2022年大学自主招生数学试题教学内容.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流HGDCABEFABCDE2018年北京大学自主招生数学模拟试题答题时注意 : 1、试卷满分150 分;考试时间： 120 分钟. 2、试卷共三大题，计1道题。考试结束后，将本卷及演算的草稿纸一并上交。一、 选择题 （共 5 小题， 每题 6 分， 共 30 分. 以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）1、 如果关于 x 的方程2230 xaxa至少有一个正根， 则实数 a 的取值范围是 （）A、22aB、23aC、23aD

2、、23a2、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边BCAB、的中点，DFBD、分别交CE于 点HG、， 若 正 方 形ABCD的 面 积 是240， 则 四 边 形BFHG的 面 积 等于（）A、26 B、28C、 24 D、30 3 、设zyx、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(zxxyxzxxyx，则代数式xyzzyx3333的值是（）A、0 B、1 C、3 D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的A，已知：30,53cos,10BCEBCDBC，则线段DE的长是（）A、89B、73C、4+33D、3+435、某学校共有3125 名学

3、生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（）A、 296 B、221 C、225 D、641 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流二、填空题：（共 5 小题，每题 6 分，共 30 分）6、已知：实常数dcba、同时满足下列两个等式：0cossincba；0s

4、incosdba（其中为任意锐角） ，则dcba、之间的关系式是：。7、函数4433221xxxxy的最小值是。8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是。9、已知：253x，则2可用含x的有理系数三次多项式来表示为：2= 。10、设 p、q、r 为素数，则方程2223rqpp的所有可能的解p、q、r组成的三元数组 ( p, q, r ) 是。三、解答题（共6 题，共 90 分）11、 （本题满分12 分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋

5、友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告. 报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的26abczL L， ， ，个字母（不论大小写）依次用12 326L， ， ，这 26 个自然数表示，并给出如下一个变换公式：的正偶数）是不超过其中的正奇数）是不超过其中26(132126( 12xxxxy； 已知对于任意的实数x，记号 x表示不超过x的最大整数；将英文字母转化成密码，如17132188，即qh变成，再如6121111，即fk变成。他们给出下列一组密码：etwcvcjw

6、 ejncjwwcabqcv，把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。现在就请你把它翻译出来，并简单地精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流写出翻译过程。12、 （本题满分15 分）如果有理数m可以表示成22562yxyx（其中yx、是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。个“世博数”ba、之积也是“世博数”吗？为什么？证明：两个“世博数”ba、（0b）之商也是“世博数” 。精

7、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流GABCDEH13、 （本题满分15 分）如图，在四边形ABCD中，已知ABC、BCD、ACD的面积之比是314，点E在边AD上，CE交BD于G，设kEADEGDBG。求32207k的值；若点H分线段BE成2HEBH的两段， 且2222pDHBHAH，试用含p的代数式表示ABD三边长的平方和。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

8、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流14、 （本题满分16 分）观察下列各个等式：,304321 ,14321 ,521 , 112222222222。你能从中推导出计算222224321n的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决下列问题：已知：如图，抛物线322xxy与x、y轴的正半轴分别交于点BA、，将线段OAn等分，分点从左到右依次为1654321nAAAAAAA、，分别过这1n个点作x轴的垂线依次交抛物线

9、于点1654321nBBBBBBB、，设1OBA、211ABA、 322ABA、 433ABA、 、 ABAnn11的 面 积 依 次 为nSSSSS、4321。当2010n时，求123452010SSSSSSL的值；试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流ABJKLMNOPQRSWXYZC15、 （本题满分16

10、 分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4 的直角三角形ABC；腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL；腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形PQRS；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7 的铁圆环。我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作” ；否则，便称为“不可操作” 。证明：第种塑料板“可操作”；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作” 的概率。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

11、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流IADCBEF16、 （本题满分16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。如图所示，已知：I是ABC的BC边上的旁切圆，FE、分别是切点，ICAD于点D。试探究：FED、三点是否同在一条直线上？证明你的结论。设,6,5 BCACAB如果DIE和AEF的面积之比等于m，nEFDE，试作出分别以mnnm、为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -