2022年大一数学分析复习题教学提纲.pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑332212211321.lim_212.lim_3(5)33.lim_(5)344.lim_311234.(21 )25.lim_1(2)6.lim_124.(2)7.lim(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn数列极限练习题21213)_211118.lim.(1 )_3927319.lim0,_,_110.(1 )lim(12),_(2)4,_11.lim(2)5,limnnnnnnnnnnnnnnanbabnxxaab则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知1(3)1 ,lim()113(1

2、)12.,1342(1 ) lim(2)limnnnnnnnnnnnnnababnnnaSannaS求的值若为数列的前项和求12123101511113.,9,27,lim3114.,1 ,32lim15.,321111lim4 lim1.(1 ),323927316.,0nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaanSSSaanSSSaRaaaab数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围数列都是公差不为的等差数列12211212221121, lim2,.lim17.,1 ,(.)18.(0),lim, lim.19.,limnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

3、nnabaaanbaaakaakaqqaaSSnSSaaaaqnSaS求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111 ,1.20.lim.121., lim()12nnnnnnqqaaaaaaaaaqqqa求范围求等比数列公比为求取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑11222412221321222.,1

4、,3(1 ) lim(2)lim(.)23.,4,16,lglg.lglim24.,53,lim(.)25.()222(2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanSSaSaSaSaSaaaaaananSaSaaafxxxx数列前项和为且求设正数等比数列求数列前项和为求已知函数11112211)(1 )()(2)1()2,2lim()nnnnnnnnnnnnnnfxanSnSfSaaaanTaaTn求反函数若正数数列前项和对所有大于的自然数都有且求通项公式(3)设C又设数列C前项和为求的值方法一：应用数列极限的定义(证明题 ) 用定义求数列极限有几种模式：（1）0， 作差aan， 解方程aa

5、n，解出fn， 则取fN或, 1fN（2）将aan适当放大，解出fn；（3）作适当变形，找出所需N 的要求。方法二：常用方法：约去零因子求极限，分子分母同除求极限，分子(母)有理化求极限方法三（迫敛性）设收敛数列bann,都以a为极限，数列cn满足：存在正整数N0,当Nn0时有：bcannn则数列cn收敛，且acnnlim。方法四：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。方法五： 两个重要极限是1sinlim0 xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11 (lim)11(lim方法六：（柯西收敛准则）数列an收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当 n，mN时，有

6、aamn方法七： Stolz 定理：设 nN 时，yynn1且ynnlim，若lyyxxnnnnn11lim（l为有限数或无穷大） ，则lyyxxyxnnnnnnnn11limlim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑方法八：形如)(1xxnnf数列极限方法九：用等价无穷小量代换求极限（等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式） ，常见等价无穷小有：当0 x时,)1ln(arct

7、anarcsintansinxxxxxx1ex, abxaxxxb11,21cos12；方法十：用罗必塔法则求极限，用对数恒等式求)()(limxgxf极限，数列极限转化成函数极限求解。算术几何调和平均不等式：对,21Rnaaa记,1)(121niiniannaaaaM(算术平均值 ) ,)(1121nniinniaaaaaG(几何平均值 ) .1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值 ) 有均值不等式 :),()()(iiiaMaGaH等号当且仅当naaa21时成立 . （3） Bernoulli 不等式 :(在中学已用数学归纳法证明过) 对,0 x由二项展

8、开式23(1)(1)(2)(1)1,2!3!nnn nn nnxnxxxx)1(,1)1(nnxxn（） CauchySchwarz 不等式 :kkba ,(nk,2 ,1),有21nkkkba21nkkkbankka12nkkb12（）Nn，nnn1)11ln(11)1(21321nnn；)12)(1(613212222nnnn223333) 1(41321nnn；) 133)(12)(1(30132124444nnnnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - -

9、 - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑)122()1(1213212225555nnnnn；)1363)(12)(1(421321346666nnnnnnn)2463() 1(241321234227777nnnnnnn)1(2642nnn2)12(531nn) 14(31) 12(53122222nnn)12() 12(531223333nnn导数微分及应用习题判断 : 1、若)(xf可微，且为,ll上的偶函数，则)(xf必为,ll上的偶函数； （）2 若xf是ll,上的奇函数，则)(xf必为ll,上的偶函数；（）3、 如果函数xfy在0 x点

