2022年大学物理教案.pdf

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1、第一章质点运动学物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化 ,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。11参考系时间和空间的测量1参考系坐标系一、参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要选取其他物体

2、作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。 不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此 ,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系。二、坐标系：建立在参照系上的计算系统确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。1.1.2 时间和空间1、时间：时间反映物理事件的先后顺序和持续

3、性。2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。1.1.3 长度的测量质点运动的矢量描述1.2.1 质点物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中 ,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么 , 我们就可 把物精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

4、 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把物体当作质点是有条件的、相对的 ,而不是无条件的、绝对的 ,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的104倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出 , 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研

5、究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。1.2.2 位置矢量运动方程和轨迹方程一位置矢量r描述质点在空间所处位置的矢量称为位置矢量，一般为坐标系的原点指向质点所在位置的矢量，位置矢量也称为位矢或矢径。在如右图所示的直角坐标系中，在时间t，质点P在坐标系里的位置可用位置矢量)(tr来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点O，末端则与质点P在时刻t的位置重合。从图中可以看出，位矢r在ox轴、 oy轴和 oz轴上的投影(即质点的坐标 )分别为x、y和z。所以， 质

6、点P在直角坐标系中的位置，既可以用位矢r来表示，也可以用坐标x、y和z来表示。那么位矢r亦可写成kjirzyx其值为222zyxr位矢r的方向余弦由下式确定coscoscosrrrzryx二、运动方程当质点运动时，它相对坐标原点O的位矢r是随时间而变化的。因此，r是时间的函数，即kjirr)()()()(tztytxt上式叫做质点的运动方程；而)(tx、)(ty和)(tz则是运动方程的分量式，从中消去参数t便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

7、-第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 应当指出 , 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。速度和加速度一、位移在如图y-Ox平面直角坐标系中， 有一质点沿曲线从时刻1t的点A运动到时刻2t的点B，质点相对原点O的位矢由Ar变化到Br。显然，在时间间隔12ttt内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点A指向终点B的有向线段AB称为点A到点B的位移矢量，简称位移。 位移AB反映了质点位矢的变化。如把AB写作r，则质点从A点到点B的位移为ABrrr亦可写成jirrr)()(ABABAByyxx上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在x轴

8、和y轴上的位移矢量和。若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为kjirrr)z-(zyyxxABABABAB)()(应当注意 ,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在上图中 ,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是r。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零 ,而路程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在 t 取得很小的极限情况下,位移的大小 |r| 才可视为与路程AB 没有区别。二、速度在力学中 ,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,

9、是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。1、平均速度和平均速率如图所示，一个质点在平面上沿轨迹CABD曲线运动。在时刻t，它处于点A，其位矢为)(1tr。在时刻tt，它处于点B，其位矢为)(2ttr。在t时间内，质点的位移为12rrr。在时间间隔精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - yxvv 和t内的平均速度v为ttrrrv12平均速度可写成其中是平均速度v在Ox

10、轴和Oy轴上的分量。说明：v与时间间隔)(ttt相对应。平均速率：tsv2、 瞬时速度和瞬时速率当0t时，平均速度v的极限值叫做瞬时速度(简称速度 )，用v表示，有ttddlim0rtrv结论 ：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。或jijitvyxttvvtyx00limlim其中tyvtxvyxdd,ddyxvv 和是速度v在Ox轴和 Oy轴上的分量，又称为速度分量。如以分别表示速度v在Ox轴和Oy上的分速度(注意 :它们是分矢显 然 ，量!)，那么有上式亦可以写成速度v的方向与0t在r时的极限方向一致。当0t时，r趋于和轨道相切，即与点A的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的

11、速度方向就是沿该点曲线的切线方向。jijirvyxvvtytxtyxvv 和jivyxvvyxvvv精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢r和速度v是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。瞬时速率：

12、dtdstsvlimt0例：设质点的运动方程为jir)()()(tytxt其中m2)sm1()(1ttx，m2)sm41()(22tty求s3t时的速度。(2)作出质点的运动轨迹图。解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为ttyvtxvyx)sm21(dd,sm1dd21故s3t时的速度分量为11sm5. 1sm1yxvv和于是s3t时，质点的速度为jiv)sm5 .1()sm1(11速度的值为1sm8. 1v，速度v与x之间的夹角为o3 .5615.1arctg(2)由已知运动方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

13、- - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2m)sm41()(,m2)sm1 ()(22-1ttyttx消 去t可 得 轨 迹 方 程m3)m41(21 -xxy并 可 作 如 图 所 示 的 质 点 运 动 轨 迹 图三、加速度上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。1、平均加速度如图所示 ，设在时刻t，质点位于点A，其速度为1v，在时

14、刻tt，质点位于点B，其速度为2v，则在时间间隔t内，质点的速度增量为12vvv，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为tva2、瞬时加速度当0t时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用a表示，有tttddlim0vva，a的方向是0t时v的极限方向，而a的数值是/tv的极限值。应当注意，加速度a既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作曲线运动时，任一时刻质点的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。加速度公式可以写成)(ddjvivayxt即yxyxaaaajia其中tvatvayyxxdd,dd例 有一个球

15、体在某液体中垂直下落，球体的初速度为jv)sm10(10，它在液体中的加速度为jav)s0.1(1。问 :(1)任一时刻t的球体的速度。(2)时刻t球体经历的路程有多长解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度a的方向与球体的速度v的方向相反，由加速度的定义，有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - vtva)s0.1(dd1得vvttvv010d)s0.1(d有tevv)s0.1(01上式表明，球体的速率v随时间t的增长而减小。又由速度

16、的定义，有tevtyv)s0.1(01dd得ytttevy00)s0.1(0dd1四、运动学的基本问题运动学的问题一般分为两大类:第一类问题是已知质点的位置矢量r=r(t), 而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。例如图 2-13,长为l的细棒 ,在竖直平面内沿墙角下滑,上端 A下滑速度为匀速v。当下端 B离墙角距离为 x (xl)时, B端水平速度和加速度多大解：建立如图所示的坐标系设A端离地高度为 y222lyx方程两边对 t求导022dtdyydtdxxdtdyxydtdxvxy图2-13vxxl22加速度 :222xxdy/dt- yd /dtd xdtx=

17、v232vxl例质点作半径为 R的圆周运动，其速率t2,求：质点任意时刻的加速度a解：224nvtRRaQ2dvdtalxyxyOAB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 24t=+2Rntaee第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。例 1-5. 设 某 一 质 点 以 初 速 度)m/s(

18、1000iv作 直 线 运 动 , 其 加 速 度为. 问：质点在停止前运动的路程有多长解：质点作直线运动自然坐标系圆周运动一、自然坐标系在右图中， BAC为质点轨迹，t时刻质点 P位于 A点，te、ne分别为 A 点切向及法向的单位矢量，以A 为原点，te切向和ne法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质点速度tevv（1）teA,trddttB,dsO图 1-8)sm(102iav精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

19、 - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 上式中，vv为速率。加速度为dtedvedtdvdtvdatt（2）上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与te共线，称该项为切向加速度，记为tttteaedtdva（3）其中，dtdvat（4）ta为加速度a的切向分量。结论 ：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。2、法向加速度式 2 中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图，质点由A 点运动到 B点，有BAdseevvtt因为OAet，OBet，所以te、te夹角为d。ttteeed当0d时，有ddeedtt。因为tteed，所以

20、ted由 A 点指向圆心O，可有nteded式 2 中第二项为：nnntervedtdsrvedtdvdtedv2该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为nnerva2大小为rvan2，na是加速度的法向分量。dtetedte图 1-9精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 结论 ：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。3、总加速度ntnnttntervedtdveaeaaaa2大小：22222rvdtdvaaant

21、（2-8）方向：a与te夹角满足tnaatg相对运动质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系)的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上 ,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系 ,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。atanaOA,t图 1-10精品资

22、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 如图所示，先选定一个基本参考系K（地面） ，如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K 在运动，则称为运动参考系K。设一运动物体（球）P 在某一时刻相对于参考系K和 K 的位置，可分别用位矢和表示；而运动参考系K上的原点 O在基本参考系K中的位矢为，它们之间有如下的关系，即将上式对时间t 求导，得1. ：:物体在基本参考系 K中观察到的速度，称为物体的绝对速度，用表示；2. : 物体在运动参考系K中观测到的速度，称为物体的相对速度，用表示；3. : 运动参考系自身相对于基本参考系K的速度，称为物体的牵连速度，用u 表示。于是，上式可以写成u即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和，这一结论称为速度合成定理，它表述了不同参考系之间的速度变换关系。r r0rxyOK x z yOuKzdtddtddtdrrr0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -