2022年实变函数论课后答案第二章.pdf

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1、实变函数论课后答案第二章1 第二章第一节1.证明0pE的充要条件是对于任意含有0p的邻域0,N p（不一定以0p为中心）中，恒有异于0p的点1p属于E（事实上这样的1p其实还是有无穷多个）而0p为E的内点的充要条件则上有含有0p的邻域0,N p（同样，不一定以0p为中心）存在，使0,NpE. 证明：先设0pE，则00,N pEI中有无穷多个点。现在设00,pNp，这表明00, p p，故0,yN p，有00,y py ppp故0,N pN p故0,N pEI有无穷个点，自然有异于0p的点10,pNpEI,N p.这就证明了必要性，事实上，00,NpEpI是无穷集， 故,Np中有无穷多个异于0p

2、的E中的点 . 反过来，若任意含有0p的邻域,N p中，恒有异于0p的点1p属于E，则0，,N p中，有异于0p的点1p属于E，记101,pp，则显然1由条件01,Np中有异于0p的点2pE，2021,pp由归纳法易知，有11,1,2,nnnnLL和01,nnpEN pI，0,1,2,nppnL这表明0,Np中有无穷个E中的点 .由0的任意性知，0 xE若0p为E的内点，则0,使0,NpE，故必要性是显然的. 若存在邻域,N pE，使0,pNp，则从前面的证明知00,N pppN pE，故0p为E的内点 . 2.设1nRR是全体实数，1E是0,1上的全部有理点，求11,E E. 精品资料 -

3、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 解：0,1x，由有理数的稠密性知，0,N xxx中有无穷个1E中的点，故1xE，故10,1E. 而另一方面，0,1x，必有0，使0,0,1N xI，故01xE故10,1E，所以10,10,1E. 表明10,1E而11110,10,1EEEEUU故110,1EE. 1.设2nRR是普通的xy平面222,;1Ex yxy，求22,EE. 解：222,;1Ex yxy事实上，若0002,pxyE，则由于22,fx yx

4、y是2R上的连续函数，必存在0，使0,x yNp有22,1fx yxy. 故02,N pEI，故0p不是2E中的点矛盾 . 故22001xy时220,;1px yxy反过来，若22000,;1pxyx yxy则0，作0,1上的函数22000000,fttpptxxtyy22222000011txytxy则f t是0,1上的连续函数，220001fxy，10f，01，0,1t使f t现在任取0, 0min 1,，使00,N pN p. 由上面的结论，存在01t，使1ft. 故0t p满足（ 1）00t pp； （2）0001t ptptpt.故02t pE（3）00,t pp，故0,t pN p

5、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 所以020,t pNpEpI由习题 1 的结论知02pE，所以222,;1Ex yxy. 而222222,;1EEEEx yxyU. 2.设2nRR是普通的xy平面，3E是函数1sin000 xyxx的图形上的点所作成的集合，求3E. 解：设函数的图形是131,;,sin;0 x fxxRExxRx0,0U. 下证330,; 11EEU0003,pxyE存在300,nnnpxyExy，000,nnn

6、nnpxypxxyy，0,0npp设0003,pxyE，则存在300,nnxyExy使00,nnxxyy若00 x，则0nx（当n充分大）则0011sinsinnnyyxx所以003,xyE若00 x，则0nx，01sinnnyyx，011y所以00,0,; 11xy故330,; 11EEU反过来：0003,0,; 11pxyEU，若00 x，001sinyx，故存在0nxx，使0nx，0nxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 从而

7、011sinsinnxx即存在001,sin,nnxxyx故03pE. 若000,0,; 11py则从01,1y知存在0 x使00sin xy，令010,1,2,2kxkkxL. 则0001sinsin 2sinkkxxyx，所以3011,sin,sin0,kkkkxExyxx，00,0,kxyy00,0,kxyy故03pE故结论成立 . 3.证明当E是nR中的不可数无穷点集时，E不可能是有限集. 证明：记B为E的孤立点集，则EBE所以EEBBEBUU. 若能证明B是至多可数集， 则若E是有限集或可列集知EBEU为至多可数集， 这将与E是nR中的不可数无穷点集矛盾. 故只用证E的孤立点集B是至

8、多可数集pB，0p使,pNpEpI故,nppN pRa是B到nR中的一个互不相交的开球邻域组成的集的1 1对应 . 而任一互不相交开球邻域作成的集合,A是可数的，因为任取，取有理点pA，则从,AAI则,A与Q1 1对应精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 故,A是至多可数集 . 证毕精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -