2022年浦东暑假高中数学补课5高考题_3模拟题_分类汇编__空间向量在立体几何中的应用部分.pdf

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1、word 第三节空间向量在立体几何中的应用一、 填空题 3.（本小题满分12 分）如图， 在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I) 求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；（III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。如图所示，建立空间直角坐标系，点A为 坐 标 原 点 。 设，1AB依 题 意 得， 001B，011C，020D，110E，100F.21121M，（I），解：101BF，110DE.2122100DEBFDEBFDEcos，于是BF所以异

2、面直线BF与DE所成的角的大小为060. （II ）证明：，由21121AM，101CE0AMCE020AD，可得，.AMDCEAADAM.ADCEAMCE. 0ADCE平面，故又，因此，.CDEAMDCDECE平面，所以平面平面而（III ）.0D0)(CDEEuCEuzyxu，则，的法向量为解：设平面.111(1. 00），可得令，于是uxzyzx又由题设，平面ACD的一个法向量为).100(，v.3313100cosvuvuvu，所以，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24

3、 页 - - - - - - - - - - word 4 （本题满分15 分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC（I）设G是OC的中点，证明：/ /FG平面BOE；（II）证明： 在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离证明： （I）如图， 连结 OP，以 O 为坐标原点， 分别以 OB、OC、OP 所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则0,0,0 , (0, 8,0),(8,0,0),(0,8,0),OABC(0,0,6),(0,4,3),PE4,0

4、,3F， 由题意得，0,4,0 ,G因(8,0,0),(0, 4,3)OBOE，因此平面BOE的法向量为(0,3,4)n，( 4,4, 3FG得0n FG，又直线FG不在平面BOE内，因此有/ /FG平面BOE6.（本小题满分12 分）如图， 已知两个正方行ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB ，DF 的中点。（I）若平面ABCD 平面 DCEF，求直线MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦；（II ）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。设正方形 ABCD ，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐标原点， 分别以射线DC，DF，DA 为 x,y,z轴正半轴建

5、立空间直角坐标系如图. 则 M（1,0,2）,N(0,1,0), 可得MN=(-1,1,2). 又DA=（0，0，2）为平面 DCEF 的法向量，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 可得 cos(MN,DA)=36|DAMNDAMN所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为cos36, DAMN 6 分( )假设直线ME 与 BN 共面， 8 分则 A B平面 MBEN ，且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN

6、 由已知，两正方形不共面，故AB平面 DCEF。又 AB/CD ，所以 AB/ 平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线，所以 AB/EN 。又 AB/CD/EF ，所以 EN/EF，这与 ENEF=E 矛盾，故假设不成立。所以 ME 与 BN 不共面，它们是异面直线. 12 分7.（13 分）如图，四边形ABCD 是边长为 1 的正方形，MDABCD平面，NBABCD平面，且 MD=NB=1 ，E 为 BC 的中点（1）求异面直线NE 与 AM 所成角的余弦值（2）在线段 AN 上是否存在点S，使得 ES平面 AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理

7、由17.解析：（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标Dxyz依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1), (,1,0)2DAMCBNE。1(,0,1),( 1,0,1)2NEAM10cos,10| |NE AMNE AMNEAM，所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010.A （2）假设在线段AN上存在点S，使得ES平面AMN. (0,1,1)AN, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - -

8、- - - - - - - word 可设(0, , ),ASAN又11(, 1,0),(,1, )22EAESEAAS. 由ES平面AMN，得0,0,ES AMES AN即10,2(1)0.故12，此时1 12(0,),|2 22ASAS. 经检验，当22AS时，ES平面AMN. 故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时22AS. 8.（本小题满分12 分）如图，直三棱柱111ABCABC中，,ABAC D、E分别为1AA、1BC的中点，DE平面1BCC（I）证明：ABAC（II ）设二面角ABDC为 60，求1B C与平面BCD所成的角的大小。分析一 ：求1BC与平面BCD所成的线面

9、角，只需求点1B到面BDC的距离即可。19 （本小题满分12 分， （）问 5 分， （）问7 分）如题（ 19）图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，,22CSDS CSAD；E为BS的中点，2,3CEAS求：（）点A到平面BCS的距离；（）二面角ECDA的大小（）如答（ 19）图 2，以 S(O)为坐标原点，射线OD,OC 分别为 x 轴， y 轴正向，建立空间坐标系，设(,)AAAA xyz，因平面,CODABCD ADCDADCOD平面故平面即点 A在 xoz 平面上，因此01AAyzADuuu v，又22213,22 01AAxASxAuu v从而（，

10、 ， ）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 因 AD/BC，故 BC 平面 CSD ，即 BCS与平面yOx重合，从而点A到平面 BCS的距离为2Ax. ( ) 易知 C(0,2,0)，D(,0,0). 因 E为 BS的中点 . BCS为直角三角形 , 知222BSCEuu vuuv设 B(0,2, BZ) ，BZ0，则AZ2，故 B（0，2，2） ，所以 E（0，1，1） . 在 CD上取点 G ，设 G （11,0 x

11、 y） ，使 GE CD . 由11( 2, 2,0),(,1,1),0CDGExyCD GEuuu vuuu vuuu v uu u v故1122(1)0 xy又点 G在直线 CD上，即/CGCDuu u vuu u v，由CGuuu v=（11,2,0 xy） ，则有11222xy联立、，解得G 24(,0)33, 故GEuu u v=22(,1)33. 又由 AD CD ， 所以二面角ECD A的平面角为向量GEuu u v与向量DAuu u v所成的角，记此角为 . 因为GEuu u v=2 33，(0,0,1),1,1DADAGE DAuu u vuu u vuu u v uu u

12、v, 所以3cos2GE DAGEDAuu u v uu u vuu u vuu u v故所求的二面角的大小为6. 作AGBD于G，连GC，则GCBD，AGC为二面角ABDC的平面角，60AGC. 不 妨 设2 3AC， 则2 ,4A GG C. 在RT ABD中 ， 由A DA BB DA G，易得6AD. 设点1B到面BDC的距离为h，1BC与平面BCD所成的角为。利用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 11133B

13、BCBCDSDESh， 可 求 得h2 3， 又可求得14 3BC11s i n3 0 .2hB C即1BC与平面BCD所成的角为30 .分析二 ：作出1BC与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BCAFED面，所以面AFEDBDC面。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AEDF、，并设交 点 为O， 则E OB D C面，OC为EC在 面B D C内 的 射 影 。ECO即为所求。以下略。分析三： 利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则1BC与平面BCD所成的角即为1BC与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。总之在目前， 立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与

14、向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。9 （本小题共14 分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点 E 在棱 PB 上. （）求证：平面AECPDB平面；（）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，求AE 与平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 2】 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设,ABa PDh则,0,0 , ,0 ,0, ,0 ,0,0,0 ,0,0,A aB a aCaDPh，（）, ,0 ,0,0, ,0ACa aDPhDBa a，0,0AC DPAC DB，AC DP，AC DB ，AC 平面 PDB ，平面

15、AECPDB平面. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word （）当2PDAB且 E 为 PB 的中点时，1120,0,2,222PaEaaa，设 ACBD=O ，连接 OE，由（）知AC 平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，1122,0,0,2222EAaaaEOa，2cos2EA EOAEOEAEO，45AOE，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45. 10.（本小题满分13 分， （）

16、小问7 分， （）小问6 分）如题（ 18）图，在五面体ABCDEF 中，AB/DC ， BAD=2，CD=AD=2. ，四边形ABFE 为平行四边形，FA平面ABCD ，FC=3，ED=7，求：（）直线AB 到平面 EFCD 的距离：（）二面角F-AD-E 的平面角的正切值，18.（本小题满分12 分）如图 4，在正三棱柱111ABCABC中，2ABAAD 是11AB的中点，点E 在11AC上，且DEAE。（I）证明平面ADE平面11ACC A（II ）求直线AD和平面ABC所成角的正弦值。解（I） 如图所示，由正三棱柱111ABCABC的性质知1AA平面111ABC精品资料 - - - 欢

17、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 又 DE平面 A1B1C1，所以 DEAA1. 而 DEAE。AA1AE=A 所以 DE平面 AC C1A1， 又 DE平面 ADE ， 故平面 ADE平面 AC C1A1。解法 2如图所示，设O 使 AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A1=2，则 AB=2 ，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0) ， B（3，0，0） ，C1（0，1，2） ，D（23，-21，2） 。易知AB=(3，1

18、，0)，1AC=(0，2，2)，AD=(23，-21，2）设平面 ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有,022, 031zyACnyxABn解得 x=-33y， z=-y2，故可取 n=(1，-3，6)。所以，cos(nAD)=ADnADn=31032=510。由此即知，直线AD 和平面 AB C1所成角的正弦值为510。11.（本小题满分12 分）如图 3，在正三棱柱ABC-1A1B1C中， AB=4, A1A=7,点 D 是 BC 的中点，点E 在 AC上，且 DE1AE（）证明：平面1ADE平面11ACC A;（）求直线AD 和平面1ADE所成角的正弦值。精品资料 - - - 欢迎

19、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 解法 2 如图所示，设O 是 AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), 1A.(2,0, 7), D(-1, 3), E(-1,0.0) 易知1AB=（-3，3，-7） ，DE=（0，-3，0） ，AD=（-3，3，0）设 n=（x，y，z）是平面1ADE 的一个法向量，则1303370n DEynA Dxyzuuu vuuuu v解得7,03xz y故可取 n=（

20、7,0,-3， ）于是=3 721842 3cos,nADn ADnADuuu ruuu ruuu r精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 由此即知，直线AD 和平面1ADE 所成的角是正弦为21812 （本小题满分12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM平面PCD；（2）求直线CD与

21、平面ACM所成的角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离 . 方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0, 0, 0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM的一个法向量( , , )nx y z，由,nAC nAM可得：240220 xyyz，令1z，则(2, 1,1)n。设所求角为，则6sin3CD nCD n，所以所求角的大小为6arcsin3。（ 3） 由 条 件 可 得 ，ANNC.在RtPAC中 ，2P AP NP C, 所 以83PN, 则103NCPCPN, 59NCPC，所以所求距离等于

22、点P到平面CAM距离的59，设点P到平面CAM距离为h则2 63AP nhn，所以所求距离为510 6h927。19（本小题满分12 分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，,45ABAE FAFEAEF（I）求证：EFBCE平面；yxzDMCBPANO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word （II ）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMBCE平面？

23、若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III ）求二面角FBDA的大小。( ) 因为 ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE AB. 又因为平面ABEF 平面 ABCD,AE平面 ABEF, 平面 ABE F平面 ABCD=AB, 所以 AE 平面 ABCD. 所以 AE AD. 因此 ,AD,AB,AE 两两垂直 , 以 A为坐标原点 ,建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设 AB=1, 则 AE=1，B（0，1，0） ，D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, AEF = 45 ,

24、所以 AFE= 90. 从而，1 1(0,)2 2F. 所以1 1(0,)2 2EF,(0, 1,1)BE,(1,0,0)BC. 110022EFBE,0EFBC. 所以 EFBE, EFBC. 因为 BE平面 BCE,B CBE=B , 所以 EF平面 BCE. ( )存在点 M,当 M为 AE中点时 ,PM平面 BCE. M ( 0,0,12), P ( 1, 12,0 ). 从而PM=1 1( 1,)2 2, 于是PMEF=1 1( 1,)2 211(0,)22=0 所以 PM FE,又 EF 平面 BCE ，直线 PM不在平面BCE内，故 PMM 平面 BCE. 8 分( ) 设平面

25、BDF的一个法向量为1n，并设1n=（x,y,z）. 110BD （， ， ）uu u v，3 102 2BF （ ，）uu u v11n0n0BDBFuv uu u vguv uu u vg即xy031yz022取 y=1，则 x=1，z=3。从而1n113（， ）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 取平面 ABD 的一个法向量为2n（0，0，1）。12212n n33 11cos(n ,n )1111 1nn1u

26、v uu vu u v uu vgu v uu vg。故二面角 FBD A 的大小为 arccos3 1111。12 分14.（本题满分14 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，12AABCAB, ABBC,求二面角111BACC的大小。简答：3第一部分五年高考荟萃2009 年高考题20052008 年高考题解答题1.（2008 全国 19） （本小题满分 12 分）如图，正四棱柱1111ABCDABC D 中，124AAAB，点 E 在1CC 上且ECEC31（）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB 的大小以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz

27、依题设，1(2 2 0)(0 2 0)(0 21)(2 0 4)BCEA， ，(0 21)(2 2 0)DEDB， ，11( 2 24)(2 0 4)ACDA， ，A B C D E A1 B1 C1 D1 A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word NMABDCO（） 证明因为10AC DB，10AC DE，故1ACBD，1ACDE又DBDED，所以1AC平面DBE（）

28、解设向量()xyz， ，n是平面1DAE的法向量，则DEn，1DAn故20yz，240 xz令1y，则2z，4x，(4 12)， ，n1AC，n等于二面角1ADEB的平面角，4214,cos111CAnCAnCAn所以二面角1ADEB的大小为14arccos422. （2008 安徽） 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小；（）求点B 到平面 OCD 的距离。作APCD于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为, ,x

29、 y z轴建立坐标系22222(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244ABPDOMN, (1)证明22222(1,1 ) ,( 0 ,2 ) ,(,2 )44222M NO PO D设平面 OCD 的法向量为( , , )nx y z,则0,0n OPn OD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word xyzNMABDCOP即2202222022yzxyz取2z,

30、解得(0,4,2)n22(1, 1) (0,4,2)044MN nMNOCD平面(2)解设AB与MD所成的角为,22(1,0,0),(, 1)22ABMD1c o s,23AB MDABMD,AB与MD所成角的大小为3.(3)解设点 B 到平面 OCD 的距离为d，则d为OB在向量(0,4,2)n上的投影的绝对值, 由(1,0, 2)OB, 得23OB ndn.所以点 B 到平面 OCD 的距离为233. （2008 湖南 17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 60，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD ，PA2. （）证明：平面PBE平面

31、 PAB; （）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，33(,0),22C13(,0),22DP（0，0，2）,3(1,0).2E（） 证明因为3(0,0)2BE，平面 PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n，所以0BEn和共线 .从而 BE平面 PAB. 又因为BE平面 PBE，故平面 PBE平面 PAB. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页

32、 - - - - - - - - - - word ( ) 解易知3(1,0, 2),(0,02PBBE，），13(0,0,2),(,0)22PAAD设1111(,)nx y z是平面PBE的一个法向量，则由110,0n PBn BE得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2 .(2,0,1).yxzn故可取设2222(,)nxyz是 平 面PAD的 一 个 法向 量 ， 则由220,0nPAnAD得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2(3, 1,0).n于是，1212122 315cos,.552n nn nnn故平面PAD和

33、平面PBE所成二面角（锐角）的大小是15arccos.54. （2008 福建 18）如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD底面ABCD，侧棱 PA=PD2，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD 中点 . （）求证： PO平面 ABCD ；（）求异面直线PD 与 CD 所成角的大小；（）线段 AD 上是否存在点Q，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在， 求出AQQD的值；若不存在，请说明理由. （） 证明在 PAD 中 PA=PD,O 为 AD 中点，所以POAD, 又侧面 PAD底面 ABCD,平面PAD平面 ABCD=AD,

34、PO平面 PAD，所以 PO平面 ABCD. ( ) 解以O为坐标原点，OC OD OP、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz, 依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 所以110111CDPB（， ， ）， （， ）.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos63，( ) 解假设存在点

35、Q，使得它到平面PCD的距离为32，由( ) 知( 1,0,1),( 1,1,0).CPCD设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则0,0,n CPn CD所以00000,0,xzxy即000 xyz，取x0=1, 得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设(0, ,0)( 11),( 1, ,0),QyyCQy由32CQ nn，得13,23y解y=-12或y=52( 舍去 ) ，此时13,22AQQD，所以存在点Q满足题意，此时13AQQD. 5. （2007 福建理? 18）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为 2，D 为 CC1中点。（）求证： AB1面 A

36、1BD；（）求二面角AA1DB 的大小；（）求点C 到平面 A1BD 的距离；（） 证明取BC中点O，连结AOABC为正三角形，AOBC在正三棱柱111ABCA BC中，平面ABC 平面11BCC B，AD 平面11BCC B取11BC中点1O，以O为原点，OB，1OO，OA的方向为xyz， ，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(10 0)B ，( 11 0)D， ，1(0 23)A， ，(0 03)A ， ，1(12 0)B，1(123)AB， ，( 210)BD， ，1( 1 23)BA，12200AB BD，111430AB BA，1ABBD，11ABBAz A C D 1A1CF 精品资

37、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 1AB 平面1ABD（） 解设平面1A AD的法向量为()xyz， ，n( 113)AD， ，1(0 2 0)AA， ，ADn，1AAn，100ADAA，nn3020 xyzy，03yxz，令1z得(3 01)， ，n为平面1A AD的一个法向量由（）知1AB 平面1ABD，1AB为平面1ABD的法向量cosn，11133642 22ABABABnn二面角1AADB的大小为6arccos4（

38、） 解由（），1AB为平面1ABD法向量，1( 2 0 0)(123)BCAB， ，点C到平面1ABD的距离112222 2BC ABdAB6.（2006 广东卷） 如图所示， AF、DE 分别是 O、 O1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD8,BC 是O 的直径，ABAC6，OE/AD. ()求二面角BADF 的大小；()求直线 BD 与 EF 所成的角 . 解() AD 与两圆所在的平面均垂直, ADAB, ADAF,故 BAD 是二面角 BADF 的平面角，依题意可知， ABCD 是正方形，所以BAD450. 即二面角 BADF 的大小为 450.()以 O 为原点， BC、AF

39、、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0） ，A（0，23，0） ， B（23，0，0） ,D（0，23，8） ，E（ 0，0，8） ，F（0，23， 0）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 所以，)8,23, 0(),8 ,23,23(FEBD10828210064180|,cosFEBDFEBDEFBD.设异面直线BD 与 EF 所成角为，则1082|,cos|cosEFBD直线 B

40、D 与 EF 所成的角为1082arccos7. （2005 江西）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 在棱 AB 上移动 . （1）证明： D1EA1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为4. 以 D 为坐标原点，直线DA ，DC，DD1分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则 A1（1，0，1） ，D1（0，0，1） ，E（1，x，0） ，A（1，0，0） ，C（0，2，0）（1）证明.,0)1, 1(),1 , 0, 1(,1111EDDAx

41、EDDA所以因为（2）解因为 E 为 AB 的中点，则E（1，1，0） ，从而)0, 2, 1(),1, 1 , 1(1ACED，)1 , 0, 1(1AD，设平面 ACD1的法向量为),(cban，则,0,01ADnACn也即002caba，得caba2，从而)2, 1 ,2(n，所以点 E 到平面 AD1C 的距离为.313212|1nnEDh（3）解设平面 D1EC 的法向量),(cban，),1, 0,0(),1,2,0(),0,2, 1(11DDCDxCED1C1B1A1EDCBAoxzyD1C1B1A1EDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

42、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 由.0)2(02,0, 01xbacbCEnCDn令 b=1, c=2,a=2x，).2, 1 ,2(xn依题意.225)2(222|4cos211xDDnDDn321x（不合，舍去） ，322x. AE=32时，二面角D1ECD 的大小为4. 第二部分三年联考汇编2009 年联考题解答题1.(湖南省衡阳市八中2009 届高三第三次月考试题)如图， PABCD 是正四棱锥，1111ABCDA BC D是正方体，其中2,AB6PA（1）求证：11PAB D

43、；（2）求平面 PAD 与平面11BDD B所成的锐二面角的余弦值；（3）求1B到平面 PAD 的距离以11BA为x轴，11DA为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系（1）证明设 E 是 BD 的中点，PABCD 是正四棱锥，ABCDPE又2,6ABPA， 2PE)4, 1 , 1 (P11( 2,2,0),(1 ,1,2)B DAP110B DAP，即11PAB D。（2）解设平面 PAD 的法向量是( , , )mx y z，(0,2,0),(1 ,1,2)ADAP02,0zxy取1z得( 2,0,1)m， 又 平 面11BDD B的 法 向 量 是(1 ,1,0)n10cos,5m nm

44、 nm n， 10cos5。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word （3）解1(2, 0, 2)B A1B到平面 PAD 的距离1655B A mdm。2. (陕西省西安铁一中2009 届高三 12 月月考 )如图，边长为2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC22，M为BC 的中点()证明： AMPM ；()求二面角 PAMD 的大小；()求点 D 到平面 AMP 的距离。() 证明以 D 点为原

45、点，分别以直线DA、DC 为 x 轴、 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 依题意，可得),0,2,0(),3, 1 , 0(),0, 0,0(CPD)0, 2,2(),0,0 ,22(MA(2,2,0)(0,1,3)( 2,1,3)PM( 2,2,0)(2 2,0,0)(2,2,0)AM( 2,1,3) (2,2,0)0PMAM即PMAM,AMPM . ()解设( , , )nx y z，且n平面 PAM，则00n PMn AM即0)0 ,2,2(),(0)3,1 ,2(),(zyxzyx022032yxzyx，yxyz23取1y，得(2,1,3)n取(0,0,1)p，显然p平面

46、 ABCD， 32cos,2| |6n pn pnp结合图形可知，二面角PAMD 为 45；() 设点 D 到平面 PAM 的距离为d，由 ()可知( 2,1, 3)n与平面 PAM 垂直，则|DA ndn=362)3(1)2(|)3, 1 ,2()0,0,22(|222MPDCBAzyxMPDCB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word 即点 D 到平面 PAM 的距离为3623.(厦门市第二外国语学校2008 2009 学

47、年高三数学第四次月考)已知点H 在正方体ABCDA B C D的对角线B D上， HDA =060（）求 DH 与CC所成角的大小；（）求 DH 与平面AA D D所成角的大小解：以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz设(1)(0)H mmm， ，则(10 0)DA， ，(0 01)CC， ，连结BD，B D设(1)(0)DHmmm， ，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm解得22m，所以22122DH， （）因为22001 1222cos212DH CC，所以45DH CC，即 DH 与CC所成的角为45（）平面AA D D的一个法向量是

48、(01 0)DC， ，因为2201 10122cos212DH DC， 所以60DH DC，可得 DH 与平面AA D D所成的角为30解答题3.（本小题满分12 分）如图， 在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I) 求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；A B C D ABCx y z H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页

49、- - - - - - - - - - word （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值。11.（本小题满分12 分）如图 3，在正三棱柱ABC-1A1B1C中， AB=4, A1A=7,点 D 是 BC 的中点，点E 在 AC上，且 DE1AE（）证明：平面1ADE平面11ACC A;（）求直线AD 和平面1ADE所成角的正弦值。12 （本小题满分12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB. 以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N. （1）求证：平面ABM平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的大小；（3）

50、求点N到平面ACM的距离 . 1 yxzDMCBPANO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - - word NMABDCO解答 题1.（2008 全国 19） （本小题满分 12 分）如图，正四棱柱1111ABCDABC D 中，124AAAB，点 E 在1CC 上且ECEC31（）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB 的大小2. （2008 安徽） 如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC, O