2022年对数与对数函数.pdf

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1、2.8 对数与对数函数巩固夯实基础一、自主梳理 1.对数 (1)对数的定义如果 ab=N(a0,a 1), 那么 b 叫做以 a 为底 N的对数，记作logaN=b. (2)指数式与对数式的关系 ab=NlogaN=b(a0,a 1,N0). 两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. (3)对数运算性质loga(MN)=logaM+logaN; logaNM=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(M0,N0,a0,a 1); 对数换底公式:logbN=bNaaloglog(a0,a 1,b0,b 1,N0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义函数 y=

2、logax(a0,a 1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,+ ). (2)对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 . (3)对数函数的性质定义域 :(0,+ ); 值域 :R; 过点 (1,0)，即当 x=1 时， y=0; 当 a1 时，在 (0,+ ) 上是增函数；当0a1 时，在 (0,+ ) 上是减函数 . 二、点击双基1.(2005北京春季高考 ) 函数 f(x)=|log2x| 的图象是 ( ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页

3、，共 6 页 - - - - - - - - - - 解析 :f(x)=. 10,log, 1,log22xxxx答案 :A 2.(2006北京西城模拟 ) 若函数 f(x)=,1 , 0,4),0, 1,)41(xxxx则 f(log43) 等于 ( ) A.31 B.3 C.41 D.4 解析 : log43 0,1 , f(log43)=3log44=3. 故选 B. 答案 :B 3. 已知 1m n，令 a=(logn)2， b=logn2，c=logn(lo nm)，则 ( ) A.abc B.Acb C.bAc D.cA b 解析 : 1 ,0logn 1. logn(logn)

4、0. 答案 : 4.(2004 北京春季高考 ) 若 f-1(x) 为函数 f(x)=lg(x+1)的反函数，则 f-1(x) 的值域为 _. 解析 :f-1(x) 的值域为 f(x)=lg(x+1)的定义域 . 由 f(x)=lg(x+1)的定义域为 (-1,+ ), f-1(x) 的值域为 (-1,+ ). 答案 :(-1,+) 5.(2006天津河西期末 ) 若函数 y21log(2-log2x) 的值域是 (- ,0), 那么它的定义域是( ) A.(0,2) B.(2,4) C.(0,4) D.(0,1) 解析 : y=21log(2-log2x) 的值域是 (- ,0), 由21l

5、og(2-log2x)1. log2x1. 0 x2. 故选 A. 答案 :A 诱思实例点拨【例 1】 已知函数f(x)=,4),1(,4,)21(xxfxx则 f(2+log23) 的值为 ( ) A.31 B.61 C.121 D.241解析 : 32+log234, f(2+log23)=f(3+log23)=3log32)21(=241. 答案 :D 【例 2】 求函数 y=log2x的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页

6、- - - - - - - - - - 解: x 0, 函数的定义域是xxR 且 x0. 显然 y=log2x是偶函数，它的图象关于y轴对称 . 又知当 x0 时，y=log2xy=log2x. 故可画出y=log2x的图象如下图. 由图象易见，其递减区间是(- ， 0)，递增区间是 (0 ，+). 讲评 : 研究函数的性质时，利用图象更直观. 链接拓展已知 y=21loga2x+2(ab)x-b2x+1(a 、bR+), 如何求使y 为负值的x 的取值范围 ? 提示 :要使 y1, 即 a2x+2(ab)x-b2x0. b2x0, (ba)2x+2(ba)x-10. (ba)x2-1 或(b

7、a)x1,ba=1,bab0 时，xbalog(2-1); a=b0时， xR; 0ab时， x0, 得1-3x1, 则x0的取值范围( ) A.(- ,0) (2,+ ) B.(0,2) C.(-,-1) (3,+ ) D.(-1,3) 解析 : 当 x0 2,+ 时 , 由 f(x0)=log2(x0-1)1, 得 x03. 当 x0(- ,-2)时, 由 f(x0)=0)21(x-11, 得 x0-1. 所以 x0(- ,-1) (3,+ ). 故选 C. 答案 :C 3.(2005全国高考卷 ) 设 0a1, 函数 f(x)=loga(a2x-2ax-2), 则使 f(x)1, 得 a

8、x3. x0, x=2. 答案 :2 5. 计算 (log32+log92) (log43+log83)=_. 解析：原式=(9lg2lg3lg2lg)(8lg3lg4lg3lg)=(3lg22lg3lg2lg)(2lg33lg2lg23lg)=.452lg63lg53lg22lg3?答案 :456. 已知 y=loga(3-ax)在0，2上是 x 的减函数，求a 的取值范围 . 解: a0 且 a1， t=3-ax 为减函数 . 依题意 a1, 又 t=3-ax 在 0,2 上应有 t0, 3-2a0.a23. 故 1a23. 7. 设函数 f(x)=lg(1-x),g(x)=lg(1+x)

9、,在 f(x)和 g(x) 的公共定义域内比较|f(x)|与|g(x)|的大小 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 解:f(x)、g(x) 的公共定义域为(-1 ，1). |f(x)|-|g(x)|=|lg(1-x)|-|lg(1+x)|. (1)当 0 x0; (2)当 x=0 时， |lg(1-x)|-|lg(1+x)|=0; (3)当-1x0 时，|lg(1-x)|-|lg(1+x)|=lg(1-x2)0. 综上所述，当0

10、x|g(x)|;当 x=0 时， |f(x)|=|g(x)|;当-1x0时，|f(x)|-3). (2)将y=f-1(x) 的图象按向量a=(3,0)平移，得到函数y=g(x)=log3x(x0) ，要使2f-1(x+m-3)-g(x)1 恒成立，即使2log3(x+m)-log3x 1 恒成立，有 x+xm+2m3 在 x0 时恒成立，只要(x+xm+2m)min 3. 又 x+xm2m(当且仅当x=xm, 即 x=m时等号成立 ) ，(x+xm+2m)min=4m，即 4m3. m .169精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

11、- - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 教学参考一、教学思路 1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用. 由于对数函数与指数函数互为反函数,所以它们有许多类似的性质, 掌握对数函数的性质时, 与掌握指数函数的性质一样, 也要结合图象理解和记忆. 2.指数函数与对数函数是高考的重点考查内容, 并常与其他函数( 如二次函数 ) 结合产生综合性大题 . 二、注意问题 1.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型. 在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1 比较分出大于1 还是小于1，然后在各类中间两两相比较 .

12、2.在给定条件下， 求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 三、参考资料【例 1】 (2004湖南高考，理) 设 f-1(x) 是 f(x)=log2(x+1) 的反函数， 若 1+f-1(a) 1+f-1(b) =8，则 f(a+b) 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.log23解析 : f-1(x)=2x-1, 1+f-1(a) 1+f-1(b) =2a2b=2a+b. 由已知 2a+b=8, a+b=3. 答案 :C 【例 2】 求函数 y=2lg(x-2)-lg(x-3)的最小值 . 解: 定义域为 x3，原函数为 y=lg3)2(2xx. 又3443)2(22xxxxx =31)3(2)3(2xxx=(x-3)+31x+24, 当 x=4 时， ymin=lg4. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -