2022年江苏省盐城市届高三上学期期中数学试卷.pdf

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1、2016-2017 学年江苏省盐城市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1函数 y=2sin（x+）的最小正周期是2【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用函数y=Asin （x + ）的周期为，得出结论【解答】解：函数y=2sin（x+）的最小正周期是=2，故答案为： 22设向量=（2， 6） ，=（ 1，m） ，若，则实数 m=3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理，列出方程求解即可【解答】解：向量=（2， 6） ，=（ 1，m） ，若，可得 2m=6，解得 m

2、=3故答案为： 33命题 p：? x0R，x02+2x0+10 是真命题（选填 “ 真” 或“ 假 ” ） 【考点】命题的真假判断与应用；二次函数的性质【分析】举出正例x0=1，可判断命题的真假【解答】解： x2+2x+1=0 的 =0，故存在 ?x0=1R，使x02+2x0+10成立，即命题 p：? x0R，x02+2x0+10 是真命题，故答案为：真4已知集合A=1 ，2，3，4，B=y|y=3x 2，xA ，则 A B=1， 4【考点】交集及其运算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1

3、页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【分析】 把 A 中元素代入y=3x 2 中计算求出y 的值， 确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：把x=1，2，3，4 分别代入 y=3x2 得：y=1，4，7，10，即 B=1 ，4，7，10 ，A=1 ，2，3，4，AB= 1，4，故答案为： 1，4，5已知函数f（x）=ax1+3（a0，且 a1）的图象一定过定点（1，4）【考点】指数函数的图象变换【分析】由指数函数恒过定点（0，1） ，再结合函数的图象平移得答案【解答】解：y=ax恒过定点（ 0，1） ，而函数 f（x）=ax1+3（a0，且 a1）的图象是把y

4、=ax的图象向右平移1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的，函数 f（x）=ax1+3（a0，且 a1）的图象一定过定点（1，4） 故答案为：（1，4） 6在等比数列 an中，已知 a1+a2=1，a3+a4=2，则 a9+a10=16【考点】等比数列的通项公式【分析】由 an 是等比数列，可得a1+a2，a3+a4， ，a9+a10构成等比数列，再由等比数列的通项公式求解【解答】解：在等比数列an中，由 a1+a2=1，a3+a4=2，可得 a9+a10=（a1+a2）24=124=16故答案为： 167若函数 f（x）=x3+x2ax+3a 在区间 1，2上单调递增，则实数a的取值范围是

5、（ ，3【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】首先对f（x）求导： f（x）=x2+2xa；函数 f（x） =x3+x2ax+3a 在区间 1，2上单调递增即导函数f（x）在 1， 2上恒有 f（x） 0；【解答】解：对f（x）求导： f（x）=x2+2xa；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 函数 f（x）=x3+x2ax+3a 在区间 1，2上单调递增即导函数 f（x）在 1，2上恒有 f（x） 0；f（x）为一元二次函数，其

6、对称轴为：x=1，开口朝上，故 f（x）在 1，2上为单调递增函数；故只需满足： f（1）0 解得： a3；故答案为：（ ，38已知 sin =，且 为钝角，则cos=【考点】半角的三角函数【分析】 根据题意， 由余弦的二倍角公式可得cos=，又由 是钝角， 可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案【解答】解：由是钝角，即90 180 ，则 45 90 ，cos 0，cos0，cos=，cos=故答案为：9在 ABC 中，已知 sinA：sinB：sinC=3：5：7，则此三角形的最大内角等于【考点】余弦定理【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利

7、用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数【解答】解：由sinA：sinB：sinC=3：5：7，根据正弦定理=得： a：b：c=3：5：7，设 a=3k，b=5k，c=7k，显然 C 为最大角，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 根据余弦定理得：cosC=，由 C（0， ） ，得到 C=故答案为：10已知 f（x）为奇函数，当

8、x0 时， f（x）=ex+x2，则曲线y=f（x）在 x=1 处的切线斜率为2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设x0，则 x0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x0 的解析式，求得导数，代入x=1，计算即可得到所求切线的斜率【解答】解：设x0，则 x0，f（ x）=ex+x2，由 f（x）为奇函数，可得f（ x）=f（x） ，即 f（x）=exx2，x0导数为 f （x）=ex2x，则曲线 y=f （x）在 x=1 处的切线斜率为2故答案为：211若函数 f（x）=在区间（ ，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，则实数a 的取值范围是1，0【考点】函数单调性的性质【分析】

9、反比例函数y=的在区间（ ，0）上单调递减，在（0，+）上单调递减，要使 xa 在区间（ ， a）上单调递减， 那么： a0在（a，+）上单调递增， 则函数 y=|x+1|的单调增区间必须在（a，+ ）内，则 a+10，即可求实数a 的取值范围【解答】解：函数f（x）=，根据反比例函数的性质可知，在区间（ ，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（ ，a）上单调递减，则：a0那么：函数f（x）=|x+1|在（ a，+）上单调递增，那么：a+10，解得： a 1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

10、 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 故得实数 a的取值范围是 1，0故答案为： 1，012在数列 an 中，a1=2101，且当 2n100 时， an+2a102n=32n恒成立，则数列an的前 100 项和 S100=4【考点】数列的求和【分析】当 2n100 时，an+2a102n=32n恒成立， 可得：a2+2a100=322， a3+2a99=323， ，a100+2a2=32100，累加可得数列an的前 100 项和【解答】解：当2n100 时， an+2a102n=32n恒成立，a2+2a100=3 22，a3+2a99=323，a100+2a2=32

11、100，（ a2+2a100）+（a3+2a99）+（a100+2a2）=3（a2+a3+a100）=3（22+23+2100）=3a2+a3+a100=21014，又 a1=2101，S100=a1+a2+a3+a100=4故答案为： 413在 ABC 中，已知 AC=4 ，C=，B（，） ，点 D 在边 BC 上，且 AD=BD=3 ，则?=6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据条件画出图形，容易判断出BDA 为锐角，而在ACD 中，根据正弦定理可求出 sinADC 的值，进而得出cosBDA 的值，而，这样带入进行数量积的运算即可求出该数量积的值【解答】解：如图，精品资料 - - -

12、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - AD=BD ； DAB= B；在 ACD 中， AC=4，AD=3 ，C=，由正弦定理得：；即；=6故答案为： 614设函数 f（x）=kx2kx，g（x）=，若使得不等式f（x） g（x）对一切正实数x 恒成立的实数k 存在且唯一，则实数a 的值为2【考点】函数恒成立问题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，

13、共 18 页 - - - - - - - - - - 【分析】根据题意：g（x）=lnx （x1） ，图象过（ 1， 0） ，所以二次函数图象过（1，0） ，即 k=1，可得函数f（x）=x2x，当 0 x1 时，要使f（x）对一切正实数x 恒成立，即x2x x3+（a+1）x2ax利用二次函数的性质求解即可【解答】解：由题意：函数f（x）=，g（x）=，当 g（x）=lnx （x1） ，图象过（ 1，0） ，使得不等式f（x） g（x）对一切正实数x 恒成立的实数 k 存在且唯一，即kx2kxlnx0，令 m（x）=kx2kxlnx0 则 m （x）=2kxk0实数 k 存在且唯一，当x=1

14、 时，解得 k=1即 k=1可得函数f（x）=x2x当 0 x1 时，要使 f（x） g（x）对一切正实数x 恒成立，即x2x x3+（ a+1）x2ax令 h（x）=x2ax+a10，对一切正实数x 恒成立且唯一， =a24（a1）=0，解得： a=2故答案为： 2二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设 p：实数 x 满足 x24ax+3a20，其中 a0； q：实数 x 满足0（1）若 a=1，且 pq为真，求实数x 的取值范围；（2）若 p是 q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围【考点】必要条件、充分条件

15、与充要条件的判断【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，q，若 pq 为真，则 p，q 至少有 1个为真，即可得出；（2）根据 p 是 q 的必要不充分条件，即可得出【解答】解： （1）由 x24ax+3a20，得（ x3a） （xa） 0，又 a0，所以 ax3a，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 当 a=1 时， 1x3，即 p 为真时实数x 的取值范围是1x3q 为真时等价于（ x2） （x3） 0，得 2x3，

16、即 q 为真时实数x 的取值范围是2x3若 pq 为真，则实数x 的取值范围是1x3（2）p 是 q 的必要不充分条件，等价于q? p 且 p 推不出 q，设 A=x|a x3a，B=x|2 x3，则 B?A；则，所以实数 a的取值范围是1a216设函数 f（x）=Asin（x + ） （A， ，为常数，且A 0， 0，0 ）的部分图象如图所示（1）求 A， ，的值；（2）设 为锐角，且f（ ）=，求 f（ ）的值【考点】由y=Asin （x + ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin （x + ）的图象变换【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求 ，由，得，kZ，结合范

17、围0 ，可求 的值（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求 cos（2 +）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】（本题满分为14 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 解： （1）由图象，得，最小正周期，由，得，kZ，kZ，0 ， （2）由，得，又，=17如图，在四边形ABCD 中， |=4，?=12，E 为 AC 的中点（1）若 cosABC=，求 ABC 的面积 SABC；（2）若=2

18、，求?的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 【考点】平面向量数量积的运算【分析】 （1）容易求出 sinABC=，并且可求出的值，根据三角形面积公式即可求出 ABC 的面积；（2）可以 E 为坐标原点， AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，并可得到 A（ 2，0） ，C（2，0） ，并设 D（x，y） ，根据条件可求得E 点坐标，从而求出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x2+y2=4，这样便可求出的值【解答】解： （1）

19、， ABC （ 0， ） ；=；=；（2）以 E 为原点， AC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系：则 A（2，0） ，C（2，0） ，设 D（x，y） ；由，可得 B（ 2x， 2y） ；则=12；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - x2+y2=4；18如图所示，有一块矩形空地ABCD ，AB=2km ，BC=4km ，根据周边环境及地形实际，当地政府规划在该空地内建一个筝形商业区AEFG ，筝形的顶点A，E，F，G

20、 为商业区的四个入口，其中入口F 在边 BC 上（不包含顶点） ，入口 E，G 分别在边 AB ，AD 上，且满足点 A，F 恰好关于直线EG 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区（1）请确定入口F 的选址范围；（2）设商业区的面积为S1，绿化区的面积为S2，商业区的环境舒适度指数为，则入口F 如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0） ，设 F（2， 2a） （02a4） ，则 AF 的中点为（ 1，a） ，斜率为a，EG AF，求出 EG 的方程，列出不等式即可

21、求出；（2）因为，该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小转化为求其最小值【解答】解：（1）以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A（0，0） ，设 F（ 2，2a） （02a4） ，则 AF 的中点为（ 1，a） ，斜率为a，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 而 EGAF，故 EG 的斜率为，则 EG 的方程为，令 x=0，得；令 y=0，得；由，得，即入口 F 的选址需满足BF

22、的长度范围是（单位： km） （2）因为，故该商业区的环境舒适度指数，所以要使最大，只需S1最小设，则，令 f（a）=0，得或（舍），a，f（a） ，f（a）的情况如下表：a 2（2，）1 f（a）0 + f（a）减极小增故当，即入口 F 满足km 时，该商业区的环境舒适度指数最大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 19设函数 f（x）=lnx ax（aR） （1）若直线 y=3x1 是函数 f（ x）图象的一条切线，求实数a的值

23、；（2）若函数 f（x）在 1，e2上的最大值为1ae（e 为自然对数的底数） ，求实数a 的值；（3）若关于 x 的方程 ln（2x2x3t）+x2xt=ln （xt）有且仅有唯一的实数根，求实数 t 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出原函数的导函数，得到x=，求出 f（）=ln，代入直线 y=3x1 求得 a 值；（2）求出原函数的导函数，然后对a 分类得到函数在1，e2上的单调性，并进一步求出函数在 1，e2上的最大值，由最大值等于1ae求得 a值；（3）把 ln（2x2x3t）+x2x t=ln（xt）转化为 ln（ 2x2

24、x3t）（2x2x3t）=ln（xt）（xt） ，构造函数g（x）=lnx+，则 g（x）在（ 0，+）上是增函数，得到，画出图形，数形结合得答案【解答】解： （1）由 f（x）=lnx ax，得 f （x）=3，x=，则 f（）=ln，ln=，得 ln=0，即 a= 2；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （2）f （x）=，当 a时， f （x）0 在1，e2上恒成立，故f（x）在 1，e2上为增函数，故 f（x）的最大值为f

25、（e2）=2ae2=1ae，得（舍）；当a1 时，若 x1，f （x） 0，x，f （x） 0，故 f（x）在 1，e2上先增后减，故，f（1）=a，f（e2）=2ae2，即当时，得（舍）；当时，f（x）max=a=1ae，得 a=；当 a1 时，故当 x1，e2时，f （x）0，f（x）是 1，e2上的减函数，故 f（x）max=f（1）=a=1ae，得 a=（舍） ；综上， a=；（3）ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）? ln（2x2x3t）（2x2x3t）=ln（xt）（xt） ，令g（x）=lnx+，则g（x）在（0，+）上是增函数，又g（2x2x3t）=g（xt） ，2x

26、2x3t=xt? 2（x2xt） =0，即?，作出图象如图：由图可知，实数t 的取值范围是t=或 0t2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 20若数列 an 中的项都满足a2n1=a2na2n+1（nN*） ，则称 an为“ 阶梯数列 ” （1）设数列 bn是“ 阶梯数列 ” ，且 b1=1，b2n+1=9b2n1（nN*） ，求 b2016；（2）设数列 cn是“ 阶梯数列 ” ，其前 n 项和为 Sn，求证： Sn中存在连续三

27、项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列 dn是“ 阶梯数列 ” ，且 d1=1，d2n+1=d2n1+2（n N*） ，记数列 的前 n项和为 Tn，问是否存在实数t，使得（ tTn） （t+）0 对任意的nN*恒成立？若存在，请求出实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】数列递推式；等差数列的通项公式【分析】（1）设数列bn是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n1（nN*） ，b2016=b2015，再利用等比数列的通项公式即可得出（2）由数列 cn是“ 阶梯数列 ” ，可得 c2n1=c2n即可得出S2n1S2n2=S2nS2n1，即可证明Sn中存在连续三

28、项成等差数列假设Sn 中存在连续四项成等差数Sn+1 Sn=Sn+2Sn+1=Sn+3Sn+2，可得 an+1=an+2=an+3，得出矛盾精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - （3）设数列 dn是“ 阶梯数列 ” ，且 d1=1，d2n+1=d2n1+2（ nN*） ，利用等差数列的通项公式可得： d2n1=2n1=d2n=n=2k（kN*）时，Tn=T2k=+=2，利用 “ 裂项求和 ” 及其数列的单调性可得Tn，由（ tTn）

29、 （t+）0，可得tTnn=2k 1（kN*）时， Tn=T2k=T2k，同理可得【解答】（1）解：设数列 bn 是“ 阶梯数列 ” ，且 b1=1， b2n+1=9b2n1（nN*） ，数列 b2n1是等比数列，首项为1，公比为 9b2016=b2015=b210081=1910081=91007=32014（2）证明：数列cn 是“ 阶梯数列 ” ，c2n1=c2nS2n1S2n2=S2nS2n1，因此 Sn 中存在连续三项成等差数列假设 Sn中存在连续四项成等差数Sn+1Sn=Sn+2Sn+1=Sn+3Sn+2，an+1=an+2=an+3，n=2k1 时，a2k=a2k+1=a2k+2

30、，与数列 cn是“ 阶梯数列 ” 矛盾；同理 n=2k 时，也得出矛盾（3）解：设数列 dn 是“ 阶梯数列 ” ，且 d1=1，d2n+1=d2n1+2（nN*） ，数列 d2n1是等差数列，公差为2，首项为 1d2n1=1+2（n1）=2n1=d2n精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - =n=2k（kN*）时，Tn=T2k=+=2=2=1=1=Tn，（ tTn） （t+）0，tTn，解得 1tn=2k1（kN*）时， Tn=T2k=T2k=1（12k112k+1）=1，3， 1） （ tTn） （t+）0，tTn， 1t由 可得：实数t 的取值范围是1t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 2016 年 12 月 3 日精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -