2022年导数与不等式的证明教学文案.pdf

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1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流导数与不等式的证明1.【2013 湖南文科】已知函数f （x）=xex21x1. （）求 f （x）的单调区间；（）证明：当f （x1）=f （x2）(x1x2) 时， x1+x20. 【解析】() .)123)12)1()1)11()( 222222xxxxexxexxexxfxxx（;)(, 0)( 0-02422单调递增时，（当xfyxfx单调递减）时，当)(,0)( 0 xfyxfx.所以，）上单调递减，上单调递增；在，在（00-)(xxfy。（）由 ()知，只需要证明：当x0时 f(x) 0, 存在唯一的s, 使. () 设(

2、)中所确定的s关于 t 的函数为, 证明 : 当时, 有.(1)函数 f(x)的定义域为 (0， )f(x)2xln xxx(2ln x1)，令 f(x)0，得1ex.当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表：x10,e1e1,ef(x)0f(x)极小值所以函数 f(x)的单调递减区间是10,e，单调递增区间是1,e.(2)证明：当0 x1 时，f(x)0.设 t0，令 h(x)f(x)t，x 1， )由(1)知， h(x)在区间 (1， )内单调递增h(1) t0，h(et)e2tln ettt(e2t1)0.故存在唯一的s(1， )，使得 tf(s)成立(3)证明：因为sg(t

3、)，由 (2)知，tf(s)，且 s1，从而2ln( )lnlnlnlnln( )ln(ln )2lnln(ln)2lng tsssutf sssssuu，其中 uln s.要使2ln( )15ln2g tt成立，只需0ln2uu.当 te2时，若 sg(t)e，则由 f(s)的单调性，有tf(s)f(e)e2，矛盾所以 se，即 u1，从而 ln u0 成立另一方面，令F(u)ln2uu，u1.F(u)112u，令 F(u)0，得 u2.当 1u2 时， F(u)0；当 u2 时， F(u) 0.故对 u1，F(u)F(2)0.因此ln2uu成立综上，当 te2时，有2ln( )15ln2g

4、 tt.2l( )nf xxx( )tf s( )sg t2et2ln( )15ln2g tt精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流3【2013 天津文科】设 2,0a, 已知函数332(5) ,03,0(,).2xfaxxaxxxxxa() 证明( )fx 在区间 ( 1,1)内单调递减 , 在区间 (1, + )内单调递增 ; ( ) 设曲线( )yf x在 点(,()(1,

5、2,3)iiixf xiP处的切线相互 平行 , 且1230,x xx证 明12313xxx. (1) 设函数f1(x) x3(a5)x(x0)，f2(x) 3232axxax(x 0) ，f1(x) 3x2(a5)，由a2,0 ，从而当 1x0 时，f1(x) 3x2 (a5) 3a50，所以函数f1(x) 在区间 ( 1,0 内单调递减f2(x) 3x2(a3)xa(3xa)(x1) ， 由于a 2,0 ， 所以当 0 x1 时，f2(x)0；当x1 时，f2(x)0. 即函数f2(x) 在区间 0,1) 内单调递减，在区间(1 ， ) 内单调递增综合， 及f1(0) f2(0) ，可知函

6、数f(x) 在区间 ( 1,1) 内单调递减， 在区间 (1 ，) 内单调递增(2) 由(1) 知f(x) 在区间 ( ， 0) 内单调递减，在区间306a，内单调递减，在区间36a，内单调递增因为曲线yf(x) 在点Pi(xi，f(xi)(i1,2,3) 处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f(x1) f(x2) f(x3) 不妨设x10 x2x3，由213x(a5) 223x(a3)x2a233x(a3)x3a，可得222333xx(a3)(x2x3) 0，解得x2x333a，从而 0 x236ax3. 设g(x) 3x2(a3)xa，则36agg(x2) g(0) a. 由

7、213x(a5) g(x2) a，解得253ax10，所以x1x2x325333aa，设t253a，则a2352t，因为a2,0 ，所以t315,33，故x1x2x32231111(1)6233ttt，即x1x2x313. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流4【2014 天津理科】已知函数( )xfxxae=-()aR?，xR?. 已知函数( )yf x=有两个零点12,x

8、x，且12xx在R上恒成立，可得( )f x在R上单调递增，不合题意. （2）0a时，由( )0fx=，得lnxa= -. 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：x(),lna- ?ln a-()ln ,a-+ ￥( )fx0( )f xln1a-这时，( )f x的单调递增区间是(),ln a- ?；单调递减区间是()ln , a-+ ￥. 于是，“函数( )yfx=有两个零点”等价于如下条件同时成立：1()ln0fa-；2存在()1,ln as ?，满足( )10f s ；3存在()2ln , as ?+ ?，满足()20f s，即ln10a-，解得10ae-，而此时，取1

9、0s =，满足()1,lnas ?，且( )10f sa= -；取222lnsaa=+，满足()2ln , as ?+ ?，且()22222ln0aaf seeaa骣骣鼢珑鼢=-+-. 由已知，12,x x满足( )1ag x=，()2ag x=. 由()10,ae-?，及( )g x的单调性，可得()10,1x ?，()21,x ?.对于任意的()1120,a ae-?，设12aa，( )()121ggaxx=，其中1201xx；( )( )122ggahh=，其中1201hh，即( )( )11ggxh，可得11xh；类似可得22xh，得222111xhhxxh，且2121,ln ,xtx

10、xxt=?-=? ?解得1ln1txt=-，2ln1ttxt=-.所以，()121 ln1ttxxt+=-. 令( )()1 ln1xxh xx+=-，()1,x ?，则( )()212ln1xxxhxx-+-=-. 令( )12lnu xxxx= -+-，得( )21xuxx骣-?=?桫. 当()1,x?时，( )0ux . 因此，( )u x在()1,+ ￥上单调递增，故对于任意的()1,x?，( )( )10u xu=，由此可得( )0hx，故( )h x在()1,+ ￥上单调递增 . 因此，由可得12xx+随着t的增大而增大 . 而由（ ） ，t随着a的减小而增大，所以12xx+随着a的减小而增大精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -