2022年大学线性代数复习题讲课稿.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一(1)选择题1. 设 A，B为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABA B2对于n元齐次线性方程组0Ax，以下命题中，正确的是（）(A) 若A的列向量组线性无关，则0Ax有非零解；(B) 若A的行向量组线性无关，则0Ax有非零解；(C) 若A的行向量组线性相关，则0Ax有非零解(D) 若A的列向量组线性相关，则0Ax有非零解；3若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k必须满足（） 。（A）4k（B）1k

2、（C）1k且4k（D）1k或4k4若存在可逆矩阵C，使1BCAC，则 A 与 B( ) (A) 相等(B) 相似(C) 合同（D) 可交换5.向量组r,21线性相关且秩为 s，则( ) （A）sr(B) sr (C) rs(D) rs6矩阵 A与 B 相似的充分条件是（） 。（A）BA（B）)()(BrAr（C） A与 B 有相同的特征多项式（D） n阶矩阵 A与 B 有相同的特征值且 n 个特征值互不相同。一(2)选择题1. 设 A，B为 n 阶矩阵，则必有（）A.222()2ABAABBB.22()()ABABABC.()()()()AEAEAEAED.222()ABA B2、设有 n维向

3、量组（）：12,rL和（） ：12,()mmrL，则（） (A) 向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流(B) 向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(C) 向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关；(D) 向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关3. 设 A 是 n 阶矩阵， O 是 n 阶零矩阵，且 A2-E=O，则必有（）A.

4、 A=E B. A=-E C . A=A-1D .|A|=1 4已知向量组2,5 ,4,0,0, 0,2,1 , 1,2, 1321t的秩为 2，则 t（ ） 。（A）3（B）3（C）2（D）25矩阵 A与 B 相似的充分条件是（） 。（A）BA（B）)()(BrAr（C） A与 B 有相同的特征多项式（D） n阶矩阵 A与 B 有相同的特征值且 n 个特征值互不相同。6.设nm矩阵 A的秩等于 n，则必有（） 。（A）nm（B）nm（C）nm（D）nm一(3) 、选择题：1. 已知 B 为可逆矩阵，则11() TTB_ (A) B (B)TB (C)1B (D)1()TB2. 若齐次线性方程

5、组000321321321xxxxxxxxx有非零解 , 则（）A.1 或-2 B. 1 或2 C .1 或 2 D . 1 或 2. 3. ,A B均为n阶方阵，且()0A BE，则（）(A) ABA (B) | 0| B | 1A或 (C) | 0|B-E |0A或 (D)0ABE或4. 设A是sn矩阵，则齐次线性方程组0Ax有非零解的充要条件( ). A. A的行向量组线性无关 B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关 D. A的列向量组线性相关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

6、-第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流5. 设2326219321862131D，则42322212AAAA( )。(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 2 一(4) 、选择题：1. 设 n阶矩阵 A的行列式等于 D ，则kA等于 （）.)(A kA)(BAkn)(CAkn 1)(DA2. 设向量组 A能由向量组 B线性表示，则（）.(A) )()(ARBR(B) )()(ARBR (C) )()(ARBR (D)()(ARBR3. 设 n阶矩阵 A， B 和C，则下列说法正确的是（）.)(AACA

7、B则CB)(B0AB,则0A或0B)(CTTTBAAB)()(D22)(BABABA4. 向量组)0, 1 , 1(, )0 ,0,0(,)0, 1 ,0(),0 ,0 , 1(4321的最大无关组为（）（A）21, (B)421,(C)43,（D）321,5.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是. (A) 矩阵A有n个特征值(B) 矩阵A有n个线性无关的特征向量(C) 矩阵A的行列式0A(D) 矩阵A的特征方程没有重根一(5)、单项选择题1、若1333231232221131211aaaaaaaaa，则333231312322212113121111232323aaaaaaaaaaaa（

8、）A、0 B、3 C、1 D、-3 2、设A、B为n阶方阵，I为n阶单位阵，则下列等式正确的是（）A、ABBABA2)(222B、)(22BABABA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流C、ABABAA)()(D、IAAIA2)(223、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（） 。A、nmB、nmC、nmD、nm4、设A、B为n阶方阵，则下列说法正确的是（）A. 若OAB，则0A或

9、0BB. 若OAB，则OA或OBC. 若0AB，则OA或OBD. 若0AB，则OA且OB5、设2326219321862131D，则42322212AAAA( )。A、 1 B、-1 C、0 D、2 6、向量组n,21线性无关的充要条件是（） A、任意i不为零向量B、n,21中任两个向量的对应分量不成比例C、n,21中有部分向量线性无关D、n,21中任一向量均不能由其余n-1 个向量线性表示7、设A为n阶方阵，且秩().,Ana a112是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量, 则AX0的通解为 ( ) A、1kB、2kC、)(21kD、)(21k8、已知2),(321R,3),(432R,则

10、 ( ) A、321,线性无关B、432,线性相关C、1能由32,线性表示D、4能由321,线性表示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流一(6)、1、行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为（）A、0B、1 C、2 D、3 2、设 A、B、C 为 n 阶方阵，则下列说法正确的是（）A、若OAB，则0A或0BB、ABBABA2)(222C、111)(

11、BABAD、若ACAB，则CB3、满足矩阵方程200112101211021X的矩阵X（）A、023B、113102C、011410321D、5433744、设nm矩阵A的秩等于n，则必有（）. A、nmB、nmC、nmD、nm5、已知,A B C均为n阶可逆矩阵，且ABCI，则下列结论必然成立的是（）.A、BCAIB、ACBIC、BACID、CBAI6、设A为n阶方阵，nrAR)(，则A的行向量中（）A、必有r个行向量线性无关B、任意r个行向量构成极大线性无关组C、任意r个行向量线性相关D、任一行都可由其余r个行向量线性表示7、设A为n阶方阵， 且1)(nAr，21,是 AX=0 的两个不同

12、解， 则21，一定（）A、线性相关B、线性无关C、不能相互线性表示D、有一个为零向量8、设有n维向量组（） ：12,rL和（）：12,()mmrL，则（） A、向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关B、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流C、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关D、向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关一（ 7）

13、选择题1. 设 A 为 n 阶方阵 , 则正确的结论是 ( ) (A) 如果2,AO那么 A=O(B) 如果2,AA那么 A=O 或 A=E(C) 如果,AO那么0A(D) 如果0,A那么 AO2. 设1234xx1232yy105,12则12,yy（ ) (A)（1，2）(B) （1，1）(C) （2，1）(D)（1，1）3在矩阵 A 中增加一列而得到矩阵B，设 A、B 的秩分别为1r, 2r，则它们之间的关系必为： ( ) (A)12rr(B)121rr(C) 12rr(D)12rr4. A, B 均为n阶矩阵，且22()()ABABAB，则必有（）(A) BE(B) AE(C) ABBA

14、(D) AB5. 已知向量组 A 线性相关，则在这个向量组中 ( ) (A)必有一个零向量 . (B)必有两个向量成比例 . (C)必有一个向量是其余向量的线性组合 . (D)任一个向量是其余向量的线性组合 . 6. 设 A 为n阶方阵，且秩()1R An,12,a a是非齐次方程组Axb的两个不同的解向量 , 则 Ax=0 的通解为 ( ) (A)12()k aa(B)12()k aa(C)1ka(D)2ka一. （8）选择题1设(.)表示排列的逆序数 , 则(51324)= ( ) (A) 1(B) 5(C) 3(D) 22. 设123,是四元非齐次线性方程组Ax=b 的三个解向量 , 且

15、系数矩阵A 的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流秩等于 3,1(1,2,3,4),T23(0,1,2,3),TC 表示任意常数，则方程组Ax=b 的通解x = ( ) (A)1121;3141C(B)1021;3244C(C)1223;3445C(D)1324.3546C3. 已知向量组1,mK线性相关，则（）(A) 该向量组的任何部分组必线性相关(B) 该向量组的任何部分

16、组必线性无关(C) 该向量组的秩小于m(D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的4设有矩阵,m ll nm nABC则下列运算可行的是 ( ) (A) ABC(B)TA CB(C)TABC(D)TCB A5n 阶矩阵 A 可对角化，则（）(A) A的秩为 n(B) A 必有 n 个不同的特征值(C) A有 n 个线性无关的特征向量(D) A 有 n 个两两正交的特征向量6. 若有1133016 ,02135kkk则 k 等于(A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 二(!)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12 ,2x则数a=_. 2.若 3 阶方阵 A 的

17、三个特征根分别是 1,2,3则方阵 A 的行列式 A3设矩阵 A=1 020 10，B=3010 1 0，则 ABT=_精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4.行列式333222111321321321aaaaaaaaaD的值为5.设矩阵 A=1101 0012 0000 ，则齐次线性方程组0A x的基础解系的向量个数为;6设向量组TTTa)2,1, 1(,)1,2, 1 ,

18、2(,)2 ,6,3 , 1(321线性相关 , 则a二(2)填空题1.设矩阵21100413aA有一个特征值2,对应的特征向量为12 ,2x则数 a=_. 2. 若 n 阶矩阵 A有一个特征根为 2。则2AI3设矩阵A=1 020 10，B=30101 0，则 ABT=_4. 若 n 阶矩阵 A满足224AAI ，则1()IA = . 5在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的符号为6设向量组TTTa)2,1, 1(,)1,2, 1 ,2(,)2 ,6,3 , 1(321线性相关 , 则a二(3) 、填空题：1. 设 A为三阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，已知1A，那么*A_. 2

19、.R AB_R ARB . 3. n 阶矩阵 A满足_ _，称 A 为正交矩阵4. 若Tk11与T121正交，则 k5. 矩阵1302A的逆矩阵为 _ _. 二(4) 、填空题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流 1,112301= .2.排列 7623451的逆序数是.3.若 A 为mn矩阵，则齐次线性方程组Ax0 有非零解的充分必要条件是_.4. 向量( 2,1,0,2

20、)T的模（范数）_.5. 设 A为 3 阶方阵，且|=-2A，则 A的伴随矩阵*A 的行列式*|A=_.二(5)、填空题1、已知矩阵BA，满足EBBA2，且2112A, 则 B的行列式 = .2、设03540202kkD当且仅当 k=3、若A、B均为 3阶矩阵，且2A，3B，则3*3BA4、dcbaA, 且)0(bcad，则*A5、设向量组TTTa)2, 1, 1(,)1, 2, 1 ,2(,)2, 6, 3, 1(321线性相关 , 则a6、若齐次线性方程组0002321321321xxkxxkxxxxx有非零解，则k二(6)、填空题1、在 5 阶行列式中，项5314453221aaaaa的

21、符号为2、I为n阶单位矩阵，k为整数，则)(kIR3、若A、B均为n阶矩阵，且2A，022IABA，则BA4、如果n,21线性无关，且1n不能由n,21线性表示，则121,n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流的线性5、设T)5 ,2(1, Ta)1(2，当a时，21,线性相关 . 6、行列式0001002103014121二（7） 填空1已知 A=1101，则2016A_

22、_。2. 设2是可逆矩阵 A 的一个特征值 , 则矩阵1213A的一个特征值为。3. 设123456333A，则齐次线性方程组Ax=0 的基础解系所含向量个数为_。4. 设 A,B 均为 4 阶方阵，且2A，3B则1A B。5. 在五阶行列式中，项2543543112aaaaa的符号应取( 填正号或负号 )。6. 已知 B 为可逆矩阵 ,则11() TTB= 。二（8）填空1设31,13A则4A。2矩阵方程组m nAXB有解的充分必要条件是 _ 。3. 设向量组12:,lB b bbL能由向量组12:,mA a aaL线性表示，则12(,)mR a aaL12(,)lR b bbL。( 填“=

23、”或“”或“” ) 4. 设 A, B 均为 3 阶方阵，且2A，3B，则12TA B_。5. 设向量组11,1,1T ,21,2,3T ,31,3,Tt线性无关， 则 t。 6.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流若 n 阶矩阵 A 有一个特征值是 1, 则253AAE有一个特征值三(1)计算题1.设245031001A，求 (4E) (4E)TAA 。2.计算行列式11

24、11111111111111xxDyy3解矩阵方程XBAX,其中101111010A，350211B。4求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5. 设11124233Ax，已知 A与对角形矩阵相似， A的特征值是 2,2,y ，求 x 和 y 的值。6给定向量组123412341345,.011246ab已知矩阵1234()A，的秩为()2,R A求（1）,a b的值； （2）向量组4321，的一个极大线性无关组；（3）把其余向量用这个最大线性无关组表示出来.(6 分) 三(2)计算题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

25、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1计算A0112012120112110。2解矩阵方程XBAX,其中101111010A，350211B。3求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量用此极大无关组线性表示11221021 51110414求线性方程组12222412432143214321xxxxxxxxxxxx的解。5. 设21222361xA，40000002By，已知 A与 B相似，求 x 和 y 的值。6齐次线性方程

26、组02043032321321321axxxxxxxxx中，当 a 为何值时有非零解，并求出其通解。三(3) 、计算题1. 已知25461321X，求 X. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2. 求阶 n 行列式 D=xabcaxbcabxc3. 求矩阵201034011A的特征值和特征向量4. 设线性方程组123123123(1)0,(1)3,(1),xxxxxxxx

27、x问取何值时，此方程组（ 1）有唯一解；(2) 无解;(3) 有无限多解？并在有无限多解时求其通解. 5. 试求向量组A:T1(1,1,2,2),T2(0,2,1,5),T3(2,0,3,-1),T4(1,1,0,4)的秩和该向量组 A的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示.6. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系, 并用基础解系表示方程的通解1234123412340311232xxxxxxxxxxxx三(4) 、计算题 1.计算 4 阶行列式2141312112325062D2. 求矩阵的逆121111110A 3.求矩阵3113A的特征值和特征向量 .4

28、. 问a取什么值时向量组a1(a 1 1)Ta2(1 a1)T a3(11 a)T1)线性相关 , 2)线性无关 . 5. 求下向量组的秩和一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流关组线性表示123421234 ,1 ,3 ,5 .20126. 求方程组1212341234522153223xxxxxxxxxx的全部解，并用齐

29、次线性方程组的基础解系表示出来 . 三(5)、1、812784194213211112、011101110nD（主对角线为0，其余为 1）3、判断矩阵011012111A是否可逆，并求其逆矩阵. 4、设矩阵12213121A，请讨论矩阵A 的秩 . 5 、 求 向 量 组A: T)2, 1, 1(1，T) 1 ,3 ,0(2，T)7, 0, 3(3，T)2,2,1 (4，T)5 ,1 ,2(5的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示. 6、求非齐次线性方程组5793583332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的通解 . 三(6)、计算题1、yyxx1111

30、1111111111112、81278419421321111精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3、判断矩阵201013121A是否可逆，若可逆请求其逆矩阵. 4、已知矩阵12243311At的秩3)(AR，请求t的值 . 5 、 求 向 量 组A：T)-2,6,2,0(1，T)1,-2,-1,0(2，T)-2,-4,0,2(3，T)22 ,10,0(4，的一个极大无关组

31、，并将其余向量由它线性表示. 6、求齐次线性方程组7793183332154321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx的通解 . 三（7） 计算题1设3312A，1121B , 求2TABB 。2计算四阶行列式41241202105200117D的值。3. 设25461321X , 求矩阵 X 。4求矩阵3223A的特征值和特征向量。5。求向量组1=(1,-2,3,-1,2)T, 2=(3,-1,5,-3,-1)T, 3=(5,0,7,-5,-4)T ,4=(2,1,2,-2,-3)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。精品资料

32、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流6。求非齐次线性方程组214321432143212201xxxxxxxxxxxx的通解 , 并求其对应的齐次线性方程组的基础解系。三（8）计算题1设3122A，2132B , 求 BAAB 。2. 计算五阶行列式1111098010000710605413020015D3. 求矩阵1234012300120001A的逆矩阵1A. 4求矩阵 A 的

33、特征值与特征向量 ,其中110430 .102A5 试求向量组1=(1,1,2,2)T,2=(0,2,1,5)T,3=(2,0,3,-1)T,4=(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。6 取为何值时 , 线性方程组12312321231xxxxxxxxx有唯一解 , 无穷多解 , 无解?四(1) 证明题1. 若A是反对称矩阵，B是对称矩阵，求证: AB是反对称矩阵的充要条件是ABBA.2.已知向量组123,a aa线性无关，1223132+2,+2,线性无关 . 四(2) 证明题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

34、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流1. 设0是非齐次线性方程组bAX的一个特解，1，2是其导出组0AX的一个基础解系，试证明：（1）101，202均是bAX的解； （2）0，1，2线性无关四(3) 、证明题1.设方阵 A满足 A2A 2E O 证明 A 及 A 2E 都可逆并求 A1及(A 2E)12. 已知 R(a1a2a3) 2 R(a2a3a4) 3证明(1) a1能由 a2a3线性表示(2) a4不能由 a1a2a3线性表示四(4

35、) 、证明题1.设方阵 A满足 A22A 4E O证明 A E 都可逆并求( A E)12. 已知向量组123,a aa线性无关，112223331,baa baa baa，试证明向量组123,b bb线性无关 . 四(5)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：31，12，32线性无关 . 2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证：nAR)(*. 四(6)、证明题1、设向量组A：321,线性无关，求证：212，1323，133线性无关 . 2、设A为为n阶可逆矩阵，*A为A的伴随矩阵，求证*A为满秩矩阵 . 四（7）证明题 1设 n 阶方阵 A 满足320AAAE, 证明：

36、矩阵 A 可逆, 并求出其逆矩阵。2若向量组123,线性无关，而1123，21232，四（8） 证明题1 已 知 向 量 组 A1(0,1,1)Ta，2(1,1,0)Ta， 向 量 组 B1( 1,0,1)Tb，2(1,2,1)Tb，3(3,2, 1)Tb， 证明：向量组 A与向量组 B等价。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2 （4 分）设 A是n阶矩阵，若方阵 A 满足 A2-2A-4E = O，证明：A+E 可逆，并求矩阵1AE。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -