2022年求数列通项公式的十种办法2.pdf

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1、精心整理总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、一、累加法适用于：1( )nnaaf n转换成1( )nnaaf n，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. 若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 1 已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。解：由121

2、nnaan得121nnaan则例 2 已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。解；由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333 )(1)33(1 3)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn练习 1. 已知数列na的首项为 1， 且*12()nnaan nN写出数列na的通项公式 . 答案：12nn练习 2. 已知数列na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式 . 答案：裂项求和nan12二、累乘法1. 适用

3、于：1( )nnaf n a-这是广义的等比数列精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理2若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaa，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 4 例 4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1( ,3,2, 1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即又321a，nan32三. 公式法： 已知nS

4、（即12( )naaaf n）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2已知数列na的前n项和nS满足1,) 1(2naSnnn求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa,)1(22221nnnaa，.2212aa经验证11a也满足上式，所以)1(23212nnna点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练： 已知na的前n项和满足2log (1)1nSn，求na；数列na满足11154,3nnnaSSa，求na；四、待定系数法适用于1( )nnaqaf

5、n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如0(,1cdcaann, 其中aa1) 型（1）若 c=1时，数列 na为等差数列 ; （2）若 d=0时，数列 na为等比数列 ; （3）若01且dc时，数列 na 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设)(1nnaca, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理得)1(1ccaann, 与题设,1

6、dcaann比较系数得dc)1(, 所以)0(,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以 c 为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann. 规律：将递推关系dcaann 1化为)1(11cdaccdann, 构造成公比为 c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann 1中把 n 换成 n-1 有dcaann1, 两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为 c 的等比数列1nnaa, 进而求得通项公式.)(121aac

7、aannn, 再利用类型 (1) 即可求得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂. 例 6 已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。解法一：121(2),nnaan112(1)nnaa又112,1naa是首项为 2，公比为 2 的等比数列12nna，即21nna练习已知数列na中，,2121,211nnaaa求通项na。答案：1)21(1nna2形如：nnnqapa1( 其中 q 是常数，且 n0,1) 若 p=1时，即：nnnqaa1，累加即可 . 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1np. 目的是把所求数列构造成等差数列即

8、：nnnnnqppqapa)(111, 令nnnpab，则nnnqppbb)(11, 然后类型 1，累加求通项 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理ii.两边同除以1nq. 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111, 令nnnqab, 则可化为qbqpbnn11. 然后转化为类型 5 来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa. 通过比较系数，求出，转化为等

9、比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。解法一（待定系数法） ：设11123(3nnnnaa)，比较系数得124,2，则数列14 3nna是首项为1 114 35a，公比为 2 的等比数列，所以114 35 2nnna，即114 35 2nnna解法二（两边同除以1nq） ：两边同时除以13n得：1122433 33nnnnaa，下面解法略解法三（两边同除以1np） ：两边同时除以12n得：nnnnnaa)23(342211，下面解法略练习. （2003 天津理）设0a为常数，且)(23

10、11Nnaannn证明对任意n1，012) 1(2) 1(351aannnnnn；3形如bknpaann 1(其中 k,b 是常数，且0k) 方法 1：逐项相减法（阶差法）方法 2：待定系数法通过凑配可转化为)1()(1ynxapyxnann; 解题基本步骤： 1、确定( )f n=kn+b2、设等比数列)(yxnabnn，公比为 p3、列出关系式)1()(1ynxapyxnann, 即1nnpbb4、比较系数求 x,y5 、解得数列)(yxnan的通项公式6、解得数列na的通项公式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

11、- - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理例 8 在数列na中，,23, 111naaann求通项na. （逐项相减法）解：，,231naann2n时，) 1(231naann，两式相减得2)(311nnnnaaaa. 令nnnaab1, 则231nnbb利用类型 5 的方法知2351nnb即13511nnnaa再由累加法可得213251nann. 亦可联立解出213251nann. 例 9. 在数列na中，362 ,2311naaann, 求通项na. （待定系数法）解：原递推式可化为ynxayxnann)1()(21比较系数可得： x=-

12、6,y=9, 上式即为12nnbb所以nb是一个等比数列，首项299611nab, 公比为21.1)21(29nnb即：nnna)21(996故96)21(9nann. 4形如cnbnapaann21(其中 a,b,c是常数，且0a) 基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例 10 已知数列na满足21123451nnaanna，求数列na的通项公式。解：设221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz比较系数得3,10,18xyz，所以2213(1)10(1)182(31018)nnannann由213 110 118131320a，得23

13、10180nann则2123(1)10(1) 18231018nnannann，故数列231018nann为以213 1101 1813132a为首精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理项，以 2 为公比的等比数列，因此2131018322nnann，则42231018nnann。5. 形如21nnnapaqa时将na作为( )f n求解分析：原递推式可化为211()() nnnnaapaa的形式，比较系数可求得，数列1nnaa

14、为等比数列。例 11 已知数列na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列na的通项公式。解：设211(5)()nnnnaaaa比较系数得3或2，不妨取2， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）则21123(2)nnnnaaaa，则12nnaa是首项为 4，公比为 3 的等比数列1124 3nnnaa，所以114 35 2nnna练习. 数列na中，若2,821aa, 且满足03412nnnaaa, 求na答案：nna311. 四、迭代法rnnpaa1( 其中 p,r 为常数 )型例 12 已知数列na满足3(1)2115nnnnaaa，求数列na的通项公式。解：因为3(1)21n

15、nnnaa，所以又15a，所以数列na的通项公式为(1)123! 25n nnnna。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例 13. （2005江西卷）已知数列:,且满足的各项都是正数naNnaaaannn),4(21, 110，（1）证明12,;nnaanN（2）求数列na的通项公式 an. 解： （1）略（ 2）,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannnnnnnnnbbbbbab22212122222112)21()21(21)21(2121, 2 则令又 bn=1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即. 精品资料

16、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理方法 2：本题用归纳 - 猜想- 证明，也很简捷，请试一试. 解法 3：设 cnnb，则 c2121nnc, 转化为上面类型（1）来解五、对数变换法适用于rnnpaa1( 其中 p,r 为常数 ) 型 p0，0na例 14. 设正项数列na满足11a，212nnaa（n2）. 求数列na的通项公式 . 解：两边取对数得：122log21lognnaa，)1(log21log122nnaa，设1log2

17、nanb，则12nnbbnb是以 2 为公比的等比数列，11log121b11221nnnb，1221lognan，12log12nan，1212nna练习数列na中，11a，12nnaa（n2） ，求数列na的通项公式 . 答案：nna2222例 15 已知数列na满足512 3nnnaa，17a，求数列na的通项公式。解：因为511237nnnaaa，所以100nnaa，。两边取常用对数得1lg5lglg3lg 2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny（同类型四）比较系数得，lg3lg3lg 2,4164xy由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg1lg 7104

18、1644164a，得lg3lg3lg 2lg04164nan，所以数列lg3lg3lg 2lg4164nan是以lg3lg3lg 2lg 74164为首项，以 5 为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg(lg 7)541644164nnan，因此11111111116164444111115161644445415151164lg3lg3lg 2lg 3lg3lg2lg(lg 7)54164464lg(7 332 )5lg(332 )lg(7 332 )lg(332 )lg(732)nnnnnnnnnnan则11541515164732nnnnna。精品资料 - -

19、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精心整理六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。解：求倒数得11111111111,22nnnnnnaaaaaa为等差数列，首项111a，公差为12，112(1),21nnnaan十二、四种基本数列1形如)(1nfaann型等差数列的广义形式，见累加法。2. 形如)(1nfaann型等比数列的广义形式，见累乘法。3. 形如)(1nfaann型（1）若daann 1（d 为常数） ，则数列 na为“等和数列 ”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论 ; （2）若 f(n) 为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1nfaann型，通过累加来求出通项 ; 或用逐差法 (两式相减 )得) 1()(11nfnfaann，分奇偶项来分求通项 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -