2022年河北衡水中学高二上学期期中考试数学理试题含答案.pdf

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1、20132014学年度高二上学期中考试高二年级数学试卷（理科）第 I 卷一，选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1 已知向量1( 1,2, )3ar，下列向量中与ar平行的向量是（）A1( 1,2,)3B5(5, 10,)3C5( 5,10,)3D(3, 6,1)2已知抛物线C：y2x 与直线 l： ykx1. “ k0”是 “ 直线 l 与抛物线C 有两个不同的交点”的() A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件3. 已知方程abbyax22和01byax(其中0ab,ba)，它们所表示的曲线可能是（）4.

2、2x2 5x3 0 的一个必要不充分条件是（）A21x3 B21 x0 C 3 x21D 1x 10 5. 已知双曲线0, 12222babyax，两渐近线的夹角为60，则双曲线的离心率为（）A2 33B3C2D2 33或26 已知123,e e eu r u u r u r是空间的一个基底， 下列四组向量中， 能作为空间一个基底的是（）1223,2,ee eeu ru u r u u rur221212,2e ee eeu u r u u ru r u u ru r1223132,5ee eeeeu ru u r u u ru ru ru r31313,e ee eeu r u ru r u

3、 ru r精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - ABCD7.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别在 A1D、 AC 上， 且 A1E23A1D， AF13AC， 则() AEF 至多与 A1D、AC 之一垂直BEF 是 A1D，AC 的公垂线CEF 与 BD1相交DEF 与 BD1异面8. 如图，空间四边形OABC中，OAauuu rr，OBbu uu rr，OCcuuu rr，点M在线段OA上，且2OMMA，点N

4、为BC的中点，则MNu uu u r（）A121232abcrrrB211322abcrrrC111222abcrrrD221332abcrrr9.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是 1，则直线 DA1与平面 ACB1间的距离为 ( ) A.33B.36C.32D.4210.椭圆1162522yx的左、右焦点分别为12,F F,弦 AB 过1F，若 2ABF的内切圆面积为，A、B 两点的坐标分别为11(,)xy和22(,)xy，则21yy的值为（）A.53B.103C.203D.5311. 椭圆149:22yxC的左右焦点分别为21,FF,点P在第一象限， 且在椭圆 C 上， 点P在

5、第一象限且在椭圆C 上，满足212PFPF,则点P的坐标为（）A554,553B. 1 ,23C.330,26D.21,415312.已知 F1,F2是椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，点P 在椭圆上，且122F PF记线段 PF1与 y 轴的交点为Q，O 为坐标原点，若F1OQ 与四边形OF2PQ 的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于( ) A23B2 33C42 3D31精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 第卷

6、（非选择题90 分）二.填空题（每小题5分，共 20 分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）13.已知,5 ,4,2, 4, 1,6, 2,4cba，若, ,a b cr r r三向量共面，则_ 14.正三棱锥ABCP的高为 2，侧棱与地面ABC 成045，则点 A 到侧面 PBC 的距离为15 已知直线 l 与椭圆2222yx交于21,PP两点， 线段21PP的中点为P，设直线 l 的斜率为1k(k1 0) ，直线 OP 的斜率为2k，则21kk的值等于16.已知函数1logxya1,0 aa恒过抛物线pxy22)0( p的焦点F,若 A,B 是抛物线上的两点，且0BFAF,直线 AB

7、的斜率不存在，则弦AB的长为三.解答题（共6 小题，共 70 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17.（本题满分10 分）如图，在四棱锥ABCDS，CDABADAB/, 33ABCD,平面SAD平面ABCD,E 是线段AD上一点，ADSEEDAE,3(1) 证明：平面SBE平面SEC(2)若1SE,求直线CE与平面SBC所成角的余弦值。18. （本题满分12 分）如图所示， 在四棱锥PABCD中， 四边形ABCD为菱形，PAD为 等边 三 角 形 ， 平 面PAD平 面ABCD， 且DAB=60 ,2AB，E为AD的中点 . （）求证：ADPB；（）求二面角APDC的余弦值；（）在棱PB上

8、是否存在点F，使EF平面PDC？并说明理由19（本题满分12 分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab与直线10 xy相交于AB、两点（1）若椭圆的半焦距3c，直线xa与yb围成的矩形ABCD的面积为8，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 求椭圆的方程；（2）若0OA OBuu u r uuu r（O为坐标原点），求证：22112ab；（3）在（ 2）的条件下，若椭圆的离心率e满足3232e，求椭圆长轴长的取值范围20. （本

9、题满分12 分）在四棱锥PABCD 中，侧面 PCD底面 ABCD ， PDCD ， 底面 ABCD是直角梯形， ABCD ，ADC 90 ，ABAD PD1，若E 为 PC 的中点，且BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为552，(1)求 CD 的长（2）求证BC平面 PBD (3)设 Q 为侧棱 PC 上一点， PQ PC，试确定 的值，使得二面角QBD P 的大小为 45 . 21. （本小题满分12 分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab经过点3(1, )2M，且其右焦点与抛物线22:4Cyx的焦点 F 重合 . （1）求椭圆1C的方程；（2）直线l经过点F与椭圆1C相交于

10、A、B 两点，与抛物线2C相交于 C、 D 两点求ABCD的最大值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 22.（本题满分12 分） 如图，已知椭圆12222byax的离心率为22，以该 椭 圆 上 的 点 和 椭 圆 的 左 、 右 焦 点12,FF为 顶 点 的 三 角 形 的 周 长 为4(21).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF和2PF与椭圆的交点分别为BA、和CD、. （1）求椭圆

11、和双曲线的标准方程；（2）设直线1PF、2PF的斜率分别为1k、2k，证明121k k；（3）是否存在常数，使得ABCDAB CD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 20132014学年度高二上学期期中考试高二年级数学试卷（理科）一， 选择题目：BABDA DBBAB AD 12.D【解析】 由题意知点P 在圆222xyc上，由22222221xycxyab消 y 得224222Pc

12、aaxc,又因为 F1OQ 与四边形 OF2PQ 的面积之比为1: 2，可得221112|1|2,2,|3|34ppPFOOQOQcFQQPxF Fyyuuu ruu u r,2242422222,840,4 2 3,42 3()4c aaceeeec舍31e,选 D。二，填空题13.5 14. 55615.2116.82817. 解： （）Q平面SAD平面ABCD,平面SADI平面ABCDAD, SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD, 2 分BEQ平面,ABCD.SEBEQABAD，/ABCD，3CDAB=3, AE=ED =3，30 ,60.AEBCEDoo所以90BECo即.BEC

13、E4分结合SECEEI得 BE平面 SEC，QBE平面SBE，平面 SBE平面 SEC. 5 分（）由（）知，直线ES,EB,EC 两两垂直 . 如图，以 EB 为 x 轴, 以 EC 为 y 轴,以 ES 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则(0,0,0),(0,2 3,0),(0,0,1),(2,0,0)ECSB，ESDCABx z y 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - (2,2 3,0),(0,2 3,1)CBCSuu u

14、ru uu r. 设平面 SBC 的法向量为( , , )nx y zr，则0,0,n CBn CSr uu u rr uu u r解得一个法向量(3,1,2 3)nr，7设直线 CE 与平面 SBC 所成角为，(0,2 3,0),CEuuu r则1sin.4n CEnCEr uu u rruu u r所以直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值1.4- 9 分则直线 CE 与平面 SBC 所成角的余弦值为4151018.（）证明：连结EB，在AEB 中，AE=1，AB=2，EAB=60 ，2222cos60BEAEABAE AB1+423. 222AEBEAB，AD EB2分PAD为等边三

15、角形，E为AB的中点，ADPE又 EBPE=E，AD平面 PEB，ADPB4 分（）Q平面PAD平面ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，且 PEAD ， PE平面ABCD ， PEEB以点 E 为坐标原点， EA， EB， EP 为 x， y， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图则 A(1,0,0)，B(0,3,0)， P(0,0,3)， D(-1,0,0)，( 1,3,0)DCABuuu ru uu r设平面 PCD 的一个法向量为( , , )nx y zr，则00n DCn DPr uuu rr uuu r，即( , , )( 1,3,0)0( , , )(1,0,3)0 x

16、 y zx y z，3030 xyxz令 z 1，则 x3，y1，故( 3,1, 1)nr平面 PAD 的一个法向量为(0,3,0)EBuuu r，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 35cos,535EB nEB nEBnuu u r ruuu r ruu u rr又二面角APDC为钝角，二面角APDC的余弦值为55-8分（）假设棱PB 上存在点 F，使EF平面PDC，设 F(0,m,n)，PFPBuuu ru uu r，则：(0

17、,3)m n=(0,3,3)，3 ,33mn，(0,3 ,33 )EFuuu rEF平面PDC，EFnuuu rr，即(0,3 ,33 ) (3,1, 1)03330，12故当点 F 为 PB 的中点时，EF平面PDC-12分19. 【解析】试题分析：解： （1）由已知得：22348abab解得21ab3 分所以椭圆方程为：2214xy- 4分（2）设1122(,),(,)A xyB xy，由22222210b xa ya bxy，得222222()2(1)0abxa xab由22222(1)0a babV，得221ab222121222222(1),aabxxx xabab由0OA OBuu

18、 u r uu u r，得12120 x xy y- 8 分12122()10 x xxx即222220aba b，故22112ab- 8 分（3）由（ 2）得22221aba由222222cabeaa，得2222baa e，221211ae- 10 分由3232e得25342a，526a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 所以椭圆长轴长的取值范围为5,6-12 20. 解： (1)因为平面 PCD底面 ABCD，PD CD，所以

19、PD平面 ABCD，所以 PDAD.如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz.则 D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)， ，P(0,0,1)C0 ,0 t，面PDC的法向量为0 ,0 ,1n21, 12, 1tBE根据题意 且 BE 与平面 PDC 所成的角的正弦值为552，则4112115522t，2t-4分（2）又由 PD平面 ABCD，可得 PDBC，又 PDBDD，0, 0BPBCBDBC所以 BC平面 PBD. -6 (3)由(2)可知，平面PBD 的一个法向量为BC (1,1,0)，PC(0,2，1)，因为 PQ PC， (0,1)，所以 Q(0,2

20、，1 )，设平面 QBD 的一个法向量为n(a，b，c)，因为DB(1,1,0)，DQ(0,2 ，1 )，由 n DB0，n DQ0，得ab02b1 c0，取 b 1，所以 n(1,1，2 1)，-8 分所以 cos45n BC|n|BC|22 22 1222. 注意到 (0,1)，得 21. -12 21. （1）由抛物线方程，得焦点(1,0)F，1.c2222332(1 1)()(1 1)( )4,22a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - -

21、- - - 224,3.ab故椭圆的方程为22143xy-4 （）当直线l 垂直于x轴时，则33(1, ),(1,),(1,2),(1, 2)22ABCD，3.4ABCD5分当直线 l 与x轴不垂直，设其斜率为(0)k k，则直线l 的方程为(1)yk x由22(1),143yk xxy得2222(34)84120kxk xk显然10，该方程有两个不等的实数根设),(11yxA，),(22yxB. 2122834kxxk, 21224(3)34kxxk6分所以，222212121212|()()1()4ABxxyykxxx x22222222816(3)12(1)1().343434kkkkk

22、kk8 分由2(1),4yk xyx得2222(24)0k xkxk显然20，该方程有两个不等的实数根设33(,)C xy，44(,)D xy. 0,kQ34242xxk, 由抛物线的定义，得2342244(1)|24.kCDxxkk10分222222212(1)333.3344(1)3444ABkkkCDkkkk综上，当直线l 垂直于x轴时，ABCD取得最大值34. 12分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 22. （）由题意知，椭圆离心率为ca22，得2ac，又22ac4(21)，所以可解得22a，2c，所以2224bac，所以椭圆的标准方程为22184xy；所以椭圆的焦点坐标为（2，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144xy。-4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -