2022年河北衡水中学高三上学期期中考试数学理试题.pdf

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1、20132014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 满分 150 分. 考试时间120 分钟 . 第卷（选择题共 60 分）一、选择题： （本题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1平面向量a与b的夹角为 60，(2,0),1,ab则2ab（）（A）3（B）2 3（ C）4 （D）122若集合2540 ;1 ,Ax xxBx xa则“(2,3)a”是“BA”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件3已知平面向量,m nu r r的夹角为,

2、6且2,3 nm，在ABC中，22ABmnuu u ru rr，26ACmnuuu ru rr，D为BC中点，则ADuuu r( )A.2 B.4 C.6 D.84某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）（A）92 14 （B）82 14 （C）9224 （D）8224 5已知等差数列na中，37101140,4aaaaa，记12nnSaaaL，S13=( )A78 B68 C56 D52 6已知双曲线22221xyab(0,0)ab的左、右焦点分别为12,F F，以12|F F为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）A2211

3、69xy B22134xyC221916xy D22143xy24侧视6正视图俯视图45精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7在ABC中, 角,A B C所对的边分别为, ,a b c, 且满足sincosaBbA, 则2sincosBC的最大值是 ( )A1 B. 3 C. 7 D. 278若函数1( )e (0,)axf xabb0的图象在0 x处的切线与圆221xy相切，则ab的最大值是（）（A）4 （B）2 2（C ）2 （

4、D）29. 在椭圆22221(0)xyabab中，12,FF分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得122PFPF，则该椭圆离心率的取值范围是( ) A1,13B1,13C10,3 D10,310已知 A、B、C是球 O的球面上三点，三棱锥OABC的高为 2且ABC=60 ， AB=2 ， BC=4 ，则球 O的表面积为（） A24 B. 32 C. 48 D. 19211已知定义在R 上的函数( )yf x对任意的x都满足(1)( )f xf x，当11x 时，3( )f xx，若函数( )( )logag xf xx至少 6 个零点，则a取值范围是（）（A）10,5,5U（ （）（B）1

5、0,5,5U（）（C）1 1,5,77 5U（）（D）1 1,5,77 5U（）12 对 于 定 义 域 为D的 函 数yfx和 常 数c， 若 对 任 意 正 实 数，,xD使 得0|( )|f xc恒成立，则称函数yfx为“敛c函数”现给出如下函数：fxx xZ； 112xfxxZ；2logfxx； 1xfxx. 其中为“敛1 函数”的有A B C D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 卷非选择题（共 90 分）二、填空题（本题

6、共4 个小题，每小题5 分，共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13. 过点( 1,1)的直线与圆2224110 xyxy截得的弦长为4 3，则该直线的方程为。14 已知动圆的圆心C 在抛物线 x2=2py（p0）上，该圆经过点A（ 0，p） ，且与 x 轴交于两点M、N，则 sinMCN 的最大值为15. 如果直线21400,0axbyab和函数110,1xfxmmm的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆221225xayb的内部或圆上，那么ba的取值范围_. 16已知函数( )fx 定义在 R上的奇函数，当0 x时，()(1)xfxex，给出下列命题：当0 x时，()(1

7、);xfxex函数( )f x 有 2 个零点( )0f x的解集为 ( 1,0)(1,)U12,xxR ，都有12|()() |2f xf x其中正确的命题是三、解答题（共7个题，共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17如图所示，扇形AOB,圆心角 AOB的大小等于3，半径为2，在半径OA上有一动点C ，过点 C作平行于 OB的直线交弧AB于点 P. （1）若 C是半径 OA的中点，求线段PC的长；（2）设COP, 求POC面积的最大值及此时的值。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

8、第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 18. 数列na的前n项和为nS，且na是nS和1的等差中项， 等差数列nb满足11ba，43bS.（1）求数列na、nb的通项公式；（2）设11nnncb b，数列nc的前n项和为nT，证明：1132nT.19（12 分） 如图，四边形 PCBM 是直角梯形，PCB=90 ，PM BC ，PM=1 ， BC=2 又 AC=1 ， ACB=120 ，AB PC ，直线 AM与直线 PC所成的角为60（1）求证： PC AC ；（2）求二面角M AC B的余弦值；（3）求点 B到平面 MAC 的距离精品资料 - - - 欢迎下载

9、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(1)xyabab 的离心率32e，且椭圆C上一点N到点 Q0 3（ ，）的距离最大值为 4，过点3,0M （）的直线交椭圆C于点.AB、（）求椭圆C的方程；（）设 P为椭圆上一点，且满足OAOBtOPuuu ruu u ruuu r（O为坐标原点），当3AB时，求实数t的取值范围 . 21已知函数f （x）=alnx+（a0）在（ 0，）内有极值（I ）求实数 a 的取值范围

10、；（II ）若 x1（0，） ，x2（ 2，+）且 a，2 时，求证： f （ x2） f （x1）ln2+精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 请考生在第22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22. 如图，已知 O的半径为1，MN是 O的直径，过M点作 O的切线 AM ，C是 AM的中点， AN交O于 B点，若四边形BCON 是平行四边形 .（）求 AM的长；（）求 sin AN

11、C 23. 已知函数|)(axxf。（1）若mxf)(的解集为51|xx，求实数ma,的值。（2）当2a且0t时，解关于x的不等式)2()(txftxf。20132014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）答案一、选择题BAAAD CADBC AC 11. 由(1)( )f xf x得(1)(2)f xf x，因此( )(2)fxf x，函数周期为2. 因函数( )( )logag xf xx至少 6 个零点， 可转化成( )yfx与( )log|ah xx两函数图象交点至少有 6 个，需对底数a进行分类讨论 . 当1a时：得(5)log 51ah，即5a. 当01a时：得( 5)log

12、51ah，即105a. 所以a取值范围是10,5,5U（ （）.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 12.fxx xZ；由于函数递增，那么不会存在一个正数，满足不等式。112xfxxZ；当 x0,c=2,那么存在 x，满足题意，成立。2logfxx；对于 1x1,c=3 ，则可知满足题意。故选C.二、填空题13、13410 xxy或 14 、1 15 、3 4,4 3 16. 14.由题意，设C（x0，y0） ，则 C 的方程（ x

13、x0）2+（yy0）2=x02+（ y0p）2把 y=0 和 x02=2py0代入整理得x22x0 x+x02+p2=0设 M 、N 的横坐标分别为x1、x2，则 x1=x0p，x2=x0+p |MN|=|x1x2|=2p|CM|=|CN|=11 cosMCN 1，0MCN 0sinMCN 1，sinMCN 的最大值为1 故答案为： 1 16. 设0 x，则0 x，故()(1)( )xfxexf x，所以( )(1)xf xex，故错；因为( )f x定义在 R上的奇函数，所以(0)0f，又0,( 1)0 xf时，0(1)0 xf时，故精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

14、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - ( )f x有3个零点，错；当0 x时，令( )(1)0 xf xex，解得10 x，当0 x时，令( )(1)0 xf xex解得1x，综上( )0f x的解集为( 1,0)(1,)， 正确； 当0 x时，( )(2)xfxex，( )f x在2x处取最小值为21e，当0 x时，( )(2)xfxex，( )f x在2x处取最大值为21e， 由此可知函数( )f x在定义域上的最小值为21e， 最大值为21e， 而222112()2eee，所以对任意的

15、12,x xR，都有12|()()|2f xfx， 正确三、解答题17、18、 （1）na是nS和1的等差中项，21nnSa当1n时，11121aSa，11a当2n时，111(21)(21)22nnnnnnnaSSaaaa，12nnaa，即12nnaa 3分数列na是以11a为首项，2为公比的等比数列，12nna，21nnS 5分设nb的公差为d，111ba，4137bd，2d精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 1(1)221nbn

16、n 6分（2）111111()(21)(21)2 2121nnncb bnnnn 7分11111111(1.)(1)2335212122121nnTnnnn 9分*nN, 11112212nTn 10分111021212121nnnnTTnnnn数列nT是一个递增数列113nTT. 综上所述，1132nT 12分19、 解：方法 1： （1）证明： PC BC ，PC AB ，PC 平面ABC ，PC AC （2 分）（2）取 BC的中点 N，连 MN PM= CN ，MN= PC ，MN 平面ABC 作 NH AC ，交 AC的延长线于H，连接 MH 由三垂线定理得AC MH ，MHN为二面

17、角 M AC B的平面角直线 AM与直线 PC所成的角为 60，在 RtAMN中，AMN=60 在ACN中，在 RtAMN中，在 RtNCH中，在 RtMNH中，故二面角 M AC B的余弦值为 （8分）（3）作 NE MH于 EAC 平面 MNH ，AC NE ，NE 平面MAC ，点 N到平面 MAC 的距离为点 N是线段 BC的中点，点 B到平面 MAC 的距离是点N到平面 MAC 的距离的两倍为 （12 分）方法 2： （1）证明： PC BC ，PC AB ，PC 平面ABC ，PC AC （2 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

18、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （2）在平面 ABC内，过 C作 BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示设 P（0，0，z） ，则，且 z0，得 z=1，设平面 MAC 的一个法向量为=（x，y，1） ，则由得得平面 ABC的一个法向量为显然，二面角M AC B为锐二面角，二面角M AC B的余弦值为 （8 分）（3）点 B到平面 MAC 的距离 （12 分）20、解析： （）2222223,4cabeaa224,ab（1 分）则椭圆方程为22221,4xybb即22244.xyb设( , ),N x y则2

19、2222(0)(3)44(3)NQxybyy222236493(1)412yybyb当1y时，NQ有最大值为24124,b解得21,b24a，椭圆方程是2214xy（4 分）（）设1122(,),(,),( , ),A x yB xyP x yAB方程为(3),yk x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 由22(3),1,4yk xxy整理得2222(14)243640kxk xk. 由24222416(91)(14)0k kkk

20、，得215k . 2212122224364,.1414kkxxxxkk（6 分）1212(,)( , ),OAOBxxyyt x yuu u ruu u r则2122124()(14)kxxxttk, 12122116()()6.(14)kyyyk xxktttk由点 P在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)kktktk化简得22236(14)ktk（8 分）又由21213,ABkxx 即221212(1) ()43,kxxx x将12xx，12x x代入得2422222244(364)(1)3,(1 4)14kkkkk化简，得22(81)(1613)0,kk则22

21、1810,8kk, 21185k（10 分）由，得22223699,1414ktkk联立，解得234,t23t 或32.t （12 分）21解： （I ）由 f （x）=alnx+（a0） ，得：，a0，令，g（ 0）=10令或，则 0a2(II ）由（ I ）得：，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设 ax2（ 2a+1）x+a=0（0a2）的两根为，则，得当 x（ 0，）和（， +）时，函数 f （x）单调递增；当 x和（

22、2，）时，函数 f （x）单调递减，则 f （x1）f （ a） ， f （x2）f （），则 f （x2） f （x1）f （） f （）=aln aln =（利用）令，x2 则，则函数 h（x）单调递增， h （x）h（ 2）=2ln2+，则，f （x1） f （x2）ln2+22、 （）连接BM，则90MBN，因为四边形BCON是平行四边形，所以BCMN，因为AM是Oe的切线，所以MNAM，可得BCAM，又因为C是AM的中点，所以BMBA，得45NAM，故2AM. （5 分）（）作CEAN于E点，则22CE，由（）可知5CN，故10sin10CEANCNC. （10 分）精品资料 - -

23、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 23. 解： （）由 |x a| m得 am xa+m ，所以解之得为所求 4分（）当 a=2 时，f （x）=|x 2| ，所以( )(2 )|22 |2|fxtfxtxtxt当 t=0 时，不等式恒成立，即xR；当 t 0 时，不等式解得 x22t 或或 x? ，即；综上，当t=0 时，原不等式的解集为R，当 t 0 时，原不等式的解集为 10分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -