通项公式。解：原式可变形为112(1)3nnnna anana精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - -

9、- - 精心整理两边同除以 31nna a得111233nnnnaa构造新数列nna，使其成为公比 q13的等比数列即111()3nnnnaa整理得11233nnnnaa满足式使22331数列1nna是首项为11113a，q=13的等比数列11 111( )( )3 33nnnna331nnnna。5、当递推公式为2nap1naqna （qp, 均为常数）（又称二阶递归）时，将原递推公式2nap1naqna 转化为2na-1na（1na-na ）. 其中、由pq解出，由此可得到数列1na-na 是等比数列。例题：设数列na的前 n项和为nS ，n已知11a，232a，354a，且当2n时，21

10、1458nnnnSSSS证明：112nnaa为等比数列；证明：因为)2(854112nSSSSnnnn所以)2(44441112nSSSSSSnnnnnn即)2(4412naaannn因为21344aaa所以1244nnnaaa因为21)2(2224242424212111111112112nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 精心整理所以数列211nnaa是以12112aa为首项，以21为公比的等比数列。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -