2022年泰勒公式例题说课讲解.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流泰勒公式及其应用引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容, 它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数, 这种化繁为简的功能, 使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆 . 作者通过阅读大量的参考文献, 从中搜集了大量的习题 ,

2、 通过认真演算, 其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献, 并对这些应用方法做了系统的归纳和总结 . 由于本文的主要内容是介绍应用, 所以, 本文会以大量的例题进行讲解说明 . 预备知识定义 2.11若函数f在0 x存在n阶导数 , 则有200000()()( )()()()1!2!fxfxf xf xxxxxL()000()()() )!nnnfxxxoxxn（1）这里)(0nxxo为佩亚诺型余项 , 称(1)f在点0 x的泰勒公式 .当0 x=0时, （1） 式变成)(!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 nnnxoxnfxfxffxf,称此式为 (带有佩亚诺余项的 )

3、麦克劳林公式 .定义 2.22若函数f在0 x某邻域内为存在直至1n阶的连续导数 , 则( )20000000()()( )()()()().()( )2!nnnfxfxf xf xfxxxxxxxRxn, （2） 这里( )nRx为拉格朗日余项(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn, 其中在x与0 x之间, 称（2）为f在0 x的泰勒公式 . 当0 x=0时,（2） 式变成( )2(0)(0)( )(0)(0).( )2!nnnfff xffxxxRxn称此式为 (带有拉格朗日余项的 ) 麦克劳林公式 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

4、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流常见函数的展开式：12)!1(! 21nxnxxnenxxxe. )()!12()1(! 5! 3sin221253nnnxonxxxxx. 24622cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xnL. )(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx. )(1112nnxoxxxx2! 2)1(1)1(xmmmxxm. 定理 2.13( 介值定理 ) 设函数f在闭区间,ba上连续 ,

5、 且)()(bfaf,若0为介于)(af与)(bf之间的任何实数 , 则至少存在一点0 x),(ba, 使得00)(xf. 3泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算 , 有时可用某项的泰勒展开式来代替该项, 使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限, 就能简捷地求出 . 例 3.1 求极限2240coslimxxxex. 分析：此为00型极限 , 若用罗比达法求解， 则很麻烦 , 这时可将cosx和22xe分别用泰勒展开式代替 , 则可简化此比式 . 解由244cos1()2!4!xxxo x,222242()21()22xxxeo x得精品资料 - - - 欢迎下载

6、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流2444422111cos()()()4!22!12xxexo xxO x, 于是244244001()cos112limlim12xxxxO xxexx. 例 3.2 极限1sin2limsincosxxxxxxxxe0- . 分析：此为00型极限 , 若用罗比达法求解， 则很麻烦 , 这时可将cosx和 sinx, xe分别用泰勒展开式代替 , 则可简化此比式 . 解

7、：由1sin2xxxxe-=233331()()2626xxooxxxxx+-1- x-(x-+=34333()()6126ooxxxxx+=+, 3233sincos()(1()62xxxoxoxxxx- x=-+-+33()3oxx=+于是1sin2limsincosxxxxxxxxe0-3333()162()3ooxxxx+=+精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 3

8、.3 利用泰勒展开式再求极限。解：，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除

9、只供学习与交流精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流当时，应为3.2 利用泰勒公式证明不等式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流当所要证明的不等式是含有多项式

10、和初等函数的混合物, 不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替 , 往往使证明方便简捷 . 例 3.2 当0 x时, 证明31sin6xxx . 证明取31( )sin6f xxxx ,00 x, 则(0)0,(0)0,(0)0,( )1cos ,(0)0.ffffxx f带入泰勒公式 , 其中n=3,得31cos( )0003!xf xx，其中10. 故当0 x时,31sin6xxx. 3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时, 往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式, 以便利用判敛准则 . 3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例 3 511)

11、xxx dx+判断广义积分 （+ +-2的收敛性。111111xxxxxx解：+- 2=（+- 2),1111xx利用泰勒公式将+,-展开：221 1(1)11112 211(),22oxxxx-+= +!221 1(1)11112 211(),22oxxxx-= -+!精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流22221 11 1(1)(1)1111112 22 2111()1(

12、)22222xxxxooxxxxxx-+ +- 2= + -+-!3322321111lim1144xxxxxxx+|+ +- 2|= -+o(), 因此=|-|由于53214x+收敛，所以511)xxx dx+ （+ +-2的收敛例 3.3 讨论级数111(ln)nnnn的敛散性 . 分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难, 因而也就无法恰当选择判敛方法, 注意到11lnln(1)nnn, 若将其泰勒展开为1n的幂的形式 , 开二次方后恰与1n相呼应 , 会使判敛容易进行 . 解因为2341111111lnln(1)234nnnnnnnnL, 所以11ln1nn, 所

13、以11ln0nnunn故该级数是正向级数 . 又因为332332322111111111111ln()()23422nonnnnnnnnnnnn, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流所以3322111111ln()22nnunnnnnn. 因为31212nn收敛, 所以由正向级数比较判别法知原级数收敛. 3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4设f(x)在 ,)a上

14、 二 阶 可 导 , 且( )0,( )0f afa, 对( ,),0 xaf,证明：( )0f x在( ,)a内存在唯一实根.分析：这里 f(x) 是抽象函数 , 直接讨论( )0f x的根有困难 , 由题设 f(x) 在 ,)a上二阶可导且( )0,( )0f afa, 可考虑将 f(x) 在 a 点展开一阶泰勒公式 ,然后设法应用戒指定理证明. 证 明因 为( )0fx, 所 以( )fx单 调 减 少 , 又( )0fa, 因 此xa时,( )( )0fxfa, 故 f(x) 在( ,)a上严格单调减少 . 在 a 点展开一阶泰勒公式有2( )( )( )( )()() ()2ff x

15、f afaxaxaax由题设( )0,( )0faf, 于是有 limx, 从而必存在 ba , 使得( )0f b, 又因为( )0f a, 在 , a b上应用连续函数的介值定理, 存在0( , )xa b, 使0()0f x,由 f(x) 的严格单调性知0 x唯一, 因此方程( )0f x在( ,)a内存在唯一实根 . 3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例 3.54(极值的第二充分条件 ) 设f在0 x的某邻域);(0 xU内一阶可导 ,在0 xx处二阶可导 , 且0)(0 xf,0)(0 xf. (i) 若0)(0 xf, 则f在0 x取得极大值 . (ii) 若0)(0 xf, 则f

16、在0 x取得极小值 . 证明由条件，可得 f 在0 x处的二阶泰勒公式)()(! 2)()(! 1)()()(20200 000 xxoxxxfxxxfxfxf. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流由于0)(0 xf, 因此200 0)(1(2)()()(xxoxfxfxf.(*) 又 因0)(0 xf, 故 存 在 正 数, 当);(0 xUx时 ,)(210 xf与)

17、1 ()(210 oxf同 号 . 所 以 , 当0)(0 xf时 ,(*)式 取 负 值 , 从 而 对 任 意);(0 xUx有0)()(0 xfxf, 即f在0 x取得极大值 . 同样对0)(0 xf, 可得f在0 x取得极小值 . 3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式, 通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式. 例 3.6求211xx的幂级数展开式 . 解利用泰勒公式231111xxxx369346791034679100(1)(1)1233333333()22222222322 (1)sin33nnxxxxxxxxxxxx

18、xxxxxxnxLLL3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算, 利用)(xf麦克劳林展开得到函数的近似计算式为2(0)(0)( )(0)(0)2!nnfff xffxxxnL, 其误差是余项( )nRx. 例 3.7计算 Ln1.2 的值, 使误差不超过 0.0001 解先写出 f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：231(1)( 1)( )23nnnxxxLnxxRxnL, 其中11( 1)( )(1)(1)nnnnxRxn（在 0 与 x 之间） . 令2 .0 x, 要使111(0.2)|( ) |(0.2)0.000

19、1(00.2)(1)(1)nnnnRxn则取5n即可. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流因此5ln1.20.20.020.002670.000400.000060.1823| 0.0001R其误差当要求的算式不能得出它的准确值时, 即只能求出其近似值, 这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法. 例 3.8 求210 xedx的近似值 , 精确到510. 解因为210 xe

20、dx中的被积函数是不可积的 （即不能用初级函数表达） , 现用泰勒公式的方法求210 xedx的近似值 . 在xe的展开式中以2x代替 x 得24221( 1)2!nxnxxexnLL逐项积分 , 得242111112000001( 1)2!11 1111( 1)32! 52n111111111310422161329936075600nxnnxxedxdxx dxdxdxnnLLgLgLL！上式右端为一个收敛的交错级数, 由其余项( )nRx的估计式知27101|0.0000157560011111110.7468363104221613299360 xRedx所以3.8 利用泰勒公式求高阶

21、导数在某些点的数值如果 f(x) 泰勒公式已知 , 其通项中的加项nxx)(0的系数正是)(!10)(xfnn, 从而可反过来求高阶导数数值, 而不必再依次求导 . 例 3.9 求函数xexxf2)(在 x=1 处的高阶导数)2()100()1(f. 解设 x=u+1,则eeueuugxfuu2) 1(2)1()1()()(,)0() 1()()(nngf, ue在 u=0的泰勒公式为)(!100!99!9811001009998uouuuueu, 从而)(!100!99!981)(12()(10010099982uouuuuuueug, 而 g(u) 中的泰勒展开式中含100u的项应为100

22、100!100)0(ug, 从 g(u) 的展开式知100u的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流项为100)!1001!992!981(ue, 因此10101)0(),!1001!992!981(!100)0(100100egeg, egf10101)0()1 (100100. 3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x 的函数（一般是x 的 n 次多项式） ,

23、 记作 f(x),按泰勒公式在某处0 x展开, 用这一方法可求得一些行列式的值. 例 3.10求 n阶行列式 D=xzzzyxzzyyxzyyyx（1）解记Dxfn)(, 按泰勒公式在 z 处展开：nnnnnnzxnzxfzxzfzxzfzfxf)(!)()(!2)()(! 1)()()()(2 , （2）易知1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD阶（3）由（3）得,时都成立nkyzzzfkk,2, 1,)()(1. 根据行列式求导的规则 , 有).)(1)(),(2)(,),()1()(),()(1112211xxfxfxfxfxfnxfxnfxfnnnn

24、因为于是)(xfn在zx处的各阶导数为21)()(|)()(nnzxnnyznzznfzfzf, 31 )()1()(|)()(nnzxnnyzznnznfzfzf, znnzfnnfzfzxnnnn2)1()(2)1(|)(11112) 1()()(nnzfnn把以上各导数代入（ 2）式中 , 有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流nnnnnnzxnnnzxznnnzxy

25、zznnzxyzznyzzxf)(!12) 1()()!1()21()()(! 2) 1()()(! 1)()(12321若yz, 有)1()()(1ynxyxxfnn, 若yz, 有yzzxyyxzxfnnn)()()(. 4总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用, 使我们对泰勒公式有了更深一层的理解 , 怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识., 只要在解题训练中注意分析, 研究题设条件及其形式特点, 并把握上述处理规则 , 就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧 . 无穷小极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3、不同

26、类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟） ，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上, 让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20 分钟） 。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟） ，课堂练习（ 15分钟） 。【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n数列nx的极限、x（ x、x） 函数xf的极限、0 xx（0 xx、0 xx）函数

27、( )f x的极限这七种趋近方式。下面我们用x表示上述七种的某一种趋近方式，即000 xxxxxxxxxn定义： 当在给定的x下，( )fx以零为极限，则称( )f x是x下的 无穷小，即0limxfx。例如, ,0sinlim0 xx.0sin时的无穷小是当函数xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.)1(

28、时的无穷小是当数列nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x下，xf无限增大，则称xf是x下的 无穷大，即xfxlim。显然，n时，、32nnn都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的， 在不同的极限形式下， 同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如0limxxe，xxelim，所以xe当x时为无穷小，当 x时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系： 在自变量的同一变化过程中，如果xf为无穷大，则xf1为无穷小；反之，如果xf为无穷小，且0 xf，则xf1为无穷大。

29、小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。3. 无穷小与函数极限的关系: 定理 1 0lim( )( )( ),xxxf xAf xAx?=?+其中)(x是自变量在同一变化过程0 xx（或x）中的无穷小 . 证： （必要性） 设0lim( ),xxf xA?=令( )( ),xf xA=-则有0lim( )0,xxx?=).()(xAxf（充分性） 设( )( ),f xAx=+其中( )x是当0 xx?时的无穷小，则00lim( )lim( )xxxxf xAx=+)(li

30、m0 xAxx.A【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题( 无穷小 ); （2）0( )( ),( ).f xxf xAx?给出了函数在附近的近似表达式误差为3. 无穷小的运算性质定理 2 在同一过程中 , 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 是无穷小，时例如nn1,.11不是无穷小之和为个但nn定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：01)1(limnnn，01sinlim0 xxx，0sin1limxxx推论 1 在同一过程中 , 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

31、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，2210, ,sin,sinxx xx xx?当时都是无穷小，观察各极限：xxx3lim20,0;32要快得多比 xxxxxsinlim0,1;sin大致相同与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0.不存在不可比 . 极限不同 , 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1定义: 设,是自变量

32、在同一变化过程中的两个无穷小，且0.1(1)lim0,( );o=如果就说是比高阶的无穷小记作;),0(lim)2(是同阶的无穷小与就说如果CClim1,;=特殊地 如果则称与是等价的无穷小，记作(3)lim(0,0),.kC Ckk=?如果就说是的 阶的无穷小例 1 .tan4,0:3的四阶无穷小为时当证明xxxx证：430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,03的四阶无穷小为时故当xxxx例 2 .sintan,0的阶数关于求时当xxxx解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2常用等价无

33、穷小 :,0时当x（1）xsinx；（2）xarcsinx；（3）xtan x；（4）xarctan x；（5）)1ln(xx；（6）1xex（7）xcos122x（8）1)1(xx（9）1xa -ln ax*用等价无穷小可给出函数的近似表达式: , 1lim,0lim),(o即).(o于是有例如),(sinxoxx).(211cos22xoxx3等价无穷小替换定理：.limlim,lim,则存在且设证：lim)lim(limlimlim.lim精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共

34、 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流例 3 （1）.cos12tanlim20 xxx求；（2）1cos1lim20 xexx解: （1）.22tan,21cos1,02xxxxx时当故原极限202(2 )lim12xxx?= 8 （2）原极限 =2lim220 xxx=21例 4 .2sinsintanlim30 xxxx求错解:.sin,tan,0 xxxxx时当30)2(limxxxx原式=0 正解: ,0时当x,22sinxx)cos1 (tansintanxxxx,213x故原极限33012lim(2 )xxx

35、?=.161【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例 5 .3sin1cos5tanlim0 xxxx求解: ),(5tanxoxx),(33sinxoxx).(21cos122xoxx原式22015( )()2lim3( )xxo xxo xxo x?+=+xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20.35三、极限的简单计算1. 代入法： 直接将0 xx的0 x代入所求极限的函数中去，若0 xf存在，即为其极限，例如924231232lim3451xxxxxx；若0 xf不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如

36、，39lim23xxx就代不进去了，但我们看出了这是一个00型未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，63lim39lim323xxxxx。3. 分子（分母）有理化法例如，355125125123535lim51235lim222222xxxxxxxxxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流424lim22xxx2222lim2xxxx2又如，

37、011lim1lim22xxxxxx4. 化无穷大为无穷小法例如，2222173373limlim142422xxxxxxxxxx+-+-=-+-+， 实际上就是分子分母同时除以2x这个无穷大量。由此不难得出mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx，0lim00110110又如，12111lim21limxxxxxx， （分子分母同除x） 。再如，1153152lim5352limnnnnnnnn， （分子分母同除n5） 。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，0131arctanlim2xxxxx， （无穷小量乘以有界量） 。又如，.3214lim21xxxx求解：)

38、 32(lim21xxx,0商的法则不能用) 14(lim1xx又,031432lim21xxxx.030由无穷小与无穷大的关系 , 得.3214lim21xxxx再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例 5。6. 利用两个重要极限求极限（例题参见 1.4 例 3例 5）7. 分段函数、复合函数求极限例如，).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx求设精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有

39、侵权请联系网站删除只供学习与交流解: 两个单侧极限为是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx, 1) 1(lim)(lim200 xxfxx,1左右极限存在且相等 , .1)(lim0 xfx故【启发与讨论】思考题 1：110,sinxyxx?当时是无界变量吗？是无穷大吗？解：), 3, 2, 1 , 0(221)1 (0kkx取,22)(0kxy.)(,0Mxyk充分大时当无界，),3,2, 1 ,0(21)2(0kkx取,kxk充分大时当kkxyk2sin2)(但.0M 不是无穷大结论：无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. 思考题 2：若0)(xf，

40、且Axfx)(lim，问：能否保证有0A的结论？试举例说明. 解 ： 不 能 保 证 . 例xxf1)(,0 x01)(xxf)(limxfx.01limAxx思考题 3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能例如当 x时,1)(xxfxxxgsin)(都是无穷小量但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大， 故当x时)(xf和)(xg不能比较. 【课堂练习】 求下列函数的极限（1）xxexxcoslim0；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 32 页 - -

41、- - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流解：原极限 =1cos1lim1limcoslim000 xxxexxexxxxx（2）求)1ln()cos1 (1cossin3lim20 xxxxxx【分析】 “00”型，拆项。解：原极限 =xxxxx21cossin3lim20=xxxxxx21cos2sin3lim20=23（3）142345lim5245xxxxxx；【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限 =543142345limxxxxx=25，或原极限555522limxxx=（4）)(lim2xxxx；【分析】分子有理化解：原极限 =x

42、xxxx2lim=1111limxx=21（5）)214(lim222xxxx【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。解：)214(lim222xxxx=42lim222xxxx=21lim2xxx=43（6）39lim220 xxx【分析】“00”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。解：原极限 =222039limxxxx=6 （7）).21(lim222nnnnn求解: 是无穷小之和时,n先变形再求极限 . 222221lim)21(limnnnnnnnn2) 1(21limnnnn)11 (21limnn.21【内容小结】一、无穷小（大）的概念精

43、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容 : 两个定义 ; 四个定理 ; 三个推论 . 2、几点注意 : (1) 无穷小（大）是变量 , 不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. （3） 无界变量未必是无穷大 . 二、无穷小的比较 : 1. 反映了同一过程中 , 两无穷小趋

44、于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高 ( 低) 阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶。2. 等价无穷小的替换 : 求极限的又一种方法 , 注意适用条件 . 三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）; a. 多项式与分式函数代入法求极限; b. 消去零因子法求极限 ; c. 无穷小因子分出法求极限; d. 利用无穷小运算性质求极限; e. 利用左右极限求分段函数极限. 等价无穷小在求函数极限中的应用及推广前言设 f 在某0 xoU内有定义，若0lim( )0 xxf x则称 f 为当0 xx时的无穷小量设当0 xx时，f 于 g 均为无穷小量若0( )lim1( )xxf

45、 xg x则称 f 于 g 是当0 xx时的等价无穷小量 。记作0( ) ( )()f xg x xx一 、等价无穷小在求函数极限中的应用 1 求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些01 型的极限的计算引理设函数f（x） ，f（x）满足下列条件：在 a 的某个去心邻域内均有非零导数（1） Limf （x）=0，lim( )0 xaf x；（2）( )lim1( )xafxfx则( )lim1( )xaf xf x，ln(1( )lim1ln (1( )xaf xf x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -

46、- - - - - - -第 22 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流（3）当 f （x） ，( )f x0时, ln( )limln( )xaf xf x=1 证明由洛比塔法则 ; ( )lim( )xaf xf x( )lim1( )xafxfx; ln(1( )limln (1( )xaf xf x1( )( )lim.11( )( )xaf xfxf xfxln( )limln( )xaf xf x=( )( )lim.1( )( )xaf xfxf xfx, 证毕定理 1设函数 f(x),g(x)及(

47、)f x,( )g x满足下列条件 : （1）在 a 的某去心邻域内均有导数（2）在 xa 时, 均为无穷小量 , ( )lim1( )xafxfx,( )lim1( )xag xg x, 于是; (1)若1( )lim 1( ),fxxag xl1( )lim 1( )fxxag xl(2)若 f(x), ( )f x0，且()lim( )g xxaf xt , 则( )lim( )g xxaf xt证明 由引理(1) ln 1( )ln 1( )ln 1( )ln 1( )( )limlim*lim( )( )( )( )ln 1( )xaxaxag xg xg xg xf xfxf xf

48、 xfxg x故11()( )lim 1( )lim 1( )fxfxxaxag xg xl(2) ( )ln( )lim( )ln( )lim( )ln( )*lim( )ln( )( )ln( )xaxaxag xf xg xf xg xf xg xf xg xf x故()( )lim( )lim( )g xg xxaxaf xf xt如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量, 则在求某些01型的极限时将很方便 . 如0 x时, ,sin,tan ,1,ln(1)xxxx ex等, 均为无穷小量 , 且00200sinlimlimcos1tan1limlim1cosxxxxxxxxxx

49、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 32 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流00001limlim1ln(1)1limlim11xxxxxxeexxxx例 1求下列函数的极限(1) 32cot000lim(1),(2)lim1tan,(3)lim 1sinxxxxxxxxx41sin00(4)lim() ,(5)lim1ln 1xxxxxxex解 (1)原式=11tan00lim 1lim 1xxxxxxe(2)

50、 原式=330lim(1)xxxe(3) 原式=221200lim 1lim1xxxxxxe（4）原式 =4100lim11lim 21xxxxxxxexe（5）原式 =10lim 1xxxe例 2 求下列函数的极限sinsin2002tan12tan002(1) limcos,(2) lim,(3) lim tan1(4) limcot,(5) lim,(6) limtanxxxxxxxxxxxxxxxxxx解（1）原式=202limsinlimsinlim12xyyyoyxxyy（其中，2yx）（2）原式 =sin00limlim1xxxxxx（3）原式 =0lim1xxx（4）原式 =1