10、的左、 右 极限都存在，则函数在0 x点的极限存在（）4、若函数)(xf在点0 xx连续，则)(xf在0 x点可导 ；（）5、若函数)(xf在点0 xx连续，则)(xf在0 x点的极限一定存在；（）6、若函数)(xf在点0 xx可微，则)(xf在0 x点可导 ；（）7、 如果函数xfy在0 x点 的左、右 极限都存在，则)(xf在0 x点可导 ；（）8、若函数)(xf在点0 xx连续，则函数xfy在0 x点 的左、右 极限都存在且相等；（）9、若)(xf在0 x点不可导，则函数)(xf在点0 xx一定不连续；（）10、若函数)(xf在点0 xx不可微，则)(xf在0 x点不可导；（）11、若函

11、数)(xf在点0 xx不可微，则)(xf的左、右 极限一定不存在；（）12、设函数)(xf在0 x点可导，导数为)(0 xf，则)()()(lim0000 xfxxxfxfx（）13、设函数)(xf在0 x点可导，导数为)(0 xf，则)(2)()(lim0000 xfxxxfxxfx（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑14、设函数)(xf在0 x点可导，导数为)(0 xf，

12、则)()()2(lim0000 xfxxfxxfx（）15、函数1xy在1x处不可导；（）16、函数1xy在1x处不连续；（）17. 若)(0 xf存在，且0)(0 xf，则1)()()(lim0000 xxfxfxxfx（）18、若)(xf在,ba上可导，则)(xf在,ba上有界；（）19、 若)(xf在0 x点导数不存在，则曲线)(xfy在)(,(00 xfx点处没有切线； （）20、曲线xycos 上点21,3处的法线的斜率为32； （）21. 设)(xfy在0 xx可微，则当0 x时，xxfxfxxf)()()(000是关于x 高阶的无穷小；（）22、若)0()()()(lim2lla

13、xafxfax，则)(xf在ax处不可导；（）23、 若)0()()()(lim2llaxafxfax， 则)(xf在ax处可导但0)(af；（）24、 若)0()()()(lim2llaxafxfax， 则)(xf在ax处可导且0)(af；（）25、若2sinln xy，则2cos1xy；（）1. 设)(xf在0 xx的某个邻域内具有二阶连续导数，则hhxfhxfh)()(lim000（）. A、0； B、)(0 xf； C、)(0 xf； D、)(20 xf；. 2、设)(x在0 x的邻域内连续，且有)()()(0 xxxxf，则)(0 xf（）. A、0； B、)(0 x； C、)(0

14、x； D、. 3. 设xxf22cos)(sin，则)(xf（）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A、2sin x； B 、cx2cos； C 、cx1； D 、cxx22. 4. 设)(xf在1x点处可微，1)(2xxeef，则)(lim1xfx（）. A、2； B、1； C、0； D、12e. 5. 设)(xfey，其中)(xf为二阶可导函数，则y（）. A、)(xfe

15、；B、)()()(xfxfexf；C、)()(2)(xfxfexf；D、2)()(xfexf. 6. 如果在区间),(ba内，)()(xxf，则在),(ba内)(xf与)(x（）. A、仅相差一个常数； B、完全相等； C 、均为常数； D 、ccxxf()()(为常数） . 7. 设)(xf为可导的偶函数，则)(xf为（）. A、偶函数； B、可能是偶函数；C、奇函数； D、非奇非偶函数 . 8 、设xf在0 xx处可导，则hbhxfahxfh)()(lim000（）. A、0； B、)()(0 xfba； C、)()(0 xfba； D、)(0 xf. 9、设3)(0 xf，则xxfxxf

16、x)()(lim000（）. A、3； B、3； C、0； D、. 10、设xf在区间),(ba内连续，),(0bax，则在点0 x处xf（）. A、极限存在且可导； B、极限不存在，但可导；C、极限存在，但不一定可导； D、极限不一定存在 . 11. 设0,0,2xxxxxf，则在0 x处xf（）. A、 无定义； B、不连续； C、连续且可导； D 、连续但不可导 . 12、设0,)1 (0,2xxbxexfax，在0 x可导，则必有（）. A、1,2 ba； B 、1ba； C 、2ba； D、1,2 ba. 13、xy，则在0 x处xf的导数)0(f（）. 精品资料 - - - 欢迎下

17、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A、0； B、1； C、不存在； D、1. 14、可微的周期函数其导数（）. A、一定是周期函数，且周期不变； B、一定是周期函数，但周期可能发生变化； C 、不一定是周期函数； D、一定不是周期函数 . 15、设xf为可微的偶函数，且对任意的21)(),0(000 xfxx，则)(0 xf（）. A、21； B、21； C、2； D、2. 16. 曲线xxy42上，切线

18、平行于直线032yx的点的坐标为（）. A、 （1，3） ； B 、 （3，3） ； C、 （1，5） ； D 、 （2，0）. 17、设)(ln xfy，其中)(uf为可微函数，则y（）. A、)(ln xf； B、21x；C 、)(ln1)(ln12xfxxfx； D、)(ln)(ln12xfxfx. 18、设xxyln，则)10(y（）. A、91x； B、91x； C、9! 8x； D、9! 8x. 19. 设)(uf为可微函数，若)2(cos xfy，则dy（）. A、dxxf)2(cos2； B、xdx2sin； C、xdxf2cos2cos； D、xdxxf2sin2cos2.

19、20、下列函数中导数等于x2sin21的是（）. A、x2cos21； B、x2sin21； C、x2cos21； D、x2cos41. 21、 曲线22xxy在点 M 处的切线与直线034yx垂直，则此曲线在点M 处的切线方程为（）. A、017416yx； B、021416yx； C、01182yx； D、01782yx. 22. 设)1ln(arctan2tytx，则22dxyd（）. A、212t； B、)1 (22t； C、2； D、222)1()1 (2tt. 23、设)2ln(2xxy，则y（）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

20、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A、22xx； B、232)2(xx； C、22xx； D、232)2(xx. 24、下列函数中在点0 x连续且可导的是（）. A、32)(xxf； B、xxfsin)(；C 、00,)(xxxxexfx； D、0, 10, 12)(2xxxxxf. 25、设方程xyeeyx确定 y 是x的函数，则)0(y（）. A、ye； B、1； C、yey1； D、0. 26.xxfy1其中f为可微函数，则22dxyd（）. A、x1

21、；B、xfx112；C、xfx113；D、xfx113. 27. 设laxafxfax2)()()(lim，其中 l 为有限值，则xf在ax处（）. A、可导且0)(af； B、可导但0)(af；C 、不一定可导； D 、肯定不可导 . 28. 曲线42xxy在点 M 处的切线斜率为3，则 M 点的坐标为（）. A、 （1，0） ； B、 （0，1） ； C、 （1，3） ； D、 （1，2）. 29、设221)1ln(axy，则dy（）. A、dxax2212111； B、dxxx212； C、dxaxx221112； D、212xx. 30. 设)(u具有二阶导数，xxy，则y（）. A、

22、x； B 、xxx； C 、xxxx； D、xxx2. 31、函数0,00,)1ln(2xxxxxf，则xf在0 x处（）. A、间断； B、连续但不可导； C 、连续且导数为 0；D 、连续且导数为 1. 32. 设0,2sin0,xxbxexfax，在0 x可导，则ba,的值为（）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A、1, 0 ba； B 、1,2 ba； C 、1,2

23、 ba； D 、2, 1 ba. 33、2ln11xteyt，则2122|tdxyd（）. A、83； B、83； C、6； D、6. 34. 若)(xf在0 x处不可导，则)(xf在0 x点（）. A、无意义； B、左、右极限不相等； C 、不一定可导； D、不可微 . 35、若txttxxf211lim)(，则)(xf( ). A、xex2)12(； B、xe2； C、xex2) 1(； D、xxe2. 36. 若xxeexf1)(，且0)0(f，则)(xf（）. A 、2)1(xxee；B、21xxee； C、xxee1； D、xxee137、设函数tttxxf10)1 (lim)(，则

24、)0(f（）. A、-1； B、e； C、1；D 、e138.0, 00,1sin)(2xxxxxf，在0 x处（）. A、不可导； B、连续且可导； C 、不连续但可导； D、不连续 . 39、设0,0,00,)(xxxxxxf，则)(xf的有关论证正确的是（）. A、)(xf在点0 x处可微； B、( )fx1,00,01,0 xxx，C 、0,10,0, 1xxxxf不可导， D、)(xf在点0 x处可导 . 40. 设nnnnaxaxaxy2211（其中naaa,21为常数） ，则)1( ny（）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

25、名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑A、!n； B、0； C、1； D、x. 41、设nnnnaxaxaxy2211（其中naaa,21为常数） ，则)(ny（）. A、!n； B、0； C、1； D、x. 42. 设22)(xexf，则1) 1()(lim1xfxfx（）. A、21e； B、21e； C、21e； D、0. 43. 设函数0,00,1sin)(xxxxxf，则函数)(xf在0 x处（）. A、不连续； B、连续，不可导；C、可导，但不连续； D

26、、可导且导数也存在 . 44、设)cos1 ()sin(tayttax，则22dxyd（）. A、ttcos1sin；B、2)cos1(1ta；C 、tcos11；D 、tcos11. 45. 已知函数0,0,)(3xxxxxf，则函数)(xf在点0 x处的导数（）. A、0)0(f； B 、1)0(f； C 、3)0(f； D、不存在 . 46. 设2ln)(xxf，则 )2( f（）. A、21； B、41； C、1； D、0. 47. 设)3()2)(1(2xxxy，则)1(f（）. A、0； B、1； C、1； D、2. 48、设xnexy，则)1(ny（）. A、xen)!1(； B

27、、xe； C、xen!； D、0. 49、设xxy，则y（）. A、)1(ln xxx； B 、xxxln； C、1xx； D、1xxx. 50. 下列命题中正确的是（）. A、若)()(xgxf，则有)()(xgxf； B 、若)()(xgxf，则有)()(xgxf；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑C、若0)(0 xf，则0)(0 xf； D 、若0)(0 xf；则0)(

28、0 xf. 51.)(xfy在点0 x处的左、右导数存在且相等是)(xf在点0 x处可导的 （） . A、必要条件； B、充分条件； C、充分必要条件； D、无关条件 . 52. 设函数xxxxxf1, 1310, 12，则1f为（）. A、2； B、3； C、1； D、不存在 . 1. ；2. ；3、； 4、 ；5、；6、； 7、 ；8、 ；9、 ；10、；11、；12、；13、 ；14、；15、 ；16、；17、 ；18、 ；19、； 20、 ；21、 ；22、； 23、； 24、； 25、 ；1、D；2、B；3、D；4、A；5、C；6、A；7、C；8、B；9、A；10、C；11、D；12

29、、D；13、 ；C；14、A；15、B；16、B；17、D；18、C ；19、D；20、B；21、A；22、B；23、D ；24、C；25、B；26、C；27、A；28、D；29、B；30、D ；31、D；32、C；33、C；34、D；35、A；36、C；37、C；38、B；39、C；40、B；41、A；42、B；43、B；44、B；45、D ；46、D；47、D；48、B；49、A；50、B；51、C；52、D. 中值定理和罗比达法则1. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）51132)(2.,xxxf；（2）303)(,xxxf。2. 验证拉

30、格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间 10 ,上的正确性。3. 已知函数4)(xxf在区间21 ,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的。4. 试证明对函数rqxpxy2应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间。5. 函数3)(xxf与1)(2xxg在区间21 ,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。6. 设)(xf在10 ,上连续，在)10( ,内可导，且0) 1 (f。 求证：存在) 10( ,， 使( )( )f f。7. 若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(321xfxfxf)(321bxxxa，证明：在)(31,x

31、x内至少有一点，使得( )0f。8. 若 4 次方程043223140axaxaxaxa有 4 个不同的实根，证明：0234322130axaxaxa的所有根皆为实根。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑9. 证明：方程015xx只有一个正根。10. 不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程( )0fx有几个实根，并指出它们所在的区间。11. 证明下

32、列不等式：（1）babaarctanarctan；（2） 当1x时，exex；（3） 设0 x，证明xx)1 (ln；（4） 当0 x时，xx11)11(ln。12. 证明等式：) 1(12arcsinarctan22xxxx.13. 证明：若函数)(xf在)(,-内满足关系式( )( )fxf x， 且1)0(f，则xexf)(。14. 设函数)(xf在a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有bcac,fbfaf)(0)(0)()(，试证在)(a,b内至少存在一点，使( )0f。15. 设)(xf在a,b上可微，且( )0( )0 ( )( )f a,f b,f af bA,试证明)(/

33、xf在)(a,b内至少有两个零点。16. 设)(xf在闭区间a,b上满足( )0fx，试证明存在唯一的bcc,a，使得( )( )( )f bf afcba。17. 设函数)(xfy在0 x的某个邻域内具有n阶导数，且(1)(0)(0)(0)0nfff,试用柯西中值定理证明：) 10()()()(n!xfxxfnn。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑1. 用洛必达法则求下列极

34、限：（1）xeexxxsinlim0； （2）x-aaxaxsinsinlim； （3）22)2(sinlnlimx-xx； （4）xarcxxcot)11ln(lim；（5）xxx2tanln7tanlnlim0；（6）eexxxxln1lim31； （7）xx-xxxsintanlim0； （8）xxx2cotlim0；（9）2120limxxex；（10）)1(lim1xxex；（11）)111(lim0 xxex； （12）)ln11(lim1xx-xx；（13）xxxa)1 (lim； （14）xxxsin0lim； （15）xxxtan0)1(lim；（16）xx-xexxarctan1)1ln(lim0；（17）xxx10)sin1 (lim； （18）xxx)1(lnlim0； （19）xxxx12)1(lim； （20）2)1tan(limnnnn。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -